1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 71 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B 是 n 阶矩阵，则下列结论正确的是（ ）2 设 A，B 均为二阶矩阵，A *，B *分别为 A，B 的伴随矩阵，若|A|=2 ， |B|=3 ，则分块矩阵 的伴随矩阵为（ ）3 设 A 是 mn 矩阵，C 是 n 阶可逆矩阵，矩阵 A 的秩为 r，矩阵 B=AC 的秩为r1，则（ ）（A）rr 1（B） rr 1（C） r=r1（D）r 与 r1 的关系依 C 而定4 假设 A 是 n 阶方阵，其秩 r（A）=r n，那么在 A 的 n 个行向量中（ ）（A）必有 r
2、 个行向量线性无关（B）任意 r 个行向量线性无关（C）任意 r 个行向量都构成最大线性无关向量组（D）任何一个行向量都可以由其他 r 个行向量线性表示5 已知四维向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，且向量 1=1+3+4， 2=24， 3=3+4， 4=2+3， 5=21+2+ 3，则 r（ 1， 2， 3 ， 4， 5）=（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 A 是 n 阶矩阵，a 是 n 维列向量，若 =r（A），则线性方程组（ ）（A）Ax= 必有无穷多解（B） Ax= 必有唯一解（C） =0 仅有零解（D） =0 必有非零解7 已知四阶方阵 A=（ 1， 2， 3，
3、4）， 1， 2， 3， 4 均为四维列向量，其中1， 2 线性无关，若 1+223=， 1+2+3+4=，2 1 +32+3+24=，k 1，k 2 为任意常数，那么 Ax= 的通解为（ ）8 已知 A 是三阶矩阵，r（A）=1 ，则 =0（ ）（A）必是 A 的二重特征值（B）至少是 A 的二重特征值（C）至多是 A 的二重特征值（D）一重、二重、三重特征值都有可能9 已知矩阵 A= 那么下列矩阵中与矩阵 A 相似的矩阵个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）410 设 A 是 n 阶实对称矩阵，将 A 的第 i 列和第 j 列对换得到 B，再将 B 的第 i 行和第 j 行对换得到
4、 C，则 A 与 C（ ）（A）等价但不相似（B）合同但不相似（C）相似但不合同（D）等价，合同且相似二、填空题11 设三阶行列式 D3 的第二行元素分别为 1、2、 3，对应的代数余子式分别为3、2、1，则 D3=_。12 设 A，B 是三阶矩阵，满足 AB=AB，其中 B= ，则|A+E|=_。13 设 A、B 均为三阶矩阵，E 是三阶单位矩阵，已知 AB=2A+3B，A=,则（B2E） 1=_。14 设 r（A）=2 ，则 a=_。15 与 1=（1，2，3，一 1） T， 2=（0，1，1，2） T， 3=（2，1，3，0） T 都正交的单位向量是_。16 齐次方程组 有非零解，则 A
5、=_。17 已知方程组（1） 与方程（2）x 1 +5x3=0，则（1）与（2）的公共解是_。18 设 A 是三阶矩阵，且各行元素的和都是 5，则矩阵 A 一定有特征值_。19 已知 A= A*是 A 的伴随矩阵，那么 A*的特征值是_。20 设 f（x 1，x 2）= ,则二次型的对应矩阵是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 求 An。22 设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵记为 B。 （）证明 B 可逆； （）求 AB1。23 已知 r（a 1，a 2，a 3）=2，r（a 2，a 3，a 4）=3 ，证明： （）a
6、1 能由 a2，a 3 线性表示； （）a 4 不能由 a1，a 2，a 3 线性表示。24 已知 A，B 为三阶非零矩阵，且 A= 1=（0，1，一 1）T， 2=（a， 2，1） T， 3=（b，1，0） T 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量，且 Ax=3 有解。求（）a，b 的值；（）求 Bx=0 的通解。25 设线性方程组（1）Ax=0 的一个基础解系为 1=（1，1，1，0，2）T， 2=（1，1，0， 1，1） T， 2=（1，0，1，1，2） T。线性方程组（2）Bx=0 的一个基础解系为 1=（1，1，1，1，1） T， 2=（1，1，1，1，2）T， 3=（1， 1，
7、1，1 ，1） T。求（）线性方程组（3） 的通解；（）矩阵 C=（A T，B T）的秩。26 设矩阵 A= B=P1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为三阶单位矩阵。27 已知 A 是三阶实对称矩阵，满足 A4+ 2A3+A2+2A=0，且秩 r（A）=2，求矩阵A 的全部特征值，并求秩 r（A+E）。28 设 A，B 为同阶方阵。（）若 A，B 相似，证明 A，B 的特征多项式相等；（）举一个二阶方阵的例子说明（）的逆命题不成立；（）当 A，B 均为实对称矩阵时，证明（）的逆命题成立。29 已知二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（1a ）x 1
8、2+（1a）x 22+2x32 +2（1 +a）x 1x2 的秩为 2。 （）求 a 的值； （）求正交变换 x=Qy，把 f（x 1，x 2，x 3）化为标准形；（）求方程 f（x 1，x 2，x 3）=0 的解。30 设 A 为 m 阶实对称矩阵且正定，B 为 mn 实矩阵， BT 为 B 的转置矩阵，试证：BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 r（B）=n 。考研数学三（线性代数）模拟试卷 71 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 |AB|=|A|B|=0，故有|A|=0 或|B|=0，反之亦成立，故应选 C。取则 A
9、B=0，但 A0，BO ，选项 A 不成立。取O，选项 B 不成立。取=E，选项 D 不成立。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 B【试题解析】 若矩阵 A 的行列式|A|0，则 A 可逆，且 A1= A*。因为分块矩阵 的行列式 =（1） 2 |A|B|=23=6，即分块矩阵可逆，所以所以应选 B。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 B=AC=EAC，其中 E 为 m 阶单位矩阵，而 E 与 C 均可逆，由矩阵等价的定义可知，矩阵 B 与 A 等价，从而 r（B）=r（A ）。所以应选 C。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由矩阵秩的定义可
10、知，A 的 n 个行向量组成的向量组的秩也为 r，再由向量组秩的定义，这 n 个向量中必然存在 r 个线性无关的向量，所以应选 A。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 将表示关系合并成矩阵形式有（ 1， 2， 3， 4， 5）=（ 1， 2， 3， 4） （ 1， 2， 3， 4）C 。因四个四维向量 1， 2， 3， 4 线性无关，故| 1， 2， 3， 4|0，即A=（ 1， 2， 3， 4）是可逆矩阵。 A 左乘 C，即对 C 作若干次初等行变换，故有 r（C）=r（AC）=r（ 1， 2， 3， 4， 5），而故知r（ 1， 2， 3， 4， 5）=r（C）=3，因
11、此应选 C。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 齐次线性方程必有解（零解），则选项 C、D 为互相对立的命题，且其正确与否不受其他条件制约，故其中有且只有一个正确，因而排除 A、B 。又齐次线性方程组 有 n+1 个变量，而由题设条件知，=r（A）n n+1 。所以该方程组必有非零解，故选 D。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由 1+223= 知 即1=（1，2， 1，0） T 是 Ax=p 的解。同理 2=（ 1，1，1，1）T， 3=（2，3，1，2） T 均是 Ax= 的解，则 1=12=（0，1，2，1）T， 2=32=（1，2，0，1） T
12、 是导出组 Ax=0 的解，并且它们线性无关。于是Ax=0 至少有两个线性无关的解向量，则 nr（A ）2，即 r（A）2 ，又因为1， 2 线性无关，故 r（A）=r（ 1， 2， 3， 4）2。所以必有 r（A ）=2，从而nr（A）=2，因此 1， 2 就是 Ax=0 的基础解系。所以应选 B。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 A 的对应川的线性无关特征向量的个数小于等于特征值的重数。r（A）=1，即 r（0E A）=1，（0EA）x=0 必有两个线性无关的特征向量，故=0 的重数大于等于 2。至少是二重特征值，也可能是三重。例如A= r（A）=1，但 =0 是三重
13、特征值。所以应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 二阶矩阵 A 有两个不同的特征值 1 和 3，因此 A= 那么只要和矩阵 有相同的特征值，它就一定和 相似，也就一定与 A 相似。 和分别是上三角和下三角矩阵，且特征值是 1 和 3，所以它们均与 A 相似，对于和，由 可见与A 相似，而与 A 不相似。所以应选 C。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 对矩阵作初等行、列变换，用左、右乘初等矩阵表示，由题设 AEij=B，E ijB=C， 故 C=EijB=EijAEij。 因 Eij=EijT=Eij1，故 C=EijAEij=Eij1AEij
14、=EijTAEij，故 A 与 C 等价，合同且相似，故应选 D。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 4【试题解析】 根据行列式的求解方法：行列式的值等于它的任一行元素与其相应的代数余子式乘积之和，故 D3=a21A21+a22A22+a23A23=1（3）+ （2）2+31=4。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由题设，AB=AB，则（A+E ）（EB）=E，因此【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 利用已知条件 AB=2A+3B，通过移、添加项构造出 B2E，于是有AB2A3B+6E=6E，则有（A3E）（B2E）=6E。从而 B2E
15、） 1=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 0【试题解析】 对 A 作初等行变换，则有当 a=0 时，r（A ）=2。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 （1，1，1，0） T【试题解析】 设 =（x 1，x 2，x 3，x 4） T 与 1， 2， 3 均正交，则对以上齐次线性方程组的系数矩阵作初等行变换，有 得到基础解系是（1，1，1，0） T，将这个向量单位化得 （1，1，1，0）T，即为所求向量。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 3 或1【试题解析】 系数矩阵的行列式|A|= =一（+3）（+1），所以当 =3 或 1 时，方程组有非零解。【知识模块】 线性代数17
16、 【正确答案】 k（5，3，1） T，k 为任意常数【试题解析】 将方程组（1）和方程（2）联立，得到方程组（3）（3）的解就是两者的公共解。对（3）的系数矩阵作初等行变换可得 由于 A 的秩为 2，所以自由变量有一个，令自由变量 x3=1，代入可得 x2=3，x 1=5，所以（3）的基础解系为 =（ 5，3，1） T。因此（1）和（2）的公共解为 k（5，3，1） T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 5【试题解析】 已知各行元素的和都是 5，即 化为矩阵形式，可得 满足 故矩阵 A定有一个特征值为 5。【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 1，7，7【试题解析】
17、 由矩阵 A 的特征多项式|EA|= =（7）（1） 2 可得矩阵 A 的特征值为 7，1，1。所以|A|=711=7。如果 A=，则有 A*= 因此 A*的特征值是 1，7，7。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 【试题解析】 把行列式展开就可以得到二次型的一般表达式。f（x 1,x2）=3 x1 x2+5 x12+2 x22+3 x2 x1=（x 1,x2） 因此对应的矩阵为【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 将矩阵 A 分块，即将B 改写成 B=3E+P，于是 Bn=（3E+P） n=3nE+Cn13n1P+Cn23n2P2，
18、【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 （）设 E（i，j）是由 n 阶单位矩阵的第 i 行和第 j 行对换后得到的初等矩阵，则有 B=E（i，j）A，因此有|B|=|E（i，j ）|A|=|A|0，所以矩阵B 可逆。 （） AB 1=AE（i，j）A 1=AA1E1（i，j ）=E 1（i，j ）=E（i，j）。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 （）r（ 1， 2， 3， 4）=23 1， 2， 3 线性相关；假设1 不能由 2， 3 线性表示，则 2， 3 线性相关。而由 r（ 2， 3， 4）=3 2， 3， 4 线性无关 2， 3 线性无关，与假设矛盾。综上所述， 1 必能由
19、2， 3 线性表示。（ ）由（）的结论， 1 可由 2， 3 线性表示，则若 4 能由1， 2， 3 线性表示 4 能由 2， 3 线性表示，即 r（ 2， 3， 4）3 与r（ 2， 3， 4）=3 矛盾，故 4 不能由 1， 2， 3 线性表示。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 （）由 B0，且 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Bx=0 的三个解向量可知，向量组 1， 2， 3 必线性相关，于是| 1， 2， 3|=解得 a=3b。由 Ax=3 有解可知，线性方程组 Ax=3 的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，对增广矩阵作初等行变换得所以b=5，a=3b=15。（）因为 B0，所以
20、 r（B）1，则 3r（B）2。又因为1， 2 是 Bx=0 的两个线性无关的解，故 3r（B） =2，所以 1， 2 是 B=0 的一个基础解系，于是 Bx=0 的通解为 x=k11+k22，其中 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 （）线性方程组（l）Ax=0 的通解为 x=k11+k22+k33；线性方程组（2）Bx=0 的通解为 x=l11+l22+l33；线性方程组（3） 的解是方程组（1）和（2）的公共解，故考虑线性方程组（4） k11+k22+k33=l11+l22+l33，将其系数矩阵作初等行变换，即则方程组（4）的一个基础解系是（2，0，2，1
21、，0，1） T。将其代入（4）得到方程组（3）的一个基础解系 =21+22=1+3=（0，2，0， 2，0） T。所以方程组（3）的通解为 x=k（0， 1，0，1，0） T，其中 k 为任意常数。（）线性方程组（3）与线性方程组 xT（A T，B T）=0 等价，而方程组（3）的基础解系只含一个向量，故矩阵 C=（A T，B T）的秩 r（C）=51=4。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 设 A 的特征值为 ，对应特征向量为 ，则有 A=。由于|A|=70，所以 0。又因 A*A=|A|E，故有 A*= 于是有 B（P 1）=P 1A+P（ P1）= （P 1），（B+ 2E）P 1
22、= P1。因此，+2 为 B+2E 的特征值，对应的特征向量为 P1。由于 |EA|=（ 一 1） 2（ 一 7），故 A 的特征值为1=2=1， 3=7。当 1=2=1 时，对应的线性无关的两个特征向量可取为 1=当 3=7 时，对应的一个特征向量可取为 3= 由 P-1=因此，B+2E 的三个特征值分别为 9，9，3。对应于特征值 9 的全部特征向量为 k1P1， 1+k2P12= 其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数；对应于特征值 3 的全部特征向量为 k3P13= 其中 k3 是不为零的任意常数。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值，（0 ）是属于
23、特征值 的特征向量，则 A=，于是 An=n。用 右乘 A4+ 2A3+A2+ 2A=D，得（ 4+ 23+ 2+ 2）=0。因为特征向量 0，故 4+23 +2+2=（+2） （ 2+1）=0。由于实对称矩阵的特征值必是实数，从而矩阵 A 的特征值是 0 或2。由于实对称矩阵必可相似对角化，且秩 r（A）=r（）=2，所以 A 的特征值是 0，2，2。因 A，则有 A+E+E= 所以 r（A+E）=r（+E）=3。【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）若 A，B 相似，那么存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B，则|EB|=|EP1AP|=|P1EPP1AP|=|P1（EA）P |=IP
24、1|EA|P |=|EA|。所以 A、B 的特征多项式相等。（）令 A= 那么|EA|=2=|AEB|。但是 A，B 不相似。否则，存在可逆矩阵 P，使 P1AP=B=D，从而 A=POP1=D 与已知矛盾。也可从 r（A）=1，r（B）=0，知 A 与 B 不相似。（）由 A，B 均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵，若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， n，则有所以存在可逆矩阵 P，Q ，使 P1AP= =Q1BQ。因此有（PQ 1） 1A（PQ 1）=B，矩阵 A 与 B 相似。【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 （）二次型矩阵 二次型的秩为 2，则二次型矩阵
25、 A 的秩也为 2，从而 因此a=0。（）由（）中结论 a=0，则 由特征多项式|E A|=（2）（1） 21 =（2） 2 得矩阵 A 的特征值 1=2=2， 3=0。当 =2，由（2EA）x=0 得特征向量 1=（1，1，0）T， 2=（0，0，1） T。当 =0，由（0EA）x=0 得特征向量 3=（1，1，0） T 。容易看出 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化： 1= （1，1，0）T， 2=（0，0，1） T， 3= （1，1，0） T。那么令 Q=（ 1， 2， 3）=则在正交变换 x=Qy 下，二次型 f（x 1，x 2，x 3）化为标准形f（x 1， x2，x 3
26、）=x TAx=yTy=2y12+ 2y22。（）由 f（x 1，x 2，x 3）=x12+x22+2x32+2x1x2=（x 1+x2）2+2x 32=0，得 所以方程f（x 1， x2，x 3）=0 的通解为 k（1，1，0） T，其中 k 为任意常数。【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 必要性：设 BTAB 为正定矩阵，则由定义知，对任意的 n 维实列向量 x0，有 xT（B TAB）x0，即（Bx） TA（B）0。于是，Bx0。因此，Bx=0 只有零解，故有 r（B）=n。 充分性：因（B TAB） T=BTAT（B T） T=BTAB，故 BTAB 为实对称矩阵。 若 r（B）=n ，则线性方程组 Bx=0 只有零解，从而对任意的 n 维实列向量 x0，有 Bx0。 又 A 为正定矩阵，所以对于 Bx0，有（Bx）TA（ Bx）0。于是当 x0，有 xT（B TAB）x= （Bx） TA（Bx ）0，故 BTAB 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
