1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 64 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32，一 3，2 1)，则 P 一 1AP 等于( )2 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 的特征值相同，则( )（A）A，B 相似于同一个对角矩阵（B）存在正交阵 Q，使得 QTAQ=B（C） r(A)=r(B)（D）以上都不对3 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题错误的是( )（A）若 A2=E，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（B）若 r(E+A)n，则一 1 一定是矩阵 A 的特征
2、值（C）若矩阵 A 的各行元素之和为一 1，则一 1 一定是矩阵 A 的特征值（D）若 A 是正交矩阵，且 A 的特征值之积小于零，则一 1 一定是 A 的特征值4 与矩阵 相似的矩阵为( )5 设 A 为 n 阶矩阵，下列结论正确的是( )（A）矩阵 A 的秩与矩阵 A 的非零特征值的个数相等（B）若 AB ，则矩阵 A 与矩阵 B 相似于同一对角阵（C）若 r(A)=rn，则 A 经过有限次初等行变换可化为（D）若矩阵 A 可对角化，则 A 的秩与其非零特征值的个数相等6 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得
3、QTAQ=B（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题7 设 有三个线性无关的特征向量，则 a=_8 设 有三个线性无关的特征向量，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 设 A 为 n 阶非零矩阵，且 A2=A，r(A)=r求|SE+A|9 设 相似于对角阵，求：10 a 及可逆阵 P，使得 P 一 1AP=A，其中 A 为对角阵；11 A10012 设 有三个线性无关的特征向量，且 =2为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角矩阵13 设 有四个线性无关的特征向量，求 A 的特征值与特征向量，
4、并求 A201014 设 方程组 AX=有解但不唯一 ,(1)求 a；(2)求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为对角阵；(3) 求正交阵 Q，使得 QTAQ 为对角阵14 设矩阵15 若 A 有一个特征值为 3，求 a；16 求可逆矩阵 P，使得 PTA2P 为对角矩阵16 设矩阵 为 A*对应的特征向量17 求 a，b 及 对应的 A*的特征值；18 判断 A 可否对角化18 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是三维线性无关的列向量，且 A1=一1+22+23，A 2=21 一 2 一 23，A 3=21 一 22 一 319 求矩阵 A 的全部特征值；20 求|A *+2E|21
5、设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)2 一 4E 的特征值为 0，5，32求 A 一 1 的特征值并判断 A 一 1 是否可对角化21 设 的一个特征值为 1=2，其对应的特征向量为 1=22 求常数 a， b，c ；23 判断 A 是否可对角化，若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP 为财角矩阵若不可对角化，说明理由23 设二维非零向量 不是二阶方阵 A 的特征向量24 证明 ，A 线性无关；25 若 A2a+A一 6=0，求 A 的特征值，讨论 A 可否对角化；26 设 A 为实对称矩阵，且 A 的特征值都大于零证明：A 为正定矩阵考研数学三（线性代
6、数）模拟试卷 64 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32，一 3，2 1 也是特征值 1，2，一 1 的特征向量，所以 P 一1AP= ，选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 令 ，显然 A，B 有相同的特征值，而 r(A)r(B)，所以(A) ，(B)，(C)都不对，选(D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 若 r(E+A) n，则|E+A|=0，于是一 1 为 A 的特征值；若 A 的每行元素之和为一 1，则 ，根据特征值特征向量的定义，一 1 为 A 的特征值；
7、若 A 是正交矩阵，则 ATA=E，令 AX=X(其中 X0)，则 XTAT=XT，于是 XTATAX=2XTX，即( 2 一 1)XTX=0，而 XTX0，故 2=1，再由特征值之积为负得一 1 为 A 的特征值，选(A)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征值为 1，2，0，因为特征值都是单值，所以 A 可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项(D)中的矩阵特征值与 A 相同且可以对角化，所以选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 不对，如 ，A 的两个特征值都是 0，但 r(A)=1；(B)不对，因为 AB 不一定保证 A，B
8、 可以对角化；(C)不对，如 ，A 经过有限次行变换化为 ，经过行变换不能化为 因为 A可以对角化，所以存在可逆矩阵 P，使得 P 一 1AP= ，于是 r(A)=，故选(D)【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得 PAQ=B，选(D)【知识模块】 线性代数二、填空题7 【正确答案】 4【试题解析】 由|E 一 A|= =(+1)(1)2=0 得 1=一1， 2=3=1因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 r(E 一 A)=1，解得 A=4【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 0【试题解析】 由|
9、E 一 A|=0 得 A 的特征值为 1=一 2， 2=3=6因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 A 可以对角化，从而 r(6E 一 A)=1，解得 a=0【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。9 【正确答案】 因为 A2=A A(E 一 A)=0 r(A)+r(E 一 A)=n A 可以对角化由A2=A，得|A|E 一 A|=0，所以矩阵 A 的特征值为 =0，1因为 r(A)=r，所以 =1为 r 重特征值，=0 为 n 一 r 重特征值，所以 5E+A 的特征值为 =6(r重) ，=5(n一 r 重 )，故|5E+A|=5 n 一 r6r【知识模块
10、】 线性代数【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 E 一 A|=0 1=2=1， 3=一 1因为 A 相似于对角阵，所以 r(E一 A)=1 (E 一 A)X=0 基础解系为 1=(0，1，0)T， 2=(1，0，1) T，( 一 E 一 A)X=0 基础解系为 3=(1，2，一 1)T，令 P=(1， 2， 3)，则 P 一 1AP=diag(1，1，一 1)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 P 一 1A100P=E A100=PP 一 1=E【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2的线性无关的特征向量有两个，故 r(2E 一 A)
11、=1而 2E 一 A=，所以 x=2，y=一 2由|E 一 A|=(一 2)2(一 6)=0 得 12=2， 3=6由(2E 一 A)X=0 得=2对应的线性无关的特征向量为 1= 由(6E 一 A)X=0 得 =6对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因为 A 为上三角矩阵，所以 A 的特征值为 1=2=1， 3=4=一1因为 A 有四个线性无关的特征向量，即 A 可以对角化，所以有于是 a=0，b=0当 =1时，由(E 一 A)X=0 得 1= 当 =一 1 时，由(一 E 一 A)X=0 得 3=所以 P 一1A2010P=E，从而 A2010=E【知
12、识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)因为方程组 AX=有解但不唯一，所以 |A|=0，从而 a=一 2 或a=1当 a=一 2 时，=23，方程组有无穷多解；当 a=1 时， 方程组无解，故 a=一 2(2)由|E 一 A|=(+3)(一 3)=0 得 1=0， 2=3， 3=一 3由(0E 一 A)X=0 得 1=0 对应的线性无关的特征向量为 1= 由(3E 一 A)X=0 得2=3 对应的线性无关的特征向量为 2= 由(一 3E 一 A)X=0 得 3=一 3 对应的线性无关的特征向量为 3=【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 |E 一 A|=(2 一
13、 1)2 一(a+2)+2a 一 1，把 =3代入上式得 a=2，于是【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由|E 一 A2|=0 得 A2 的特征值为 1=2=3=1， 4=9当 =1时，由(E 一 A2)X=0 得 1=(1， 0，0，0) T， 2=(0，1， 0，0) T， 3=(0，0，一 1，1) T；当=9时，由(9EA 2)X=0 得 1=(0，0，1，1) T将 1， 2， 3 正交规范化得1=(1，0，0，0) T， 2=(0，1，0，0) T， 3= 将 1 规范化得 4=令 P=(1， 2， 3， 4)= ，则 PTA2P=【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代
14、数17 【正确答案】 显然 也是矩阵 A 的特征向量，令 A=1，则有|A|=12，设 A 的另外两个特征值为 2， 3，由 得 2=3=2 对应的 A*的特征值为【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 2E 一 A= ，因为 r(2E 一 A)=2，所以 2=3=2 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不可以对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 A( 1， 2， 3)=(1， 2， 3) ，因为 1， 2， 3 线性无关，所以( 1， 2， 3)可逆，故 由|E 一 A|=|E一B|=(+5)(一 1)2=0，得 A 的特征值为一 5，1，1【知识模块】 线
15、性代数20 【正确答案】 因为|A|=一 5，所以 A*的特征值为 1，一 5，一 5，故 A*+2E 的特征值为 3一 3，一 3从而|A *+2E|=27【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B=(A*)2 一 4E 的三个特征值为 0，5，32，所以(A *)2 的三个特征值为 4，9， 36，于是 A*的三个特征值为2，3，6又因为|A *=36=|A|3 一 1，所以|A|=6 由 =6，得 1=3， 2=2， 3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A 一 1 的特征值为1， 因为 A 一 1 的特征值都是单值，所以 A 一
16、1 可以相似对角化【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 由 A1=21，得【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由|E 一 A|= =0，得 1=2=2， 3=一 1由(2E 一 A)X=0，得 1= 由(一 E 一 A)X=0，得 3= 显然 A 可对角化，令【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 若 ，A 线性相关，则存在不全为零的数 k1，k 2，使得k1+k2A=0，显然 k20，所以 A= ，矛盾，所以 ，A 线性无关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由 A2+A一 6=0，得(A 2+A 一 6E)=0， 因为 0，所以
17、r(A2+A 一 6E)2，从而|A 2+A 一 6E|=0，即 |3E+A|2E 一 A|=0，则|3E+A|=0 或|2E 一 A|=0 若|3E+A|0，则 3E+A 可逆，由(3E+A)(2E 一 A)=0，得 (2E 一 A)=0，即 A=2，矛盾； 若|2E 一 A|0，则 2E 一 A 可逆，由(2E 一 A)(3E+A)=0，得 (3E+A)=0，即 A=一 3，矛盾，所以有|3E+A|=0 且|2E 一 A|=0，于是二阶矩阵 A 有两个特征值一 3，2，故 A 可对角化【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 所对应的二次型为 f=XT=AX，因为 A 是实对称矩阵，所以存在正交变换 X=QY，使得 f=XTAX 1y12+2y22+ nyn2，其中i0(i=1，2，n)，对任意的 X0，因为 X=QY，所以 Y=QTX0，于是f=1y12+2y22+ nyn20，即对任意的 X0有 XTAX0，所以 XTAX 为正定二次型，故 A 为正定矩阵【知识模块】 线性代数
