[考研类试卷]考研数学三(线性代数)模拟试卷52及答案与解析.doc

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1、考研数学三(线性代数)模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是2 A 是 n 阶方阵,则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )(A)A 有 n 个不同的特征值(B) A 有 n 个不同的特征向量(C) A 的每个 ri 重特征值 i,r( iEA)=nr i(D)A 是实对称矩阵3 设 ,其中与对角矩阵相似的有 ( )(A)A,B,C(B) B,D(C) A,C , D(D)A,C4 设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 可逆且 AB,则下列命题中: ABBA ; A2 B2; A TB T; A 1 B

2、1 正确命题的数量为 ( )(A)1(B) 2(C) 3(D)45 已知 P1 AP= , 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量, 2, 3 是矩阵A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量,那么矩阵 P 不能是 ( )(A) 1, 2, 3(B) 1, 2+3, 22 3(C) 1, 3, 2(D) 1+2, 1 2, 36 设 A 是 n 阶实矩阵,将 A 的第 i 列与第 j 列对换,然后再将第 i 行和第 j 行对换,得到 B,则 A,B 有 ( )7 下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是 ( )8 实二次型 f(x1,x 2,x n)的秩为 r,符号差为 s,且 f 和f 合同,

3、则必有 ( )(A)r 是偶数,s=1(B) r 是奇数,s=1(C) r 是偶数,s=0(D)r 是奇数,s=09 设 A=E2XX T,其中 X=x1,x 2,x nT,且 XTX=1,则 A 不是 ( )(A)对称阵(B)可逆阵(C)正交阵(D)正定阵二、填空题10 矩阵 A= 的非零特征值是 _11 设 A 是 n 阶矩阵, 是 A 的 r 重特征根,A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个,则 k 满足_12 与 1=1, 2,3,1 T, 2=0,1,1,2 T, 3=2,1,3,0 T 都正交的单位向量是_13 已知 1=a,1,1 T 是矩阵 A= 的逆矩阵的特征向量,那么

4、a=_14 已知 =1,3,2 T,=1,1,2 T,A=E T,则 A 的最大特征值为_15 已知 ,则 r(AE)+(2E+A)=_16 设 A 是 3 阶矩阵, 1, 2, 3 是三个线性无关的 3 维列向量,满足Ai=i, i=1,2,3,则 A=_17 已知二次型 f(x1,x 2,x 3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3 是正定的,则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A 是 n 阶矩阵,满足 A2=A,且 r(A)=r(0rn)证明: 其中 Er是 r 阶单位阵19 设 A,B 均为 n 阶矩阵,A 有 n 个互不相

5、同的特征值,且 AB=BA证明:B 相似于对角阵20 设 =a1,a 2,a nT0,A= T,求可逆阵 P,使 P1 AP=A21 设 A=E+T,其中 =a1,a 2,a nT0,=b 1,b 2,b nT0,且 T=2 (1)求 A 的特征值和特征向量; (2) 求可逆 P,使得 P1 AP=A22 设向量 =a1,a 2,a nT,=b 1,b 2,b nT 都是非零向量,且满足条件T=0,记 n 阶矩阵 A=T,求: (1)A 2; (2)A 的特征值和特征向量; (3)A 能否相似于对角阵,说明理由23 设 a0,a 1,a n1 是 n 个实数,方阵(1)若 是 A 的特征值,证

6、明:=1, 2, n1 T 是 A 的对应于特征值 的特征向量; (2)若 A 有 n 个互异的特征值 1, 2, n,求可逆阵 P,使 P1AP=A24 设 问 A,B 是否相似,为什么?25 设 A 是三阶矩阵, 1=1, 2=2, 3=3 是 A 的特征值,对应的特征向量分别是 1=2,2,1 T, 2=1,2,2 T, 3=2,1,2 T 又 =1,2,3 T计算:(1)An1;(2)A n26 已知二次型 f(x 1,x 2,x 3)=4x223x 32+4x1x24x 1x3+8x2x3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式; (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形,并写出相应的正

7、交矩阵27 已知 A 是 mn 矩阵,mn证明:AA T 是对称阵,并且 AAT 正定的充要条件是 r(A)=m28 设矩阵 A= ,矩阵 B=(kE+A)2,求对角阵 A,与 B 和 A 相似,并问 k为何值时,B 为正定阵29 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定,B 为 mn 实矩阵, BT 为 B 的转置矩阵证明:BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n30 设 A 为 mn 实矩阵,E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+ATA证明:当0 时,矩阵 B 为正定矩阵31 证明:实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B,使得 AB+BTA 正定32 设 A 与

8、 B 均为正交矩阵,并且A+B=0证明:A+B 不可逆33 已知 f(x, y)=x2+4xy+y2,求正交变换 P, ,使得 f(x,y)=2u 2+2 uv34 已知三元二次型 XTAX 经正交变换化为 2y12y 22y 32,又知矩阵 B 满足矩阵方程 BA1 =2AB+4E,且 A*=,其中 =1,1,1 T,A *为 A 的伴随矩阵,求此二次型 XTBX 的表达式35 设 A 为 n 阶正定矩阵证明:存在唯一正定矩阵 H,使得 A=H236 设方阵 A1 与 B1 合同,A 2 与 B2 合同证明: 合同考研数学三(线性代数)模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选

9、项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因(D) 是对称阵,必相似于对角阵,(C) 有三个不同的特征值,能相似于对角阵(A) ,(B)的特征值均为 =1(二重,),=2(单根)当 =1 时,r(EA)= =2只对应一个线性无关的特征向量,故 A 不能相似于对角阵而 =1 时,r(EB)=r =1,有两个线性无关特征向量,故B 能相似于对角阵,故选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角阵 A 有 n 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i,r( iEA)=nr i, 即有 ri 个线性无关特征向量 (共 n 个线性无关特征向量

10、) (A),(D)是充分条件,但非必要, (B)是必要条件,但不充分,n 个不同的特征向量,并不一定线性无关【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1,3,5,因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值,所以 A 可相似对角化矩阵 B 的特征值是 2,2,5,由于秩所以,=2 只有一个线性无关的特征向量,因而矩阵 B 不能相似对角化矩阵 C 是实对称矩阵,故必有 C 可相似对角化矩阵 D的特征值也是 2,2,5,由于秩 所以,=2 有两个线性无关的特征向量,因而矩阵 D 可以相似对角化,故应选 (C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由 A

11、B 可知:存在可逆矩阵 P,使得 P1 AP=B,故 P 1 A2P=B2, PTAT(PT)1 =BT, P 1 A1 P=B1 , 所以 A2B 2, ATB T,A 1 B 1 又由于 A可逆,可知 A1 (AB)A=BA,故 ABBA故正确的命题有 4 个,选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 P1 AP=A= ,P= 1, 2, 3,则有 AP=PA,即A1, 2, 3=1, 2, 3 ,即 A 1,A 2,A 3=a11,a 22,a 33可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai 的特征向量(i=1,2,3),又因矩阵 P 可逆,因此, 1, 2, 3

12、线性无关若 是属于特征值 的特征向量,则 仍是属于特征值 的特征向量,故 (A)正确若 , 是属于特征值 的特征向量,则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中, 2, 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量,故 2+3, 22 3 仍是 =6 的特征向量,并且 2+3, 22 3线性无关,故(B)正确关于(C),因为 2, 3 均是 =6 的特征向量,所以 2, 3谁在前谁在后均正确,即(C)正确由于 1, 2 是不同特征值的特征向量,因此1+2, 1 2 不再是矩阵 A 的特征向量,故(D) 错误【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意,E ijAEij=B其中

13、因 Eij 是可逆阵,E ijAEij=B,故AB; Eij 可逆,且 Eij=Eij1 ,则 EijAEij=Eij1 AEij=B,故 AB;E ij 是对称阵,Eij=EijT,则 EijAEij=EijTAEij,故 A B因此 AB,A B,A B【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因 f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2x 22+x32=y12+y22y 32,故选(B) 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 设 f 的正惯性指数为夕,负惯性指数为 q,f 的正惯性指数为 p1,负惯性指数为 q1,则有 p=q1,q=p

14、1,又 f f,故有 p=p1,q=q 1,从而有r=p+q=p+p1=2p,s=pq=pp 1=0,故选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E2XX T)T=E2XX T=A,A 是对称阵; A2=(E2XX T)2=E4XX T+4XXTXXT=E,A 是可逆阵; A 可逆,A 对称,且 A2=AAT=E,A 是正交阵; AX=(E2XX T)X=X,X0,= 1 是 A 的特征值,故 A 不是正定阵【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 =4【试题解析】 因=3(4)=0 ,得=4或有 AX=4X,即 得 =4【知识模块】 线性代数11 【

15、正确答案】 1kr【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1,1,1,0 T【试题解析】 设 B=x1,x 2,x 3,x 4T,那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换,有故 nr(A)=43=1,则Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为1,1,1,0 T,将其单位化,得 1,1,1,0 T,即为所求【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 是矩阵 A1 属于特征值 0 的特征向量,由定义 A1 =0,于是=0A,即【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1,故 T 的特征值为 0,0,tr( T),其中t

16、r(T)=T=6故 A=E T 的特征值为 1,1,7,故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【试题解析】 A ,存在可逆阵 P,使得p1 AP= r(AE)=r(PAP 1 E)=r(P(AE)P 1 =r(AE)=r=1,r(A+2E)=r(P(A+2E)P 1 )=r(A+2E)=r =2,故 r(AE)+r(A+E)=1+2=3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1, A2=2,A 3=3,合并成矩阵形式有 A 1,A 2,A 3=A1, 2, 3=1, 2, 3, 1, 2, 3 线性无关, 1, 2, 3是可逆阵,故

17、A=1, 2, 31, 2, 31 =E【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 t【试题解析】 f 的对应矩阵 A= f 正定,即 A 正定的顺序主子式大于0,即 取公共部分,知 t 的取值范围是t【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 A 2=A,A 的特征值取值为 1,0,由 AA 2=A(EA)=O 知 r(A)+r(EA)n ,r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n ,故,r(A)+r(E A)=n,r(A)=r,从而 r(EA)=nr对 =1,(EA)X=0 ,因 r(EA)=nr,故有 r 个线性无关特征向量,设为 1

18、, 2, r;对 =0,(0EA)X=0 ,即 AX=0,因 r(A)=r,有 nr个线性无关特征向量,设为 r+1, r+2, n故存在可逆阵 P=1, 2, n,使得 P1 AP=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值,故存在可逆阵 P,使得P1 AP=diag(1, 2, n)=A1,其中 i,i=1 ,2,n 是 A 的特征值,且ij(ij)又 AB=BA,故 P1 APP1 BP=P1 BPP1 AP,即 A1P1 BP=P1 BPA1设P1 BP=(cij)mn,则比较对应元素icij=j=cij,即( i j)cij=0, ij(ij),得 ci

19、j=0于是 P1 BP= ,即BA 2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值利用特征值的定义设 A 的任一特征值为,对应于 的特征向量为 ,则 A=T= 若 T=0,则 =0,0,故=0;若 T0,式两端左乘 T, TT=(T)T=(T)因 T0,故 =T=(2)再求 A 的对应于 的特征向量当 =0 时,(EA)X=0,即解方程 a 1x1+a2x2+anxn=0,得特征向量为(设 a10)1=a2,a 1,0,0 T, 2=a3,0, a1,0T, n=an,0,a 1T当 = 时,(EA)X=0由观察知 n=a1,a 2,a nT (3)由 1, 2, n,得

20、可逆阵 P 且【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)设(E+ T)= 左乘 T, T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T,若 T0,则 =1+T=3;若 T=0,则由式,=1=1 时,(E A)X= TX= TX= b1,b 2,,b nX=0,即b 1,b 2,b nX=0,因T=2,故 0,0,设 b10,则 1=b2,b 1,0,0T, 2=b3,0,b 1,0 T, n1 =bn,0,0,b 1T;=3 时,(3EA)X=(2E T)X=0, n=a1,a 2,a nT(2)取 P=1, 2, n1 , n=P1 AP=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)由

21、 A=T 和 T=0,有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=O,即 A 是幂零阵(A 2=O) (2)利用 (1)A2=O 的结果设 A 的任一特征值为 ,对应于 的特征向量为 ,则 A= 两边左乘 A,得 A 2=A=2 因 A2=O,所以 2=0,0 ,故 =0,即矩阵 A 的全部特征值为 0 (3)A 不能相似于对角阵,因 0,0,故 A=TO,r(A)=r0(其实 r(A)=1,为什么?) 从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 nrn 个,故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1) 是 A 的特征值,则 应满足 E

22、A=0,即E A =0将第 2 列乘 ,第 3 列乘 2,第 n 列乘n1 加到第 1 列,再按第 1 列展开,得即n+ aii=0,即 应满足关系 n= aii得证 =1, 2, n1 T 是 A 的对应于 的特征向量 (2)因 1, 2, n互异,故特征向量 1, 2, n 线性无关,取可逆阵 P=1, 2, n,得P1 AP= 其中 i=1, i, i2, in1 T,i=1 ,n【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A,B 均是实对称阵,均可相似于对角阵,由于 EA=对换EA的 1,2 列和 1,2 行,得EA=EB故 A 和 B 有相同的特征方程,相同的特征值,它们均相似于同一个

23、对角阵,故 A B【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)因 A1=11,故 An1=1n1,故 An1=1.1= (2)利用Ai=ii 有 Ani=ini,将 表成 1, 2, 3 的线性组合设 =x11+x22+x33,即解得 ,故【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)二次型的矩阵 A= ,则二次型 f 的矩阵表达式f=TA(2)A 的特征多项式AE=(6+)(1)(6),则 A 的特征值1=6, 2=1, 3=6 1 6 对应的正交单位化特征向量 p1= 2=1 对应的正交单位化特征向量 p2= 3=6 对应的正交单位化特征向量 p3=令正交矩阵 P=p 1,p 2,p

24、 3= 所求正交变换,二次型 f 的标准型 f=6y 12+y22+6y32【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由(AA T)T=(AT)TAT=AAT,所以 AAT 是对称阵 必要性 若 AAT 正定,r(AA T)=mr(A),又 r(Amn)m,故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m,则齐次方程组 ATX=0 只有零解,故对任意 X0,均有 ATX0,故 X TAATX=(ATX)T(ATX)0, 即 AAT 正定【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 EA= =(2) 2,A 是实对称阵,故存在正交阵 Q,使得 QTAQ=A1= ,A=QA 1QT, B=(kE+A)2=(

25、kE+QA1QT)2=(Q(kE+A1)QT)2=Q(kE+A1)2QT= 故 BA=当 k0,k2 时,b 的特征值全部大于 0,这时 b 为正定阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 显然 BTAB 为对称矩阵B TAB 为正定矩阵 0, T(BTAB)0(B) TA(B)0 B0r(B)=n【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 用定义证明显然 B 为对称矩阵对 0,当 0 时有TB=T+TATA=T+(A)T(A)=2+A20故 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 必要性取 B=A1 ,则 AB+BTA=E+(A1 )TA=2E,所以 AB+BTA 是正定矩阵

26、 充分性 用反证法若 A 不是可逆矩阵,则 r(A)n,于是存在实向量00 使得 A0=0因为 A 是实对称矩阵,B 是实矩阵,于是有 0T(AB+BTA)0=(A0)TB0+0TBT(A0)=0, 这与 AB+BTA 是正定矩阵矛盾【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由 AAT=E 有A 2=1,因此,正交矩阵的行列式为 1 或1由A+B =0 有AB = 1,也有 ATB T= 1 再考虑到A T(A+B)BT=A T+BT=A+B,所以A+B=A+B,A+B=0故 A+B 不可逆【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 f(x,y)=x 2+4xy+y2=x,y f(x,y)=2u

27、 2+EA=(3)(+1),E B=(3)(+1)实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值,因此 A 与 B 合同A 的特征向量是 ,B 的特征向量是 令,有 Q1TAQ1=diag(3,1)=Q 2TBQ2故P=Q12T=Q1Q2=【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 由条件知 A 的特征值为 2,1, 1,则A =2,因为 A*的特征值为 ,所以 A*的特征值为 1,2,2由已知, 是 A*关于 =1 的特征向量,也就是 是 A 关于 =2 的特征向量由 得2ABA1 =2AB+4E=B=2(EA) 1 ,则 B 的特征值为 2,11,且 B=2设B 关于 =1 的特征向量为 =x1,x

28、 2,x 3T,又 B 是实对称阵, 与 正交,故x1+x2 x3=0,解出 1=1,1,0 T, 2=1,0,1 T,令故XTBX=2x 1x2+2x1x3+2x2x3【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 由于 A 为 n 阶正定矩阵,故存在正交矩阵 U,使得这里,0 12 n 为 A 的全部特征值取则并且 H 仍为正定矩阵如果存在另一个正定矩阵 H1,使得 A=H12,对于 H1,存在正交矩阵 U1,使得 从而这里 0 1222 n2 为 A 的全部特征值故i2=i(i=1,2 ,n) ,于是 i= (i=1,2,n),从而由于 A=H2=H12,故则ipij=ipij(i,j=1,2,n),当 ij 时,p ij=0,这时(i,j=1,2,n) ;当 i=j 时,当然有(i,j=1,2,n) 故即 H=H1【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同,所以存在可逆矩阵 C1,使 B1=C1TC1因为A2 与 B2 合同,所以存在可逆矩阵 C2,使 B2=C2TA2C2令 C= ,则 C 可逆,于是有【知识模块】 线性代数

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