1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 68 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A= 且|A|=m ，则|B|=（ ）（A）m（B） 8m（C） 2m（D）2m2 设 A 为 n 阶非零矩阵，E 为 n 阶单位矩阵。若 A3=0，则（ ）（A）E A 不可逆，E+A 不可逆（B） EA 不可逆，E+A 可逆（C） EA 可逆，E+A 可逆（D）E A 可逆，E+A 不可逆3 设 B 是 42 的非零矩阵，且 AB=0，则（ ）（A）a=1 时， B 的秩必为 2（B） a=1 时，B 的秩必为 1（C） a1 时，B 的秩必为 1（D）a1 时，B 的秩
2、必为 24 现有四个向量组 （1 ，2，3） T，（3，一 1， 5） T，（0，4，一 2）T，（ 1，3，0） T； （a ，1，6，0，0） T，（c ，0，d，2，0）T，（ e，0，f，0，3） T； （a，1，2，3） T，（ 6，1，2，3）T，（ c，3，4，5） T，（d，0，0，0） T； （1， 0，3，1） T，（一 1，3，0，一2） T，（2，1，7，2） T，（4，2，14，5） T。 则下列结论正确的是（ ）（A）线性相关的向量组为；线性无关的向量组为（B）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为（C）线性相关的向量组为 ；线性无关的向量组为（D）线性相关的向量
3、组为 ；线性无关的向量组为5 设向量组 1， 2， 3 线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，向量 2 不能由 1， 2， 3 线性表示，则必有（ ）（A） 1， 2， 1 线性无关（B） 1， 2， 2 线性无关（C） 2， 3， 1， 2 线性相关（D） 1， 2， 3， 1+2 线性相关6 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组（AB）x=0（ ）（A）当 nm 时，仅有零解（B）当 nm 时，必有非零解（C）当 mn 时，仅有零解（D）当 mn 时，必有非零解7 设 1， 2， 3， 4 是四维非零列向量组， A=（ 1， 2， 3， 4），A *为 A
4、 的伴随矩阵。已知方程组 Ax=0 的基础解系为 k(1，0，2，0) T，则 A*x=0 的基础解系为( )（A） 1， 2， 3（B） 1+2， 2+3， 1+3（C） 2， 3， 4（D） 1+2,2+3,3+4,4+18 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A（ 1+2）线性无关的充分必要条件是（ ）（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=09 设 A 是 n 阶矩阵，下列命题中正确的是（ ）（A）若 是 AT 的特征向量，那么 是 A 的特征向量（B）若 是 A*的特征向量，那么 是 A 的特征向量（C）若 是 A2 的特征
5、向量，那么 是 A 的特征向量（D）若 是 2A 的特征向量，那么 是 A 的特征向量10 已知 P1AP= 1 是矩阵 A 属于特征值 =1 的特征向量， 2 与 3 是矩阵 A 属于特征值 =5 的特征向量，那么矩阵 P 不能是（ ）（A）（ 1 一 2， 3）（B）（ 1， 2+3， 223）（C）（ 1， 3， 2）（D）（ 1+2， 12， 3）11 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x 12+5x22+x324x1x2+2x2x3 的标准形可以是（ ）（A）y 12+4y22（B） y126y22+2y32（C） y12y22（D）y 12+4y22+y3212 下列条件不能保
6、证 n 阶实对称阵 A 正定的是（ ）（A）A 1 正定（B） A 没有负的特征值（C） A 的正惯性指数等于 n（D）A 合同于单位矩阵二、填空题13 设 A=（ 1， 2， 3）是三阶矩阵，且|A|=4。若 B=（ 132+23， 223 ，2 2+3），则 |B|=_。14 与矩阵 A= 可交换的矩阵为 _。15 已知 1=（1，0，0） T， 2=（1，2，一 1） T， 3=（一 1，1，0） T，且A1=（2，1） T，A 2=（一 1，1） T，A 3=（3，一 4） T，则 A=_。16 已知 B 是三阶非零矩阵，且 BAT=D，则 a=_。17 任意一个三维向量都可以由 1=
7、（1，0，1） T， 2=（1，2，3）T， 3=（a，1 ，2） T 线性表示，则 a 的取值为_ 。18 已知线性方程组 无解，则 a=_。19 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，如果 1+2+23=（ 2，0，0，0） T，3 1+2=（2，4，6，8） T，则方程组Ax=b 的通解是_。20 已知 =（1，3，2） T，=（1，1，2） T，A=E 一 T，则 A 的最大的特征值为_。21 设 A 是三阶实对称矩阵，特征值分别为 0，1， 2，如果特征值 0 和 1 对应的特征向量分别为 1=（1，2，1） T， 2=（
8、1，1，1） T，则特征值 2 对应的特征向量是_。22 设 =（1，0，1） T，A= T，若 B=（kE +A ） *是正定矩阵，则 k 的取值范围是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 计算行列式 Dn=24 已知 AB=AB，证明：A，B 满足乘法交换律。25 设 1， 2， ， n 是一组 n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件是任一n 维向量都可由它们线性表示。26 设线性方程组 已知（1，1，1，1） T 是该方程组的一个解，求方程组所有的解。27 设四元齐次线性方程组 求：（）方程组（1）与（2）的基础解系；（）（1）与（2）的公共解。28 已知 p=
9、 的一个特征向量。（）求参数 a，b 及特征向量 p 所对应的特征值；（ ）问 A 能不能相似对角化？并说明理由。29 设三阶实对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=2， 1=（1，1，1） T 是 A的属于特征值 1 的一个特征向量，记 B=A54A3 +E，其中 E 为三阶单位矩阵。 （）验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量； （）求矩阵 B。30 证明：二次型 f（x）=x TAx 在|x|=1 时的最大值为矩阵 A 的最大特征值。考研数学三（线性代数）模拟试卷 68 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
10、确答案】 D【试题解析】 将行列式|A|的第一列加到第二列上，再将第二、三列互换，之后第一列乘以 2 就可以得到行列式|B|。由行列式的性质知|B|= 2|A|=2m。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 已知（EA）（E+A+A 2）=EA 3=E，（E+A）（E 一 A+A2）=E+A3=E。故 EA，E+A 均可逆。故应选 C。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 当 a=1 时，易见 r（A）=1；当 a1 时，则=4（a 一 1） 20，即 r（A ）=3。由于AB=0，A 是 34 矩阵，所以 r（A）+r（B）4。当 a=1 时，r（A）=1，
11、 1r（B ）3。而 B 是 42 矩阵，所以 B 的秩可能为 1 也可能为 2，因此选项A、B 均不正确。当 a1 时，r（A）=3，必有 r（B）=1，选项 D 不正确。所以应选 C。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 向量组是四个三维向量，从而线性相关，可排除 B。由于（1，0，0） T，（0，2，0） T，（0，0，3） T 线性无关，添上两个分量就可得向量组，故向量组 线性无关。所以应排除 C。向量组 中前两个向量之差与最后一个向量对应分量成比例，于是 1， 2， 4 线性相关，那么添加 3 后，向量组必线性相关。应排除 A。由排除法，所以应选 D。【知识模块】
12、线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由 1， 2， 3 线性无关，且 2 不能由 1， 2， 3 线性表示知，1， 2， 3， 2 线性无关，从而部分组 1， 2， 2 线性无关，故 B 为正确答案。下面证明其他选项的不正确性。 取 1=（1，0，0，0） T， 2=（0，1，0，0）T， 3=（0，0，1，0） T， 2=（0，0，0，1） T， 1=1，知选项 A 与 C 错误。 对于选项 D，由于 1， 2， 3 线性无关，若 1， 2， 3， 1+2 线性相关，则 1+2可由 1， 2， 3 线性表示，而 1 可由 1， 2， 3 线性表示，从而 2 可由1， 2， 3 线性表示
13、，与假设矛盾，从而 D 错误。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 因为 AB 是 m 阶矩阵，且 r（AB）minr （A ），r （B）min m，n，所以当 mn 时，必有 r（AB）m，根据齐次方程组存在非零解的充分必要条件可知，选项 D 正确。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 方程组 Ax=0 的基础解系只含一个解向量，所以四阶方阵 A 的秩r（A）=41=3，则其伴随矩阵 A*的秩 r（A *）=1，于是方程组 A*x=0 的基础解系含有三个线性无关的解向量。 又 A*（ 1， 2， 3， 4）=A *A=|A|E=0，所以向量1， 2， 3
14、， 4 都是方程组 A*x=0 的解。将（1，0，2，0） T 代入方程组 Ax=0 可得 1+23=0，这说明 1 可由向量组 2， 3， 4 线性表出，而向量组1， 2， 3， 4 的秩等于 3，所以向量组 2， 3， 4 必线性无关。所以选 C。 事实上，由 1+23=0 可知向量组 1， 2， 3 线性相关，选项 A 不正确；显然，选项 B中的向量都能被 1， 2， 3 线性表出，说明向量组 1+2， 2+3， 1+3 线性相关，选项 B 不正确；而选项 D 中的向量组含有四个向量，不是基础解系，所以选型 D也不正确。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 令 k11+
15、k2A（ 1+2）=0，则（k 1+k21） 1+k222=0。 因为 1， 2线性无关，所以 k1+k21=0，且 k22=0。 当 20 时，显然有 k1=0，k 2=0，此时1， A（ 1+2）线性无关；反过来，若 1，A （ 1+2）线性无关，则必然有20（否则， 1 与 A（ 1+2）= 11 线性相关），故应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 D【试题解析】 如果 是 2A 的特征向量，即（2A）=，那么 A= ，所以 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量。由于（E A）x=0 与（E AT）x=0 不一定同解，所以 不一定是 AT 的特征向量。例如 上例还说明当矩阵 A
16、 不可逆时，A *的特征向量不一定是 A 的特征向量；A 2 的特征向量也不一定是 A 的特征向量。所以应选 D。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 若 P1AP= P=（ 1， 2， 3），则有 AP=P，即（A 1，A 2，A 3）= （ 11， 22， 33），可见 i 是矩阵 A 属于特征值i（i=1，2，3）的特征向量，又因矩阵 P 可逆，因此 1， 2， 3 线性无关。若 是属于特征值 的特征向量，则 仍是属于特征值 的特征向量，故选项 A 正确。若 ， 是属于特征值 的特征向量，则 与 的线性组合仍是属于特征值 的特征向量。本题中， 2， 3 是属于 =5
17、的线性无关的特征向量，故 2+3， 223 仍是 =5 的特征向量，并且 2+3， 223 线性无关，故选项 B 正确。对于选项 C，因为 2， 3 均是 =5 的特征向量，所以 2 与 3 谁在前谁在后均正确。故选项 C 正确。由于 1， 2 是不同特征值的特征向量，因此 1+2， 12 不再是矩阵A 的特征向量，故选项 D 错误。所以应选 D。【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 A【试题解析】 用配方法，有 f=x124x1x2+4x22+x22+ 2x2x3+x32=（x 12x2）2+（ x2+x3） 2，可见二次型的正惯性指数 p=2，负惯性指数 q=0。所以选 A。【知识模块
18、】 线性代数12 【正确答案】 B【试题解析】 A 1 正定表明存在可逆矩阵 C，使 CTA1C=E，两边求逆得到 C 1A（C T） 1=C1A（C 1） T=E，即 A 合同于 E，A 正定，因此不应选 A。 D 选项是 A 正定的定义，也不是正确的选择。 C 选项表明 A 的正惯性指数等于 n，故 A是正定阵。由排除法，故选 B。 事实上，一个矩阵没有负的特征值，但可能有零特征值，而正定阵的特征值必须全是正数。【知识模块】 线性代数二、填空题13 【正确答案】 20【试题解析】 利用行列式的性质 |B|=| 132+23， 223，5 3|=5|132+23， 223， 3| =5 |1
19、32， 2， 3|=5|1， 2， 3|=5|A|=20。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 ，其中 x2 和 x4 为任意实数【试题解析】 设矩阵 B= 与 A 可交换，则由 AB=BA 可得即 x3=2x2，x 1=4x2+x4，所以 B= ，其中 x2 和 x4 为任意实数。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 【试题解析】 利用分块矩阵，得 A（ 1， 2， 3） =（A 1，A 2，A 3）=那么【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【试题解析】 根据 BAT=0 可知，r（B）+r（A T）3，即 r（A ）+r（B）3。又因为 B0，因此 r（B）1，从而有 r（A
20、）3，即|A|=0，因此于是可得 a=【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 a3【试题解析】 任意一个三维向量都可以用 1=（1，0，1） T， 2=（1，2，3）T， 3=（a，1，2） T 线性表示，即对于任意的向量 ，方程组 x11+x22+x33= 有解，也就是对于任意的 ，r （ 1， 2， 3）=r（ 1， 2， 3， ）=3 ，因此 1， 2， 3= =2（a3）0，即 a3。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换得因为线性方程组无解，所以系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，所以 a=1。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】
21、 （ ，0，0，0） T+k（0，2，3，4） T，k 为任意常数【试题解析】 由于 r（A）=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系只含有 4r（A）=1 个解向量。又因为（ 1+2+23）一（3 1+2）=2 （ 31）= （0，4，6，8） T 是 Ax=0 的解，所以其基础解系为（0，2，3，4） T，由A（ 1+2+23）=A 1+A2+2A3=4b，可知 ，0，0，0） T+ k（0，2，3，4）T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 7【试题解析】 因为非零列向量 ， 的秩均为 1，所以矩阵 T 的秩也为 1，于是T 的特征值为 0，0，tr （ T），其
22、中 tr（ T）= T=6。所以 A=ET 的特征值为 1，1，7，则 A 的最大的特征值为 7。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 t（1，0，1） T，t0【试题解析】 设所求的特征向量为 =（x 1，x 2，x 3） T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有 所以对应于特征值 2 的特征向量是 t（1，0，1） T，t0。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 k0 或 k2【试题解析】 矩阵 A=T 的秩为 1，且 tr（A）= T=2，故矩阵 A 的特征值是2，0，0，从而矩阵 kE +A 的 特征值是 k+2，k， k。矩阵 B=（kE+A）*=|kE+A
23、|（kE+A） 1 的特征值是 k2，k （k +2），k（k +2 ）。 矩阵 B 正定的充要条件是特征值均大于零，即 k20 且 k（k +2）0，解得 k0 或 k2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。23 【正确答案】 利用行列式的性质，得=nDn1+（n 1）！a n2，同理可得 Dn1=（n1）D n2+（n2）!a n12，所以Dn=n（n1）D n2+（n2）！a n12+（n1）！ an2=n（n1）D n2+依次递推可得【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AB=AB 可得 E+ABAB=E，即（E+A ）（E B）=E，这说明
24、 E+A 与 EB 互为逆矩阵，所以（ EB）（E+A）=E，将括号展开得B=AB，从而可得 AB=BA，即 A，B 满足乘法交换律。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 必要性：a 1，a 2，a n 是线性无关的一组 n 维向量，因此r（a 1，a 2， ，a n）=n。对任一 n 维向 量 b，因为 a1，a 2，a n，b 的维数 n 小于向量的个数 n+1，故 a1，a 2，a n，b 线性相关。 综上所述r（a 1，a 2， ，a n，b）=n。 又因为 a1，a 2，a n 线性无关，所以 n 维向量 b 可由 a1，a 2，a n 线性表示。 充分性：已知任一 n 维向量
25、b 都可由 a1，a 2，a n线性表示，则单位向量组: 1， 2， n 可由 a 1， a2，a n 线性表示，即 r（ 1， 2， ， n）=nr（a 1，a 2，a n）， 又 a1，a 2，a n 是一组 n 维向量，有 r（a 1，a 2， ，a n）n。 综上，r（a 1，a 2，a n）=n。所以 a1，a 2，a n 线性无关。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 将（1，1，1，1） T 代入方程组可得 =0。对增广矩阵作初等行变换，可得=2 4 ，所以方程组有无穷多解，其通解为（ =34，所以方程组有无穷多解，其通解为（1，0，0，1） T+k（2，1，1，2） T，其
26、中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 （）求方程组（1）的基础解系：对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换 求方程（2）的基础解系：对方程组（2）的系数矩阵作初等行变换（）设x=（x 1，x 2， x3，x 4） T 为（1）与（2）的公共解，用两种方法求 z 的一般表达式：x 是（1）与（2）的公共解，因此 x 是方程组（3）的解，方程组（3）为（1）与（2）合并的方程组，即取其基础解系为（1，1，2，1） T，于是（1）与（2）的公共解为 x=k（1，1，2，1） T，kR。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）设 是特征向量 p 所对应的特征值，根据特征值的
27、定义，有（AE） p=0，即 从而有方程组 解得 a=3，b=0，且 p 所对应的特征值 =1。（）A 的特征多项式|AE|= =一（+1）3，得 A 的特征值为 =1（三重）。若 A 能相似对角化，则特征值 =1 有三个线性无关的特征向量，而 故r（A+E ）=2，所以齐次线性方程组（A+E ）x=0 的基础解系只有一个解向量，A 不能相似对角化。【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）由 A1=1 得 A21=A1=1，依次递推，则有A31=1，A 51=1，故 B1=（A 54A3+E） 1=A51 一 4A31+1=21，即 1 是矩阵 B 的属于特征值2 的特征向量。由关系式
28、B=A54A3+E 及 A 的三个特征值1=1， 2=2， 3=2 得 B 的三个特征值为 1=2， 3=1， 3=1。设 2， 3 为 B 的属于 2=3=1 的两个线性无关的特征向量，又由 A 为对称矩阵，则 B 也是对称矩阵，因此 1 与 2， 3 正交，即 1T2=0， 1T3=0。因此 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即 得其基础解系为B 的全部特征向量为其中 k10，k 2，k 3 不同时为零。（）令P=（ 1， 2， 3）【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 A 为实对称矩阵，则存在正交矩阵 Q，使得 QAQ 1=diag（ 1， 2， n）=，其中 1， 2， n 为 A 的特征值，不妨设 1 最大。作正交变换 y=Qx，即 x=Q1y=QTy，则 f=x TAx=yTQAQTy=yTAy=1y12+ 2y22+ nyn2， 因为 y=Qx，所以当|x|=1 时，有 |x|=x Tx=yTQQTy=|y |2=1， 即 y12+y22+yn2=1 。 因此 f= 1y12+2y22+ nyn21（y 12+y22+yn2）= 1。 又当y1=1， y2=y33=yn=0 时， f=1，所以 fmax=1。【知识模块】 线性代数
