1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 下列矩阵中不能相似于对角阵的矩阵是2 A 是 n 阶方阵，则 A 相似于对角阵的充分必要条件是 ( )（A）A 有 n 个不同的特征值（B） A 有 n 个不同的特征向量（C） A 的每个 ri 重特征值 i，r( iEA)=nr i（D）A 是实对称矩阵3 设 ，其中与对角矩阵相似的有 ( )（A）A，B，C（B） B，D（C） A，C ， D（D）A，C4 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆且 AB，则下列命题中： ABBA ； A2 B2； A TB T； A 1 B
2、1 正确命题的数量为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 已知 P1 AP= ， 1 是矩阵 A 属于特征值 =2 的特征向量， 2， 3 是矩阵A 属于特征值 =6 的线性无关的特征向量，那么矩阵 P 不能是 ( )（A） 1， 2， 3（B） 1， 2+3， 22 3（C） 1， 3， 2（D） 1+2， 1 2， 36 设 A 是 n 阶实矩阵，将 A 的第 i 列与第 j 列对换，然后再将第 i 行和第 j 行对换，得到 B，则 A，B 有 ( )7 下列矩阵中与 A= 合同的矩阵是 ( )8 实二次型 f(x1，x 2，x n)的秩为 r，符号差为 s，且 f 和f 合同，
3、则必有 ( )（A）r 是偶数，s=1（B） r 是奇数，s=1（C） r 是偶数，s=0（D）r 是奇数，s=09 设 A=E2XX T，其中 X=x1，x 2，x nT，且 XTX=1，则 A 不是 ( )（A）对称阵（B）可逆阵（C）正交阵（D）正定阵二、填空题10 矩阵 A= 的非零特征值是 _11 设 A 是 n 阶矩阵， 是 A 的 r 重特征根，A 的对应于 的线性无关的特征向量是 k 个，则 k 满足_12 与 1=1， 2，3，1 T， 2=0，1，1，2 T， 3=2，1，3，0 T 都正交的单位向量是_13 已知 1=a，1，1 T 是矩阵 A= 的逆矩阵的特征向量，那么
4、a=_14 已知 =1，3，2 T，=1，1，2 T，A=E T，则 A 的最大特征值为_15 已知 ，则 r(AE)+(2E+A)=_16 设 A 是 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是三个线性无关的 3 维列向量，满足Ai=i， i=1，2，3，则 A=_17 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+x32+2tx1x2+tx2x3 是正定的，则 t 的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 设 A 是 n 阶矩阵，满足 A2=A，且 r(A)=r(0rn)证明： 其中 Er是 r 阶单位阵19 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 有 n 个互不相
5、同的特征值，且 AB=BA证明：B 相似于对角阵20 设 =a1，a 2，a nT0，A= T，求可逆阵 P，使 P1 AP=A21 设 A=E+T，其中 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=2 (1)求 A 的特征值和特征向量； (2) 求可逆 P，使得 P1 AP=A22 设向量 =a1，a 2，a nT，=b 1，b 2，b nT 都是非零向量，且满足条件T=0，记 n 阶矩阵 A=T，求： (1)A 2； (2)A 的特征值和特征向量； (3)A 能否相似于对角阵，说明理由23 设 a0，a 1，a n1 是 n 个实数，方阵(1)若 是 A 的特征值，证
6、明：=1， 2， n1 T 是 A 的对应于特征值 的特征向量； (2)若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P，使 P1AP=A24 设 问 A，B 是否相似，为什么?25 设 A 是三阶矩阵， 1=1， 2=2， 3=3 是 A 的特征值，对应的特征向量分别是 1=2，2，1 T， 2=1，2，2 T， 3=2，1，2 T 又 =1，2，3 T计算：(1)An1；(2)A n26 已知二次型 f(x 1，x 2，x 3)=4x223x 32+4x1x24x 1x3+8x2x3 (1)写出二次型 f 的矩阵表达式； (2)用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正
7、交矩阵27 已知 A 是 mn 矩阵，mn证明：AA T 是对称阵，并且 AAT 正定的充要条件是 r(A)=m28 设矩阵 A= ，矩阵 B=(kE+A)2，求对角阵 A，与 B 和 A 相似，并问 k为何值时，B 为正定阵29 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵证明：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)=n30 设 A 为 mn 实矩阵，E 为 n 阶单位矩阵已知矩阵 B=E+ATA证明：当0 时，矩阵 B 为正定矩阵31 证明：实对称矩阵 A 可逆的充分必要条件为存在实矩阵 B，使得 AB+BTA 正定32 设 A 与
8、 B 均为正交矩阵，并且A+B=0证明：A+B 不可逆33 已知 f(x， y)=x2+4xy+y2，求正交变换 P， ，使得 f(x，y)=2u 2+2 uv34 已知三元二次型 XTAX 经正交变换化为 2y12y 22y 32，又知矩阵 B 满足矩阵方程 BA1 =2AB+4E，且 A*=，其中 =1，1，1 T，A *为 A 的伴随矩阵，求此二次型 XTBX 的表达式35 设 A 为 n 阶正定矩阵证明：存在唯一正定矩阵 H，使得 A=H236 设方阵 A1 与 B1 合同，A 2 与 B2 合同证明： 合同考研数学三（线性代数）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选
9、项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因(D) 是对称阵，必相似于对角阵，(C) 有三个不同的特征值，能相似于对角阵(A) ，(B)的特征值均为 =1(二重，)，=2(单根)当 =1 时，r(EA)= =2只对应一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似于对角阵而 =1 时，r(EB)=r =1，有两个线性无关特征向量，故B 能相似于对角阵，故选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A 相似于对角阵 A 有 n 个线性无关特征向量 对每个 ri 重特征值i，r( iEA)=nr i， 即有 ri 个线性无关特征向量 (共 n 个线性无关特征向量
10、) (A)，(D)是充分条件，但非必要， (B)是必要条件，但不充分，n 个不同的特征向量，并不一定线性无关【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 的特征值是 1，3，5，因为矩阵 A 有 3 个不同的特征值，所以 A 可相似对角化矩阵 B 的特征值是 2，2，5，由于秩所以，=2 只有一个线性无关的特征向量，因而矩阵 B 不能相似对角化矩阵 C 是实对称矩阵，故必有 C 可相似对角化矩阵 D的特征值也是 2，2，5，由于秩 所以，=2 有两个线性无关的特征向量，因而矩阵 D 可以相似对角化，故应选 (C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由 A
11、B 可知：存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B，故 P 1 A2P=B2， PTAT(PT)1 =BT， P 1 A1 P=B1 ， 所以 A2B 2， ATB T，A 1 B 1 又由于 A可逆，可知 A1 (AB)A=BA，故 ABBA故正确的命题有 4 个，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 若 P1 AP=A= ，P= 1， 2， 3，则有 AP=PA，即A1， 2， 3=1， 2， 3 ，即 A 1，A 2，A 3=a11，a 22，a 33可见 i 是矩阵 A 属于特征值 ai 的特征向量(i=1，2，3)，又因矩阵 P 可逆，因此， 1， 2， 3
12、线性无关若 是属于特征值 的特征向量，则 仍是属于特征值 的特征向量，故 (A)正确若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 k1+k2 仍是属于特征值 的特征向量本题中， 2， 3 是属于 =6 的线性无关的特征向量，故 2+3， 22 3 仍是 =6 的特征向量，并且 2+3， 22 3线性无关，故(B)正确关于(C)，因为 2， 3 均是 =6 的特征向量，所以 2， 3谁在前谁在后均正确，即(C)正确由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此1+2， 1 2 不再是矩阵 A 的特征向量，故(D) 错误【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 由题意，E ijAEij=B其中
13、因 Eij 是可逆阵，E ijAEij=B，故AB； Eij 可逆，且 Eij=Eij1 ，则 EijAEij=Eij1 AEij=B，故 AB；E ij 是对称阵，Eij=EijT，则 EijAEij=EijTAEij，故 A B因此 AB，A B，A B【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 因 f=XTAX=x12+2x1x2+x32=(x1+x2)2x 22+x32=y12+y22y 32，故选(B) 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 设 f 的正惯性指数为夕，负惯性指数为 q，f 的正惯性指数为 p1，负惯性指数为 q1，则有 p=q1，q=p
14、1，又 f f，故有 p=p1，q=q 1，从而有r=p+q=p+p1=2p，s=pq=pp 1=0，故选(C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 A T=(E2XX T)T=E2XX T=A，A 是对称阵； A2=(E2XX T)2=E4XX T+4XXTXXT=E，A 是可逆阵； A 可逆，A 对称，且 A2=AAT=E，A 是正交阵； AX=(E2XX T)X=X，X0，= 1 是 A 的特征值，故 A 不是正定阵【知识模块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 =4【试题解析】 因=3(4)=0 ，得=4或有 AX=4X，即 得 =4【知识模块】 线性代数11 【
15、正确答案】 1kr【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1，1，1，0 T【试题解析】 设 B=x1，x 2，x 3，x 4T，那么 对齐次方程组 Ax=0 的系数矩阵进行初等行变换，有故 nr(A)=43=1，则Ax=0 有一个基础解向量则 Ax=0 的基础解系为1，1，1，0 T，将其单位化，得 1，1，1，0 T，即为所求【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1【试题解析】 是矩阵 A1 属于特征值 0 的特征向量，由定义 A1 =0，于是=0A，即【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 7【试题解析】 由于矩阵 T 的秩为 1，故 T 的特征值为 0，0，tr( T)，其中t
16、r(T)=T=6故 A=E T 的特征值为 1，1，7，故 A 的最大特征值为 7【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 3【试题解析】 A ，存在可逆阵 P，使得p1 AP= r(AE)=r(PAP 1 E)=r(P(AE)P 1 =r(AE)=r=1，r(A+2E)=r(P(A+2E)P 1 )=r(A+2E)=r =2，故 r(AE)+r(A+E)=1+2=3【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 E【试题解析】 因 A1=1， A2=2，A 3=3，合并成矩阵形式有 A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3， 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3是可逆阵，故
17、A=1， 2， 31， 2， 31 =E【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 t【试题解析】 f 的对应矩阵 A= f 正定，即 A 正定的顺序主子式大于0，即 取公共部分，知 t 的取值范围是t【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。18 【正确答案】 A 2=A，A 的特征值取值为 1，0，由 AA 2=A(EA)=O 知 r(A)+r(EA)n ，r(A)+r(EA)r(A+EA)=r(E)=n ，故，r(A)+r(E A)=n，r(A)=r，从而 r(EA)=nr对 =1，(EA)X=0 ，因 r(EA)=nr，故有 r 个线性无关特征向量，设为 1
18、， 2， r；对 =0，(0EA)X=0 ，即 AX=0，因 r(A)=r，有 nr个线性无关特征向量，设为 r+1， r+2， n故存在可逆阵 P=1， 2， n，使得 P1 AP=【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A 有 n 个互不相同的特征值，故存在可逆阵 P，使得P1 AP=diag(1， 2， n)=A1，其中 i，i=1 ，2，n 是 A 的特征值，且ij(ij)又 AB=BA，故 P1 APP1 BP=P1 BPP1 AP，即 A1P1 BP=P1 BPA1设P1 BP=(cij)mn，则比较对应元素icij=j=cij，即( i j)cij=0， ij(ij)，得 ci
19、j=0于是 P1 BP= ，即BA 2【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 (1)先求 A 的特征值利用特征值的定义设 A 的任一特征值为，对应于 的特征向量为 ，则 A=T= 若 T=0，则 =0，0，故=0；若 T0，式两端左乘 T， TT=(T)T=(T)因 T0，故 =T=(2)再求 A 的对应于 的特征向量当 =0 时，(EA)X=0，即解方程 a 1x1+a2x2+anxn=0，得特征向量为(设 a10)1=a2，a 1，0，0 T， 2=a3，0， a1，0T， n=an，0，a 1T当 = 时，(EA)X=0由观察知 n=a1，a 2，a nT (3)由 1， 2， n，得
20、可逆阵 P 且【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)设(E+ T)= 左乘 T， T(E+T)=(T+TT)=(1+T)T=T，若 T0，则 =1+T=3；若 T=0，则由式，=1=1 时，(E A)X= TX= TX= b1，b 2,，b nX=0，即b 1，b 2，b nX=0，因T=2，故 0，0，设 b10，则 1=b2，b 1，0，0T， 2=b3，0，b 1，0 T， n1 =bn，0，0，b 1T；=3 时，(3EA)X=(2E T)X=0， n=a1，a 2，a nT(2)取 P=1， 2， n1 ， n=P1 AP=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)由
21、 A=T 和 T=0，有 A 2=AA=(T)(T)=(T)T=(T)T=(T)T=O，即 A 是幂零阵(A 2=O) (2)利用 (1)A2=O 的结果设 A 的任一特征值为 ，对应于 的特征向量为 ，则 A= 两边左乘 A，得 A 2=A=2 因 A2=O，所以 2=0，0 ，故 =0，即矩阵 A 的全部特征值为 0 (3)A 不能相似于对角阵，因 0，0，故 A=TO，r(A)=r0(其实 r(A)=1，为什么?) 从而对应于特征值 =0(n 重)的线性无关的特征向量的个数是 nrn 个，故 A 不能对角化【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 (1) 是 A 的特征值，则 应满足 E
22、A=0，即E A =0将第 2 列乘 ，第 3 列乘 2，第 n 列乘n1 加到第 1 列，再按第 1 列展开，得即n+ aii=0，即 应满足关系 n= aii得证 =1， 2， n1 T 是 A 的对应于 的特征向量 (2)因 1， 2， n互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得P1 AP= 其中 i=1， i， i2， in1 T，i=1 ，n【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 A，B 均是实对称阵，均可相似于对角阵，由于 EA=对换EA的 1，2 列和 1，2 行，得EA=EB故 A 和 B 有相同的特征方程，相同的特征值，它们均相似于同一个
23、对角阵，故 A B【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1)因 A1=11，故 An1=1n1，故 An1=1.1= (2)利用Ai=ii 有 Ani=ini，将 表成 1， 2， 3 的线性组合设 =x11+x22+x33，即解得 ，故【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)二次型的矩阵 A= ，则二次型 f 的矩阵表达式f=TA(2)A 的特征多项式AE=(6+)(1)(6)，则 A 的特征值1=6， 2=1， 3=6 1 6 对应的正交单位化特征向量 p1= 2=1 对应的正交单位化特征向量 p2= 3=6 对应的正交单位化特征向量 p3=令正交矩阵 P=p 1，p 2，p
24、 3= 所求正交变换，二次型 f 的标准型 f=6y 12+y22+6y32【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由(AA T)T=(AT)TAT=AAT，所以 AAT 是对称阵 必要性 若 AAT 正定，r(AA T)=mr(A)，又 r(Amn)m，故 r(A)=m 充分性 若 r(A)=m，则齐次方程组 ATX=0 只有零解，故对任意 X0，均有 ATX0，故 X TAATX=(ATX)T(ATX)0， 即 AAT 正定【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 EA= =(2) 2，A 是实对称阵，故存在正交阵 Q，使得 QTAQ=A1= ，A=QA 1QT， B=(kE+A)2=(
25、kE+QA1QT)2=(Q(kE+A1)QT)2=Q(kE+A1)2QT= 故 BA=当 k0，k2 时，b 的特征值全部大于 0，这时 b 为正定阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 显然 BTAB 为对称矩阵B TAB 为正定矩阵 0， T(BTAB)0(B) TA(B)0 B0r(B)=n【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 用定义证明显然 B 为对称矩阵对 0，当 0 时有TB=T+TATA=T+(A)T(A)=2+A20故 B 为正定矩阵【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 必要性取 B=A1 ，则 AB+BTA=E+(A1 )TA=2E，所以 AB+BTA 是正定矩阵
26、 充分性 用反证法若 A 不是可逆矩阵，则 r(A)n，于是存在实向量00 使得 A0=0因为 A 是实对称矩阵，B 是实矩阵，于是有 0T(AB+BTA)0=(A0)TB0+0TBT(A0)=0， 这与 AB+BTA 是正定矩阵矛盾【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 由 AAT=E 有A 2=1，因此，正交矩阵的行列式为 1 或1由A+B =0 有AB = 1，也有 ATB T= 1 再考虑到A T(A+B)BT=A T+BT=A+B，所以A+B=A+B，A+B=0故 A+B 不可逆【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 f(x，y)=x 2+4xy+y2=x，y f(x，y)=2u
27、 2+EA=(3)(+1)，E B=(3)(+1)实对称矩阵 A 与 B 有相同的特征值，因此 A 与 B 合同A 的特征向量是 ，B 的特征向量是 令，有 Q1TAQ1=diag(3，1)=Q 2TBQ2故P=Q12T=Q1Q2=【知识模块】 线性代数34 【正确答案】 由条件知 A 的特征值为 2，1， 1，则A =2，因为 A*的特征值为 ，所以 A*的特征值为 1，2，2由已知， 是 A*关于 =1 的特征向量，也就是 是 A 关于 =2 的特征向量由 得2ABA1 =2AB+4E=B=2(EA) 1 ，则 B 的特征值为 2，11，且 B=2设B 关于 =1 的特征向量为 =x1，x
28、 2，x 3T，又 B 是实对称阵， 与 正交，故x1+x2 x3=0，解出 1=1，1，0 T， 2=1，0，1 T，令故XTBX=2x 1x2+2x1x3+2x2x3【知识模块】 线性代数35 【正确答案】 由于 A 为 n 阶正定矩阵，故存在正交矩阵 U，使得这里，0 12 n 为 A 的全部特征值取则并且 H 仍为正定矩阵如果存在另一个正定矩阵 H1，使得 A=H12，对于 H1，存在正交矩阵 U1，使得 从而这里 0 1222 n2 为 A 的全部特征值故i2=i(i=1，2 ，n) ，于是 i= (i=1，2，n)，从而由于 A=H2=H12，故则ipij=ipij(i，j=1，2，n)，当 ij 时，p ij=0，这时(i，j=1，2，n) ；当 i=j 时，当然有(i，j=1，2，n) 故即 H=H1【知识模块】 线性代数36 【正确答案】 因为 A1 与 B1 合同，所以存在可逆矩阵 C1，使 B1=C1TC1因为A2 与 B2 合同，所以存在可逆矩阵 C2，使 B2=C2TA2C2令 C= ，则 C 可逆，于是有【知识模块】 线性代数
