1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 55 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1， 2， 3 线性相关， 2， 3， 4 线性无关，则( )（A） 1 可由 2， 3 线性表示（B） 4 可由 1， 2， 3 线性表示（C） 4 可由 1， 3 线性表示（D） 4 可由 1， 2 线性表示2 设向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组( ) （A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（B） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性无关（C） 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关（D） 1+2， 2+3
2、， 3 一 4， 4 一 1 线性无关3 向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是 ( )（A）向量组 1， 2， ， m， 线性无关（B）存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m，使得 k11+k22+kmm0（C）向量组 1， 2， m 的维数大于其个数（D）向量组 1， 2， ， m 的任意一个部分向量组线性无关4 设向量组 1， 2， m 线性无关， 1 可由 1， 2， m 线性表示，但 2 不可由 1， 2， ， m 线性表示，则( )（A） 1， 2， m 一 1， 1 线性相关（B） 1， 2， m 一 1， 1， 2 线性相关（C） 1， 2， m， 1+2 线性
3、相关（D） 1， 2， m， 1+2 线性无关5 设 n 维列向量组 1， 2， m(mn)线性无关，则 n 维列向量组1， 2， m 线性无关的充分必要条件是( )（A）向量组 1， 2， ， m 可由向量组 1， 2， ， m 线性表示（B）向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， m 线性表示（C）向量组 1， 2， m 与向量组 1， 2， m 等价（D）矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价6 设 1， 2， 3 线性无关， 1 可由 1， 2， 3 线性表示， 2 不可由 1， 2， 3 线性表示，对任意的常数 k 有( )（A） 1， 2， 3，k
4、1+2 线性无关（B） 1， 2， 3，k m+2 线性相关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（D） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关7 设 n 阶矩阵 A=(1， 2， n)，B=( 1， 2， n)，AB=( 1， 2， n)，记向量组 () ： 1， 2， n； ()： 1， 2， n； ()： 1， 2， n，若向量组() 线性相关，则 ( )（A）() ， ()都线性相关（B） ()线性相关（C） ()线性相关（D）() ， ()至少有一个线性相关8 设向量组() ： 1， 2， ， s 的秩为 r1，向量组(): 1， 2， s 的秩为 r2，且向量组()可由向量组(
5、 ) 线性表示，则( )（A） 1+1， 2+2， s+s 的秩为 r1+r2（B）向量组 1 一 1， 2 一 2， s 一 s 的秩为 r1 一 r2（C）向量组 1， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r2（D）向量组 1， s， 1， 2， s 的秩为 r19 向量组 1， s 线性无关的充要条件是( )（A） 1， s 都不是零向量（B） 1， s 中任意两个向量不成比例（C） 1， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示（D） 1， s 中有一个部分向量组线性无关10 设 A 为 n 阶矩阵，且|A|=0，则 A( )（A）必有一列元素全为零（B）必有两行元素对应成比例（C）必有
6、一列是其余列向量的线性组合（D）任一列都是其余列向量的线性组合11 设 则 A 与 B( )（A）合同且相似（B）相似但不合同（C）合同但不相似（D）既不相似又不合同二、填空题12 设 1= 2= 3= 线性相关，则 a=_13 设向量组 1， 2， 3 线性无关，且 1+a2+43， 21+2 一 3， 2+3 线性相关，则 a=_14 设 ，且 ， 两两正交，则a=_，b=_15 设 A=(1， 2， 3， 4)为 4 阶方阵，且 AX=0 的通解为 X=k(1，1，2，一 3)T，则 2 由 1， 3， 4 表示的表达式为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 设 A
7、，B 为 n 阶矩阵，16 求 PQ；17 证明：当 P 可逆时，Q 也可逆18 设 A 为 n 阶可逆矩阵，A 2=|A|E证明：A=A *19 设 A 为 N 阶矩阵，且 A22A 一 8E=0证明：r(4E 一 A)+r(2E+A)=n20 证明：若矩阵 A 可逆，则其逆矩阵必然唯一21 设 A 是 mn 阶矩阵，若 ATA=0，证明：A=0 22 设向量组 1， 2， 3 线性无关，证明： 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关23 设 1， m， 为 m+1 维向量，= 1+ m(m1)证明：若 1， m 线性无关，则 一 1， m 线性无关24 设 1， 2， ，
8、 n(n2)线性无关，证明：当且仅当 n 为奇数时，1+2， 2+3， n+ 1 线性无关25 设 1， n 为 n 个 m 维向量，且 mn，证明： 1， n 线性相关26 证明：若一个向量组中有一个部分向量组线性相关，则该向量组一定线性相关27 n 维列向量组 1， n 一 1 线性无关，且与非零向量 正交，证明：1， ， n 一 1， 线性无关28 设向量组 1， n 为两两正交的非零向量组，证明： 1， n 线性无关，举例说明逆命题不成立29 设 A 为 nm 矩阵，B 为 mn 矩阵(mn)，且 AB=E证明：B 的列向量组线性无关30 设 1， 2， ， m， 1， 2， n 线性
9、无关，而向量组 1， 2， m， 线性相关证明：向量 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示考研数学三（线性代数）模拟试卷 55 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 2， 3， 4 线性无关，所以 2， 3 线性无关，又因为1， 2， 3 线性相关，所以 1 可由 2， 3 线性表示，选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为一( 1+2)+(2+3)一( 3+4)+(4+1)=0， 所以1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关； 因为( 1 一 2)+(2 一 3)+(
10、3 一 4)+(4 一1)=0， 所以 1 一 2， 2 一 3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关； 因为( 1+2)一(2+3)+(3 一 4)+(4 一 1)=0， 所以 1+2， 2+3， 3 一 4， 4 一 1 线性相关，容易通过证明向量组线性无关的定义法得 1+2， 2+3， 3+4， 4 一 1 线性无关，选(C)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1， m， 线性无关可以保证 1， m 线性无关，但1， 2， m 线性无关不能保证 1， 2， m， 线性无关；(B)不对，因为 1， 2， m 线性无关可以保证对任意一组非零常数 k1，
11、k 2，k m，有k11+k22+kmm0，但存在一组不全为零的常数 k1，k 2，k m 使得k11+k22+kmm0不能保证 1， 2， m 线性无关； (C)不对，向量组1， 2， m 线性无关不能得到其维数大于其个数，如 1= ， 2= 线性无关，但其维数等于其个数，选(D)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，因为 1 可由向量组 1， 2， m 线性表示，但不一定能被 1， 2， m 一 1 线性表示，所以 1， 2， m 一 1， 1 不一定线性相关；(B)不对，因为 1， 2， m 一 1， 1 不一定线性相关， 2 不一定可由1， 2， m 一
12、 1， 1 线性表示，所以 1， 2， m 一 1， 1， 2 不一定线性相关； (C)不对，因为 2 不可由 1， 2， m 线性表示，而 1 可由1， 2， m 线性表示，所以 1+2 不可由 1， 2， m 线性表示，于是1， 2， m， 1+2 线性无关，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 因为 1， 2， m 线性无关，所以向量组 1， 2， m 的秩为m，向量组 1， 2， m 线性无关的充分必要条件是其秩为 m，所以选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 因为 1 可由 1， 3， m 线性表示， 2 不可由 1， 3 线性表示
13、，所以 k1，+ 2 一定不可以由向量组 1， 3 线性表示，所以 1， 3，k 1+2 线性无关，选(A)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】 若 1， 2， n 线性无关， 1， 2， n 线性无关，则 r(A)=n， r(B)=n， 于是 r(AB)=n因为 1， 2， n 线性相关，所以 r(AB)=r(1， 2， n)n， 故 1， 2， n 与 1， 2， n 至少有一个线性相关，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 因为向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， s 线性表示，所以向量组 1， 2， s，与向量组 1， 2， ， n
14、， 1， 2， s 等价，选(D)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 若向量组 1， 2， s 线性无关，则其中任一向量都不可由其余向量线性表示，反之，若 1， 2， s 中任一向量都不可由其余向量线性表示，则 1， 2， s 一定线性无关，因为若 1， 2， ， s 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余向量线性表示，故选(C)【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 C【试题解析】 因为|A|=0，所以 r(A)n ，从而 A 的 n 个列向量线性相关，于是其列向量中至少有一个向量可由其余向量线性表示，选(C)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 C【试题解析】 显
15、然 A，B 都是实对称矩阵，由|E 一 A|=0，得 A 的特征值为1=1， 2=2， 3=9，由|E 一 B|=0，得 B 的特征值为 1=1， 3=3=3，因为 A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以 A，B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数二、填空题12 【正确答案】 【试题解析】 1， 2， 3 线性相关的充分必要条件是| 1， 2， 3|=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 5【试题解析】 ( 1+a2+43，2 1+2 一 3， 2+3)=(1， 2， 3) 因为1， 2， 3 线性无关，而 1+a2+43，2 1+a2 一 3， 2+3 线性相关，所以=0，
16、解得 a=5【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 一 4；一 13【试题解析】 因为 ， 正交，所以 ，解得 a=一 4，b=一 13【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 一 1 一 23+34【试题解析】 因为(1，1，2，一 3)T 为 AX=0 的解，所以 1+2+23 一 34=0，故2=一 1 一 23+34【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为|P|=|A|B|，所以当 P 可逆时，A|B|0，而 PQ=|A|B|E，即=E，于是 Q 可逆且 Q1=【知
17、识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 AA*=|A|E，又已知 A2=|A|E，所以 AA*=A2，而 A 可逆，故A=A*【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由 A22A 一 8E=0 得(4E 一 A)(2E+A)=0，根据矩阵秩的性质得r(4E 一 A)+r(2E+A)n，又 r(4E 一 A)+r(2E+A)r(4EA)+(2E+A)=r(6E)=n，所以有 r(4E 一 A)+r(2E+A)=n【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 设存在可逆阵 B，C，使得 ABACE，于是 A(B 一 C)一 0，故 r(A)+r(B 一 C)n，因为 A 可逆，所以 r(A)=n
18、，从而 r(B 一 C)=0，B 一 C=0，于是 B=C，即 A 的逆矩阵是唯一的【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 r(A)=r(ATA)，而 ATA=0，所以 r(A)=0，于是 A=0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 k1(1+2+3)+k2(1+22+33)+k3(1+42+93)=0，即(k 1+k2+k3)1+(k1+2k2+4k3)1+(k1+3k2+9k3)3=0，因为 1， 2， 3 线性无关，所以有而 (i 一 j)=20，由克拉默法则得k1=k2=k3=0，所以 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93 线性无关【知识模块】 线性代数23
19、【正确答案】 令 k1( 一 1)+km( 一 m)=0，即 k1(2+3+ m)+km(1+2+ m 一 1)=0 或(k 2+k3+km)1+(k1+k3+km)2+(k1+k2+km一 1)m=0，因为 1， m 线性无关，所以 因为=(一 1)m 一 1(m 一 1)0，所以 k1=k1=0，故 一 1， 一m 线性无关【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 设有 x1，x 2，x n，使 x1(1+2)+x2(2+3)+xn(n+1)=0，即(x1+xn)1+(x1+x2)2+(xn 一 1+xn)n=0，因为 1， 2， n 线性无关，所以有该方程组系数行列式 Dn=1+(一 1
20、)n+1，n 为奇数Dn0 x1=xn=0 1+2， 2+3， n+1 线性无关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 向量组 1， n 线性相关的充分必要条件是方程组x11+xnn=0 有非零解，因为方程组 x11+xnn=0 中变量有 n 个，约束条件最多有 m 个且 mn，所以方程组 x11+xnn=0 一定有自由变量，即方程组有非零解，故向量组 1， n 线性相关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 1， n 为一个向量组，且 1， r(rn)线性相关，则存在不全为零的常数 k1，k r，使得 k11+krr=0，于是k11+krr+0r+1+0 n=0，因为 k1，k r，
21、0，0 不全为零，所以1， ， n 线性相关【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 令 k0+k11+kn 一 1n 一 1=0，由 1， n 一 1 与非零向量 正交及(，k 0+k11+kn 一 1n 一 1)=0 得 k0(，)=0，因为 为非零向量，所以(， )=|2 0，于是 k0=0，故 k11+kn 一 1n 一 1=0，由 1， n 一 1 线性无关得 k1=kn 一 1=0，于是 1， n 一 1， 线性无关【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 令 k1 1+kn n=0，由 1， n 两两正交及( 1，k 1 1+kn n)=0，得 k1(1， 1)=0，而 (1，
22、1)=|1|20，于是 k1=0，同理可证 k2=k1=0，故 1， ， n 线性无关令 1= ， 2= ，显然 1， 2 线性无关，但 1， 2不正交【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 首先 r(B)minm，n=n，由 AB=E 得 r(AB)=n，而 r(AB)r(B)，所以 r(B)n，从而 r(B)=n，于是 B 的列向量组线性无关【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 因为向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性无关，所以向量组 1， 2， ， m 也线性无关，又向量组 1， 2， m， 线性相关，所以向量 可由向量组 1， 2， m 线性表示，从而 y 可由向量组 1， 2， m， 1， 2， n 线性表示【知识模块】 线性代数
