1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 59 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P1，P 2，使得 P1 一 1AP1，P 2 一 1BP2 为对角矩阵（B）存在正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q1TAQ1，Q 2TBQ2 为对角矩阵（C）存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1(A+B)P 为对角矩阵（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B2 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是( )（A）A 无负特征值（B） A 是满秩矩阵（C） A 的每个特征值都是单值（D）A *是正定矩阵3 下列说法正确
2、的是( )（A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的4 设 A 为可逆的实对称矩阵，则二次型 XTAX 与 XTA 一 1X( )（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同5 设 n 阶矩阵 A 与对角矩阵合同，则 A 是( )（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵6 设 A，B 都是 n 阶矩阵，且存在可逆矩阵 P，使得 AP
3、=B，则( )（A）A，B 合同（B） A，B 相似（C）方程组 AX=0 与 BX=0 同解（D）r(A)=r(B)7 设 A，B 为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充分必要条件是( )（A）r(A)=r(B)（B） |A|=|B|（C） AB（D）A，B 与同一个实对称矩阵合同8 设 ，则 A 与 B( )（A）相似且合同（B）相似不合同（C）合同不相似（D）不合同也不相似9 设 A，B 为三阶矩阵，且特征值均为一 2，1，1 ，以下命题：(1)AB ；(2)A，B 合同；(3)A，B 等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为( )（A）1（B） 2（C） 3（D）4二、填空
4、题10 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1 一 2x2)2+4x2x3 的矩阵为_11 设 1= ， 2= ， 3= ，则 1， 2， 3 经过施密特正交规范化后的向量组为_12 设二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3 的秩为 2，则 a=_13 设 5x12+x22+tx32+4x1x2 一 2x1x3 一 2x2x3 为正定二次型，则，的取值范围是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 设 有三个线性无关的特征向量，求 x，y 满足的条件15 设 A 为 n 阶非零矩阵，且存在自然数 k，使得 Ak=0证明：A 不可以对角化16 设 A 为三阶
5、矩阵，A i=ii(i=1，2，3)， 1= ， 2= ， 3= ，求A17 设 的逆矩阵 A 一 1 的特征向量求 x，y，并求 A 一 1 对应的特征值 18 设 ，|A|=一 1，= 为 A*的特征向量，求A*的特征值 及 a，b，c 和 A 对应的特征值 18 设 AB，A=19 求 a，b；20 求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B20 设 且 AB 21 求 a；22 求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B22 设 有三个线性无关的特征向量23 求 a；24 求 A 的特征向量；25 求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角阵26 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x
6、3)=x12+x2x3 为标准二次型27 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x1x3 一 4x32 为标准形28 设 P 为可逆矩阵， A=PTP证明：A 是正定矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 59 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 正定的充分必要条件是 A 的特征值都是正数，(A)不对；若 A 为正定矩阵，则 A 一定是满秩矩阵，
7、但 A 是满秩矩阵只能保证 A 的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 f=x1x2，令 则 f=y12 一 y22；若令则 f=y12 一 9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为 0，不能保证其正惯性指数为 n；选 (D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一【知识模块】 线性代
8、数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与 A 一 1 合同，所以 XTAX 与 XTA 一 1X 规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A 与对角阵 A 合同，所以存在可逆矩阵 P，使得 PTAP=A，从而 A=(PT)一 1AP 一 1=(P 一 1)TAP 一 1，A T=(P 一 1)TAP 一 1T=(P 一 1)TAP 一 1=A，选(B)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 P 可逆，所以 r(A)=r(B)，选(D)【知识模块】 线性代数7 【正确答
9、案】 D【试题解析】 因为 A，B 与同一个实对称矩阵合同，则 A，B 合同，反之若 A，B合同，则 A，B 的正负惯性指数相同，从而 A，B 与 合同，选(D)【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 由|E 一 A|=0 得 A 的特征值为 1，3，一 5，由|E 一 B|=0 得 B 的特征值为 1，1，一 1，所以 A 与 B 合同但不相似，选 (C)【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 B【试题解析】 因为 A，B 的特征值为一 2，1，1 ，所以|A|=|B|=一 2，又因为 r(A)=r(B)=3，所以 A，B 等价，但 A，B 不一定相似或合同，选(B)【知识模
10、块】 线性代数二、填空题10 【正确答案】 【试题解析】 因为 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22 一 4x1x2+4x2x3，所以【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1=【试题解析】 令1= 2=2= 3=3，正交规范化的向量组为 1=【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 该二次型的矩阵为 因为该二次型的秩为 2，所以|A|=0，解得【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 t2【试题解析】 二次型的矩阵为 因为二次型为正定二次型，所以有 50， =10，|A|0，解得 t2【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确
11、答案】 由|E 一 A|= =(+1)( 一 1)2 得 1=一1， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，所以 r(E一 A)=1，由 E 一 A= 得 x+y=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 令 AX=X(X0)，则有 AkX=kX，因为 Ak=0，所以 kX=0，注意到 X0，故 k=0，从而 =0，即矩阵 A 只有特征值 0因为 r(0E 一 A)=r(A)1，所以方程组(0E 一 A)X=0 的基础解系至多含 n 一 1 个线性无关的解向量，故矩阵 A不可对角化【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案
12、】 令 A=0，即 解得0=4，x=10，y=一 9，根据一对逆矩阵的特征值互为倒数的性质知 =【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 因为 A*的特征向量也是 A 的特征向量，由因为|A|=一 1，所以 a=2，于是 a=2，b=一 3，c=2，= =1【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 |E 一 A|=( 一 2)2 一(a+3)+3(a 一 1)=f()，因为 =2 为 A 的二重特征值，所以 a=5，于是|E 一 A|=( 一 2)2( 一 6)，故 b=6【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由(2E 一 A)X=0 得 =2 对应的线性无关的特征向
13、量为1= ， 1= 由(6E 一 A)X=0 得 =6 对应的线性无关的特征向量为 3=令 P= ，则 P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 AB，所以 tr(A)=tr(B)，即 2+a+0=1+(一 1)+2，于是 a=0【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由|E 一 A|= =(+1)( 一 1)( 一 2)=0 得A，B 的特征值为 1=一 1， 2=1， 3=2当 =一 1 时，由(一 E 一 A)X=0 即(E+A)X=0 得 1=(0，一 1，1) T；当 =1 时，由(E 一 A)X=0 得 2=(0，1，1) T；当 =
14、2 时，由(2E 一 A)X=0 得 3=(1， 0，0) T，取 P1= 则 P1 一 1AP1=当 =一 1 时，由(一 E 一 B)X=0 即(E+B)X=0 得 1=(0，1，2) T；当=1 时，由(E 一 B)X=0 得 2=(1，0，0) T；当 =2 时，由(2E 一 B)X=0 得3=(0，0，1) T，取 P2= 则 P2 一 1BP2= 由 P1 一 1AP1=P2 一1BP2 得(P 1P2 一 1)一 1A(P1P2 一 1)=B，取 P=P1P2 一 1=，则 P 一 1AP=B【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由|E 一 A|= =(
15、+2)( 一 1)2=0 得矩阵 A 的特征值为 1=一 2， 2=3=1，因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以相似对角化，从而 r(E 一 A)=1，由 E 一 A= 得a=一 1【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 将 =一 2 代入(E 一 A)X=0，即(2E+A)X=0，由 2E+A=一 2 对应的线性无关的特征向量为 1= 将 =1 代入 (E 一 A)X=0即(E 一 A)X=0，由得 =1 对应的线性无关的特征向量为2= 3=【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 令 P= ，则 P 一 1AP=【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 令 即 X=PY，其
16、中 X=则 f(x1，x 2，x 3)=XTAX YTPTAP)Y=y12+y22 一 y32【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+2x1x2+2x1x3 一 4x32=(x1+x2+x3)2 一(x 2+x3)2 一4x32，则 f(x1，x 2， x3)=XTAX Y12 一 y22 一 4y32【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 显然 AT=A，对任意的 X0，X TAX=(PX)T(PX)，因为 X0 且 P 可逆，所以 PX0，于是 XTAX=(PX)T(PX)=|PX|20，即 XTAX 为正定二次型，故 A为正定矩阵【知识模块】 线性代数
