1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 57 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）A，B 都不可逆的充分必要条件是 AB 不可逆（B） r(A) n，r(B) n 的充分必要条件是 r(AB) n（C） AX=0 与 BX=0 同解的充分必要条件是 r(A)=r(B)（D）AB 的充分必要条件是 E 一 AE 一 B2 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 为 A 的特征值，则 A*的一个特征值为 ( )（A）（B）（C） |A|（D）|A| n 一 13 设三阶矩阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=0， 3=1，
2、则下列结论不正确的是( ) （A）矩阵 A 不可逆（B）矩阵 A 的迹为零（C）特征值一 1，1 对应的特征向量正交（D）方程组 AX=0 的基础解系含有一个线性无关的解向量4 设 A 为三阶矩阵，方程组 AX=0 的基础解系为 1， 2，又 =一 2 为 A 的一个特征值，其对应的特征向量为 3，下列向量中是 A 的特征向量的是( )（A） 1+3（B） 33 一 1（C） 1+22+33（D）2 1 一 325 设 A 为 n 阶实对称矩阵，下列结论不正确的是( )（A）矩阵 A 与单位矩阵 E 合同（B）矩阵 A 的特征值都是实数（C）存在可逆矩阵 P，使 PAP 一 1 为对角阵（D）
3、存在正交阵 Q，使 QTAQ 为对角阵6 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵相似，则( )（A）A 的 n 个特征值都是单值（B） A 是可逆矩阵（C） A 存在 n 个线性无关的特征向量（D）A 一定为 n 阶实对称矩阵7 设 ， 为四维非零列向量，且 ，令 A=T，则 A 的线性无关特征向量个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 设 A，B 为正定矩阵，C 是可逆矩阵，下列矩阵不是正定矩阵的是( ) （A）C TAC（B） A 一 1+B 一 1（C） A+B *（D）A 一 B二、填空题9 设 A 是三阶矩阵，其三个特征值为 ，则|4A *+3E|=_10 设 A 为 n 阶可逆
4、矩阵，若 A 有特征值 0，则(A *)2+3A*+2E 有特征值_11 已知 有三个线性无关的特征向量，则 a=_12 设 A 为三阶实对称矩阵，且 1= ， 2= 为 A 的不同特征值对应的特征向量，则 a=_13 设 AB，其中 A= ，则x=_， y_14 设 A 是三阶实对称矩阵，其特征值为 1=3， 2=3=5，且 1=3 对应的线性无关的特征向量为 1= ，则 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为_15 设 ， 为三维非零列向量，(，)=3，A= T，则 A 的特征值为_16 设 是矩阵 A= 的特征向量，则a=_，b=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17
5、设 ，且 AX=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，求 AX=0 的通解18 就 a，b 的不同取值，讨论方程组18 设19 若 aiaj(ij)，求 ATX=b 的解；20 若 ai=a3=a0，a 2=a4=一 a，求 ATX=b 的通解21 设向量组 1， 2， s 为齐次线性方程组 AX=0 的一个基础解系，A0证明：齐次线性方程组 BY=0 只有零解，其中 B=(，+ 1，+ s)22 求矩阵 A= 的特征值与特征向量22 设 为 A 的特征向量23 求 a，b 及 A 的所有特征值与特征向量24 A 可否对角化？若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角矩阵25
6、设 ，求 A 的特征值，并证明 A 不可以对角化26 设 ，已知 A 有三个线性无关的特征向量且 =2 为矩阵A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P 一 1 AP 为对角矩阵27 设 ATA=E，证明：A 的实特征值的绝对值为 1考研数学三（线性代数）模拟试卷 57 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 若 AB，则存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B，于是 P 一 1(E 一 A)P=E 一 P 一 1AP=E 一 B，即 E 一 AE 一 B；反之，若 E 一 AE 一 B，即存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1(
7、E 一 A)P=E 一 B，整理得 E 一 P 一 1AP=E 一B，即 P 一 1AP=B，即 AB，应选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 可逆，所以 0，令 AX=X，则 A 一 1AX=A 一 1X，从而有A*X= 选(B)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由 1=一 1， 2=0， 3=1 得|A|=0，则 r(A)3，即 A 不可逆，【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AX=0 有非零解，所以 r(A)n，故 0 为矩阵 A 的特征值，1， 2 为特征值 0 所对应的线性无关的特征向量，显然特征值
8、0 为二重特征值，若1+3 为属于特征值 0 的特征向量，则有 A(1+3)=0(1+3)，注意到 A(1+3)=01 一 23=一 23，故一 23=0(1+3)或 01+(0+2)3=0，因为 1， 3 线性无关，所以有 0=0， 0+2=0，矛盾，故 1+3 不是特征向量，同理可证 33 一 1 及1+22+33 也不是特征向量，显然 21 一 32 为特征值 0 对应的特征向量，选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A【试题解析】 根据实对称矩阵的性质，显然【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 与对角阵相似的充分必要条件是其有 n 个线性无关的特征
9、向量，A 有 n 个单特征值只是其可对角化的充分而非必要条件，同样 A 是实对称阵也是其可对角化的充分而非必要条件，A 可逆既非其可对角化的充分条件，也非其可对角化的必要条件，选(C)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 ， 为非零向量，所以 A=T0，则 r(A)1，又因为 r(A)=r(T)r()=1，所以 r(A)=1令 AX=AX，由 A2X=T TX=0=2x 得 =0，因为 r(0E 一 A)=r(A)=1，所以 A 的线性无关的特征向量个数为 3，应选(C)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 显然四个选项中的矩阵都是实对称阵，因为 A，
10、B 正定，所以 A 一1，B 一 1 及 A*，B *都是正定的，对任意 X0，X T(CTAC)X=(CX)TA(CX)0(因为C 可逆，所以当 X0 时，CX0)，于是 CTAC 为正定矩阵，同样用定义法可证 A一 1+B 一 1 与 A*+B*都是正定矩阵，选(D) 【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 10【试题解析】 |A|= ，A *的特征值为 ，4A *+3E 的特征值为5，1，2，于是|4A *+3E|=10【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 【试题解析】 因为 A 可逆，所以 00，A *对应的特征值为 ，于是(A *)2+3A*+2E 对应的特征值为【知识
11、模块】 线性代数11 【正确答案】 一 10【试题解析】 由|E 一 A|= =( 一 1)( 一 2)2=0 得1=1， 2=3=2，因为 A 可对角化，所以 r(2E 一 A)=1，由 2E 一 A=得 a=一 10【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有 6+3a+3一 6a=0，a=3【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 3，1【试题解析】 因为 AB，所以 解得x=3，y=1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2= ， 3=【试题解析】 因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，令 2=3=5 对应的特征
12、向量为 =0 得 2=3=5 对应的线性无关的特征向量为 2=， 3=【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0 或者 3【试题解析】 因为 A2=3A，令 AX=X，因为 A2X=2X，所以有( 23)X=0，而X0，故 A 的特征值为 0 或者 3，因为 1+2+3=tr(A)=(，)，所以1=3， 3=3=0【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 2，3【试题解析】 由 A= 得 ，解得=5，a=2，b=3【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 因为 r(A)=2，所以t=1，方程组的通解为 X=k1 (k1， k2 为任意常数)【
13、知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)当 a0，ab 时，方程组有唯一解，唯一解为 x1=1 一 ，x 2= ，(2)当 a=0 时，因为 r(A) ，所以方程组无解；(3)当 a=b0 时，方程组有无穷多个解，通解为 (k 为任意常数)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 D=|A T|=(a4 一 a1)(a4 一 a2)(a4 一 a3)(a3 一 a1)(a3 一 a2)(a2 一 a1)，若aiaj(ij)，则 D0，方程组有唯一解，又 D1=D2=D3=0，D 4=D，所以方程组的唯一解为 X=(0，0，0，1) T；【知识模块】 线性代数20 【
14、正确答案】 当 a1=a3=a0，a 2=a4=一 a 时，方程组通解为X=k1(一 a2，0，1，0) T+k2(0，一 a2，0，1) T+(0，a 2，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 1， 2， y 线性无关，因为 A0，所以 ，+ 1，+ 1线性无关，故方程组 BY=0 只有零解【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由|E 一 A|=( 一 1)2( 一 4)=0 得 1=2=1， 3=4当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得属于特征值 =1 的线性无关的特征向量为 1= 1= ，全部特征向量为 k11+k22(k1，k 2 不同
15、时为 0)；当 =4 时，由(【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () 由 A= 得 解得a=1，b=1，=3由|E 一 A|= =( 一 2)( 一 3)=0 得1=0， 2=2， 3=3【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 () 因为 A 的特征值都是单值，所以 A 可相似对角化将 1=0 代入(E 一 A)X=0 得 1=0 对应的线性无关特征向量为 1= 将 2=2 代入(E 一A)X 一 0 得 2=2 对应的线性无关特征向量为 2= 将 3=3 代入(E 一 A)X=0得 3=3 对应的线性无关特征向量为 3=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】
16、 由|E 一 A|= =( 一 2)3=0 得 =2(三重)，因为 r(2E 一 A)=1，所以 =2 只有两个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由 1=2=2 及 1 +2 +3 =tr(A)=10 得 1 =6因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(2E 一 A)=1，由 2E 一 A=得 a=2，b=一 2将 1=2=2 代入(E一 A)X=0，由 2E 一 A 得 1 =2 =2 对应的线性无关的特征向量为 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 AX=X，则 XTAT=XT，从而有 XTATAX=XTAX=2XTX，因为 ATA=E， 所以( 2 一 1)XTX=0，而 XTX=|X|20，所以 2=1，于是|=1【知识模块】 线性代数
