1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 66 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D=（ ）（A）0（B） a2（C） a2（D）na 22 下列命题中 如果矩阵 AB=E，则 A 可逆且 A1=B； 如果 n 阶矩阵 A，B 满足（AB） 2=E，则（BA ） 2=E； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 A+B必不可逆； 如果矩阵 A，B 均为 n 阶不可逆矩阵，则 AB 必不可逆。 正确的是（ ）（A）（B） （C） （D）3 设 A= 那么（P 1）2010A（Q 2011） 1=
2、（ ）4 设 1， 2， ， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（ ）（A）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2， ，A s 线性相关（B）若 1， 2， s 线性相关，则 A1，A 2，A s 线性无关（C）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2，A s 线性相关（D）若 1， 2， s 线性无关，则 A1，A 2， ，A s 线性无关5 设 A= ，方程组 Ax=0 有非零解。 是一个三维非零列向量，若 Ax=0的任一解向量都可由 线性表出，则 a=（ ）（A）1（B） 2（C） l 或2（D）16 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组（1
3、）A nx=0 和（2）A n+1x=0，现有四个命题： （ 1）的解必是（ 2）的解； （2）的解必是（ 1）的解； （1）的解不是（2）的解； （2）的解不是（ 1）的解。 以上命题中正确的是（ ）（A）（B） （C） （D）7 设 A 是 n 阶实对称矩阵，P 是 n 阶可逆矩阵，已知 n 维列向量 是 A 的属于特征值 的特征向量，则矩阵（P 1AP） T 属于特征值 的特征向量是（ ）（A）P 1（B） PT（C） P（D）（P 1） T8 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，那么与 A 有相同特征值的矩阵是（ ）（A）A T（B） A2（C） A1（D）AE9 已知三阶矩阵 A 的特征值
4、为 0，1，2。设 B=A32A2，则 r（B）=（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）不能确定10 n 阶实对称矩阵 A 正定的充分必要条件是（ ）（A）二次型 xTAx 的负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P 使 P1AP=E（C）存在 n 阶矩阵 C 使 A=C1C（D）A 的伴随矩阵 A*与 E 合同二、填空题11 行列式12 设 =(1,2,3) T，=(1, ,0） T,A=T，则 A 3=_。13 设矩阵 A 的伴随矩阵 A*= 则 A=_。14 已知 且 AXA*=B，r（X ）=2，则a=_。15 向量组 1=（1，2，0，3） T， 2=（2，5，3，6） T， 3=（0
5、，1，3，0）T， 4=（2，1，4，7） T 的一个极大线性无关组是 _。16 设 A= A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_。17 已知矩阵 A= 只有一个线性无关的特征向量，那么 A 的三个特征值是_。18 设三阶方阵 A 的特征值是 1，2，3，它们所对应的特征向量依次为1， 2， 3，令 P=（3 3， 1，2 2），则 P1AP=_。19 设 f=x12+x22+ 5x32+ 2ax1x22x1x3+4x2x3 为正定二次型，则未知系数 a 的范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 证明： =anxn+an1xn1+a1x+a0。21 设矩阵
6、 A 的伴随矩阵 A*= ，且 ABA1=BA1+3E，其中 E 为四阶单位矩阵，求矩阵 B。22 设 A 为 n 阶矩阵（n2），A *为 A 的伴随矩阵，证明23 *是非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， ， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明： （） *， 1， nr 线性无关； （）*， *+1， *+ nr 线性无关。24 设 A= （）计算行列式 |A|；（）当实数 a 为何值时，方程组 Ax=b 有无穷多解，并求其通解。25 设 1， 2， ， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，1=t11+t22， 2=t12+t23， s=t1s+t21，其中
7、t1，t 2 为实常数。试问 t1，t 2 满足什么条件时， 1， 2， ， s 也为 Ax=0 的一个基础解系。26 设矩阵 A= 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A是否可相似对角化。27 设三阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=（1，2，1）T， 2=（0，1，1） T 是线性方程组 Ax=0 的两个解。 （）求 A 的特征值与特征向量； （）求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A。28 已知 A= 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x T（A TA）x 的秩为2。（）求实数 a 的值；（ ）求正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形。考研数学
8、三（线性代数）模拟试卷 66 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 按这一列展开，D=a 1jA1j+a2jA2j+a2njA2nj=aA1j+aA2j+aA2nj，并注意到这一列元素的代数余子式中有 n 个为 a，n 个为a，从而行列式的值为零。所以应选 A。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 如果 A、B 均为 n 阶矩阵，命题 当然正确，但是题中没有 n 阶矩阵这一条件，故不正确。例如 显然 A 不可逆。若 A、B 为 n 阶矩阵，（AB ） 2=E，即（AB）（AB）=E ，则可知 A、B 均可逆，
9、于是 ABA=B1，从而 BABA=E，即（BA） 2=E。因此正确。若设显然 A、B 都不可逆，但 A+B= 可逆，可知不正确。由于 A、B 为均 n 阶不可逆矩阵，知|A|=|B|=0 ，且结合行列式乘法公式，有|AB|=|A|B|=0，故 AB 必不可逆。因此正确。所以应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 P、Q 均为初等矩阵，因为 P1=P，且 P 左乘 A 相当于互换矩阵 A的第一、三两行，所以 P2010A 表示把 A 的第一、三行互换 2010 次，从而（P 1）2010A=P2010A=A。又（Q 2011） 1=（Q 1） 2011，且 Q1= ，
10、而 Q1 右乘A 相当于把矩阵 A 的第二列上各元素加到第一列相应元素上去，所以 A（Q 1）2011 表示把矩阵 A 第二列的各元素 2011 倍加到第一列相应元素上去，所以应选B。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 记 B=（ 1， 2， s），则（A 1，A 2，A s）=AB 。若向量组 1， 2， s 线性相关，则 r（B）s，从而 r（AB）r（B）s，向量组A1，A 2，A s 也线性相关，故应选 A。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 Ax=0 的任一解向量都可由 线性表出，所以 是 Ax=0 的基础解系，即 Ax=0 的基础解系只
11、含一个解向量，因此 r（A ）=2。由方程组 Ax=0 有非零解可得，|A|=（a1） 2（n+2）=0 ，即 a=1 或2。当 a=1 时，r（A）=1 ，舍去；当 a=2 时，r（A）=2。所以选 B。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 若 An=0，则 An+1=A（A n）=A0=0 ，即若 是（1）的解，则 必是（2）的解，可见命题正确。 如果 An+1a=0，而 An0，那么对于向量组，A，A 2，A n，一方面有： 若 k+k1A+k2A2+k nAna=0，用 An 左乘上式的两边得 kAna=0。由 An0 可知必有 k=0。类似地可得 k1=k2=kn=
12、0。因此，A ，A 2，A n 线性无关。 但另一方面，这是 n+1 个 n 维向量，它们必然线性相关，两者矛盾。故 An+1=0 时，必有 Ana=0，即（2）的解必是（1）的解。因此命题正确。 所以应选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 设 是矩阵（ PTAP） T 属于 的特征向量，并考虑到 A 为实对称矩阵 AT=A，有（P 1AP） T=，即 PTA（P 1） T=。把四个选项中的向量逐一代入上式替换 ，同时考虑到 A=，可得选项 B 正确，即左端=P TA（P 1）T（P T）=P TA=PTA=APT=右端。所以应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确
13、答案】 A【试题解析】 由于|EA T|=|（EA） T|=|AEA|，A 与 AT 有相同的特征多项式，所以 A 与 AT 有相同的特征值。 由 A=，0 可得到 A 2=2a，A 1， =A1，（ AE）=（1），说明 A2、A 1、AE 与 A 的特征值是不一样的（但 A 的特征向量也是它们的特征向量）。所以应选 A。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 A【试题解析】 因为矩阵 A 有三个不同的特征值，所以 A 必能相似对角化，即存在可逆矩阵 P，使得 P1AP= 于是 P1BP=P1（A 32A2）P=P 1A3P2P1A2P=（P 1AP） 32 （P 1AP） 2则矩阵 B 的
14、三个特征值分别为0，0，1，故 r（B ）=1。所以选 A。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 选项 A 是必要不充分条件。这是因为 r（A ）=p+qn ，当 q=0 时，有 r（A）=pn。此时有可能 pn，故二次型 xTAx 不一定是正定二次型。因此矩阵 A 不一定是正定矩阵。例如 f（x 1，x 2，x 3）=x 12+5x32。选项 B 是充分不必要条件。这是因为 P1AP=E 表示 A 与 E 相似，即 A 的特征值全是 1，此时 A 是正定的。但只要 A 的特征值全大于零就可保证 A 正定，因此特征值全是 1 是不必要的。选项 C 中的矩阵 C 没有可逆的条
15、件，因此对于 A=CTC 不能说 A 与 E 合同，也就没有 A 是正定矩阵的结论。例如 A1 正定 A*正定 A*与 E 合同，所以 D 是充分必要条件。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 120【试题解析】 将行列式第四行的各元素加到第一行相应元素上后，提出公因子10，然后将第四行逐行换至第二行，即=10（21） （31） （41） （32） （42） （43）=120。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 A= T=2，且矩阵的乘法满足结合律，所以 A3=（ T）（ T）（ T） =（ T）（ T） T=4T=4A=【知识模块】 线性代数13 【正确答案
16、】 【试题解析】 由 AA*=|A|E 可得 A=|A|（A *） 1，对等式两端取行列式并结合已知条件，可得|A *|=8=|A|3，因此|A|=2，又【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 根据 A 可逆可知，其伴随矩阵 A*也是可逆的，因此 r（AXA *）=r（X）=2=r（B），因此可得|B|=0，则【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 1， 2， 4【试题解析】 用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有（ 1， 2， 3， 4）=因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为 3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在 1，2，4 列，所以 1， 2， 4
17、 是向量组 1， 2， 3， 4 的一个极大线性无关组。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 k 1（1，2，1） T+k2（1，0，1） T，k 1，k 2 是任意常数【试题解析】 |A|=0，且 r（A）=2，所以 r（A *）=1，则由 nr（A *）=2 可知，A*x=0 的基础解系含有两个线性无关的解向量，其通解形式为 k11+k22。又因为A*A=|A|E=0，所以矩阵 A 的列向量是 A*x=0 的解，故通解是 k1（1，2，一 1）T+k2（1，0，1） T，k 1，k 2 是任意常数。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 2，2，2【试题解析】 因为矩阵 A 只有一个
18、线性无关的特征向量，所以 A 的特征值必定是三重根，否则 A 至少应该有两个不同的特征值，同时也会有两个线性无关的特征向量。由主对角元素的和等于所有特征值的和可知 1 +2 +3=3，故 1=2=3=2。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 因为 33， 1，2 2 分别为 A 的对应特征值 3，1，2 的特征向量，所以【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 a 0【试题解析】 二次型的矩阵为 其各阶主子式为 a11=1，=a（5a +4）。因为 f 为正定二次型，所以必有 1a2 0 且a（5a +4）0，因此 a 0。故当 a0 时，A 正定，从而 f 正定。【知识模块
19、】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 本题可利用递推法证明。左边=xD n+（一 1） n+2a0=xDn+（1） 2n+2a0=xDn+a0。显然 D1=an，根据上面的结论有左边=xD n+a0=x（xD n1+a1）+a 0=x2Dn1+xan+a0=xnD1+an1xn1+a1x+a0=anxn+an1xn1+a1x+a0=右边，所以，命题成立。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 AA*=A*A=|A|E，知|A *|=|A|n1，因此有 8=|A*|=|A|3，于是|A|=2。在等式 ABA1=BA1+3E 两边先右乘 A，再左乘
20、 A*，得 2B=A*B+3A *A，即（2EA *）B=6E。于是 B=6（2EA *） 1=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 （1）当 r（A）=n 时，|A|0，则有|A *|=|A|n10，从而 A*可逆，即 r（A *）=n。 （2）当 r（A）=n1 时，由矩阵秩的定义知，A 中至少有一个n1 阶子式不为零，即 A*中至少有一个元素不为零，故 r（A *）1。 又因 r（A）=n1 时，有 |A|=0，且由 AA*=|A|E 知 AA*=0。根据矩阵秩的性质得 r（A ）+r（A *）n，把 r（A）=n1 代入上式，得 r（A *）1。综上所述，有 r（A *）=1。 （
21、 3）当 r（A）n 2 时，A 的所有 n1 阶子式都为零，也就是 A*的任一元素均为零，即 A*=0，从而 r（A *）=0。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 （）假设 *， 1， nr 线性相关，则存在不全为零的数c0，c 1，c nr，使得 c 0*+ c11+cnrnr=0， （1） 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A（c 0*+ c11+cnrnr）=c 0A*+ c1A1+cnrAnr=c0b， 其中 b0，则c0=0，于是（1）式变为 c 11+cnrnr=0， 1， nr，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， nr 线性无关，因此 c1=c2=cnr=0，
22、与假设矛盾。 所以 *， 1， nr 线性无关。 （）假设 *， *+1， * +nr 线性相关，则存在不全为零的数 c0，c 1，c nr，使 c 0*+ c1（ *+1）+c nr（ *+nr）=0， 即 （c 0+c1+cnr） *+ c11+cnrnr=0。 （2） 用矩阵 A 左乘上式两边，得 0=A（c 0+c1+cnr） *+c11+cnrnr=（c 0+ c1+cnr）A*+c1A1+cnrnr =（c 0+c1+cnr）b， 因为 b0，故 c0+c1+cnr=0，代入（2）式，有 c 11+cnrnr=0， 1， nr 是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故 1， nr
23、线性无关，因此 c1=c2=cnr=0，则 c0=0。与假设矛盾。综上，向量组 *， *+ 1， *+nr 线性无关。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）对方程组系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得要使原线性方程组有无穷多解，则有 1a4=0 且aa 2=0，即 a=1。当 a=1 时，可知导出组的基础解系为（1，1，1，1） T，非齐次方程的特解为（0，1，0，0） T，故其通解为（0，1，0，0） T+k（1，1，1，1） T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为 i（i=1 ，2，s ）是 1， 2， s 的线性组合，且1， 2， s 是 Ax=0
24、 的解，所以根据齐次线性方程组解的性质知i（i=1，2，s）均为 Ax=0 的解。从 1， 2， s 是 Ax=0 的基础解系知s=nr（A）。以下分析 1， 2， s 线性无关的条件：设k11+k22+kss=0，即（t 1k1+t2k1） 1+（t 2k1+t1k2） 2+（t 2k2+t1k3） 3+（t 2ks1+t1ks） s=0，由于 1， 2， s 线性无关，所以又因系数矩阵的行列式 =t1s+（一 1） s+1t2s，当 t1s+（1） s+1t2s0 时，方程组（*）只有零解 k1=k2=ks=0。因此当 s 为偶数且 t1 t2，或当 s 为奇数且t1t2 时， 1， 2，
25、 s 线性无关。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为|EA|= =（2）（ 28+18 +3a）。如果 =2 是单根，则 28 +18 +3a 是完全平方，必有 18 +3a=16，即 a= 则矩阵 A 的特征值是 2，4，4，而 r（4EA ）=2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化。如果 =2 是二重特征值，则将 =0 代入 28 +18 +3a=0 可得 a=20 于是 28+18 +3a=（ 2）（6）。则矩阵 A 的特征值是 2，2，6，而 r（2EA ）=1，故 =2 有两个线性无关的特征向量，从而 A 可以相似对角化。【知
26、识模块】 线性代数27 【正确答案】 （）因为矩阵 A 的各行元素之和均为 3，所以有则 =3 是矩阵 A 的特征值，=（1，1，1） T 是对应的特征向量。对应 =3 的全部特征向量为 k=k（1，1，1） T，其中 k 是不为零的常数。又由题设知 A1=0，A 2=0，即 A1=0 1，A 2=0 2，而且 1， 2 线性无关，所以 =0 是矩阵 A 的二重特征值， 1， 2 是其对应的特征向量，因此对应 =0 的全部特征向量为 k11+k22=k1（1，2，1） T+k2（0，1，1） T，其中 k1，k 2 是不全为零的常数。（）因为 A 是实对称矩阵，所以 与 1， 2 正交，只需将
27、 1 与2 正交化。由施密特正交化法，取 1=1， 2=2 再将， 1， 2 单位化，得令Q=（ 1， 2， 3），则 Q1=QT，且【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）A TA= 由 r（A TA）=2 可得|ATA|= =（a+1） 2（a 2+3）=0，所以 a=1。（）由（）中结果，令矩阵解得矩阵 B 的特征值为 1=0， 2=2， 3=6。由（ iEB）x=0，得对应特征值1=0， 2=2， 3=6 的特征向量分别为 1=（1，1，1） T， 2=（1，1，0）T， 3=（1，1，2） T。将 1， 2， 3 单位化可得：则正交变换 x=Qy 可将原二次型化为 2y22+ 6y32。【知识模块】 线性代数
