1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 72 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 和 B 都是 n 阶矩阵，则必有（ ）（A）|A+B|=|A|+|B|（B） AB=BA（C） |AB|=|BA|（D）（A+B ） 1=A1+B12 设 A 是三阶矩阵，其中 a110，A ij=aij（i=1，2， 3，j=1 ，2，3），则|2A T|=（ ）（A）0（B） 2（C） 4（D）83 设 A 为 mn 矩阵，B 为 nm 矩阵，若 AB=E，则（ ）（A）r（A）=m，r（B）=m（B） r（A）=m，r（B）=n（C） r（A）=n，r（B） =m（
2、D）r（A）=n，r（B） =n4 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ ）（A） 12， 23， 31（B） 12， 2+3， 3+1（C） 1+2，3 152，5 1+92（D） 1+2， 21+32+43， 12235 设 A，B 为 n 阶方阵，P，Q 为 n 阶可逆矩阵，下列命题不正确的是（ ）（A）若 B=AQ，则 A 的列向量组与 B 的列向量组等价（B）若 B=PA，则 A 的行向量组与 B 的行向量组等价（C）若 B=PAQ，则 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价（D）若 A 的行（列）向量组与矩阵 B 的行（列）向量组等价，则矩阵
3、A 与 B 等价6 已知 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，那么向量 1 一2， 1+2 一 23， （ 2 一 1）， 1 一 32+23 中，是方程组 Ax=0 解向量的共有（ ）（A）4（B） 3（C） 2（D）17 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解是（ ）8 设 =2 是非奇异矩阵 A 的一个特征值，则矩阵 有特征值（ ）9 下列选项中矩阵 A 和 B 相似的是（ ）10 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，若 A 与
4、 B 合同，则（ ）（A）A 与 B 有相同的秩（B） A 与 B 有相同的特征值（C） A 与 B 有相同的特征向量（D）A 与 B 有相同的行列式二、填空题11 已知三阶行列式12 已知 A 为三阶方阵，A 2A2E=D，且 0|A|5，则|A+2E|=_。13 设 且 A，B ，X 满足（EB 1A）TBTX=E，则 X 1=_。14 设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 r（A）=2，而 则 r（AB）_。15 设 A 是一个五阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，若 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0的两个线性无关的解，则 r（A *）=_ 。16 设 A 为二阶矩阵， 1， 2 为线
5、性无关的二维列向量，A 1=0，A 2=21+2，则A 的非零特征值为_。17 设 =（1，1，a） T 是 A= 的伴随矩阵 A*的特征向量，其中r（A *） =3，则 a=_。18 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=x TAx=2x22+ 2x32+ 4x1x2+8x2x34x1x3 的规范形是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知 且 AX+X+B+BA=0，求 X2006。20 设 A=（ 1， 2， 3）为三阶矩阵，且|A|=1。已知 B=（ 2， 1，2 3），求B*A。21 设 A 是 n 阶矩阵，若存在正整数 k，使线性方程组 Akx=0 有解向量
6、 ，且 Ak10。证明：向量组 ，A，A k1 是线性无关的。22 设向量组 a1，a 2 线性无关，向量组 a1+b，a 2+b 线性相关，证明：向量 b 能由向量组 a1，a 2 线性表示。23 已知方程组 有解，证明：方程组无解。24 已知三阶矩阵 A 的第一行是（a，b，c ），a，b ，c 不全为零，矩阵 B=（k 为常数），且 AB=0，求线性方程组 Ax=0 的通解。25 已知齐次线性方程组同解，求a，b，c 的值。26 设 A 为正交矩阵，且|A|=1，证明：=1 是 A 的特征值。27 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=3=1，对应于 1 的特征向量为1=（0，
7、1，1） T，求 A。28 设三阶矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=3 对应的特征向量依次为1=（1，1，1） T， 2=（ 1，2，4） T， 3=（1，3，9） T。 （）将向量=（ 1，1，3） T 用 1， 2， 3 线性表示； （）求 AT。29 已知三元二次型 f=xTAx 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形。30 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵。（）计算 PTDP，其中 P= （）利用（）的结果判断矩阵 BCTA1C 是否为正定矩阵，并证明结论。考研数学三（线性代数）模拟试卷
8、 72 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为|AB|=|A|B|=|B|A|=|BA| ，所以 C 正确。 取 B=A，则|A+B|=0，而|A|+|B|不一定为零，故 A 错误。 由矩阵乘法不满足交换律知，B 不正确。 因（A+B ）（A 1+B1）E，故 D 也不正确。 所以应选 C。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 |2A T|=23|AT|=8|A|，且由已知故A*=AT。又由 AA*=AAT=|A|E，两边取行列式，得|AA T|=|A|2=|A |E|=|A|3，即|A|2（|A|1）=
9、0，又 a110，则|A|=a 11A11+a12A12+a13A13=a112+a122+a1320，故|A|=1，从而|2A T|=8，所以应选 D。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 AB=E，所以 r（AB）=m。又 r（AB）=mmin r（A），r（B） ，即 r（A）m，r（B）m，而 r（A）m ，r （B）m，所以 r（A）=m，r（B）=m。故选 A。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 通过已知选项可知 （ 12）+（ 23）+ （ 31）=0， （ 12） +（ 2+3）（ 3+1）=0 ， 因此选项 A、B 中的向量组均线性
10、相关。 对于选项 C，可设 1=1+2， 2=3152， 3=51+92，即 1， 2， 3 三个向量可由1， 2 两个向量线性表示，所以 1， 2， 3 必线性相关，即 1+2，3 152，5 1+92 必线性相关。 因而用排除法可知应选 D。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 将等式 B=AQ 中的 A、B 按列分块，设 A=（ 1， 2， n），B=（ 1， 2， n），则有（ 1， 2， n）=（ 1， 2， n）表明向量组 1， 2， n 可由向量组 1， 2， n 线性表示。由于 Q 可逆，从而有 A=BQ1，即（ 1， 2， n）=（ 1， 2， ， n）Q
11、1，表明向量组 1， 2， ， n 可由向量组1， 2， n 线性表示，因此这两个向量组等价，故选项 A 的命题正确。类似地，对于 PA=B，将 A 与 B 按行分块可得出 A 与 B 的行向量组等价，从而选项 B的命题正确。下例可表明选项 C 的命题不正确。但 B 的行（列）向量组与 A 的行（列）向量组不等价。对于选项 D，若 A 的行（列）向量组与 B 的行（列）向量组等价，则这两个向量组的秩相同，从而矩阵A 与 B 的秩相同，故矩阵 A 与 B 等价（两个同型矩阵等价的充分必要条件是秩相等）。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 A【试题解析】 由 Ai=b（ i=1，2，3）有 A
12、（ 12）=A 1A2=bb=0，A（ 1+223）=A 1+A22A3=b+b2b=0，A（ 132+23）=A13A2+2A3=b3b +2b=0，即 1 一 2， 1+ 223， （ 2 一 1）， 132+23 均是齐次方程组 Ax=0 的解。所以应选 A。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 对于 A、C 选项，因为所以选项 A、C 中不含有非齐次线性方程组 Ax=b 的特解，故均不正确。对于选项 D，虽然 12 是齐次线性方程组 Ax=0 的解，但它与 1 不一定线性无关，故 D 也不正确，所以应选 B。事实上，对于选项 B，由于 1， 12 与 1， 2 等价（
13、显然它们能够互相线性表示），故 1， 1 一 2 也是齐次线性方程组的一组基础解系，而由可知 是齐次线性方程组 Ax=b 的一个特解，由非齐次线性方程组的通解结构定理知，B 选项正确。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 B【试题解析】 因为 为 A 的非零特征值，所以 2 为 A2 的特征值， 为（A 2） 1的特征值。因此 的特征值为 3 所以应选 B。【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 C【试题解析】 选项 A 中，r（A）=1，r（B）=2，故 A 和 B 不相似。选项 B 中，tr（ A）=9， tr（B）=6，故 A 和 B 不相似。选项 D 中，矩阵 A 的特征值为2，2，
14、3，而矩阵 B 的特征值为 1，3，3，故 A 和 B 不相似。由排除法可知应选 C。事实上，在选项 C 中，矩阵 A 和 B 的特征值均为 2，0，0。由于 A 和 B 均可相似对角化，也即 A 和 B 均相似于对角矩阵 故由矩阵相似的传递性可知 A 和 B 相似。所以选 C。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 A【试题解析】 合同的矩阵也等价，故必有相同的秩，所以选 A。【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 结合行列式的性质：行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面，即【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 4【试题解析】 设 A
15、的特征值 i 对应的特征向量是 xi（x i0，i=1，2，3），则Axi=xi。 由 A2A2E=0 可知，特征向量 xi 满足（A 2A2E）x i=0，从而有i2 一 i2=0，解 得 i=1 或 i=20 再根据|A|= 123 及 0|A| 5 可得， 1=2=1， 3=2。 由 Axi=Axi 可得（A+2E）x i=（ i+2）x i，即 A+2E 的特征值i（ i=1，2，3）满足 i=i+2，所以 1=2=1， 3=4，故|A+2E|=114=4。【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 【试题解析】 由（EB 1 A） T BTX=E，得B（EB 1A） TX=E，即（BA
16、）TX=E，因此 X1=（BA） T=【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 2【试题解析】 因为 所以矩阵 B 可逆，因此r（AB ）=r （A ）=2 。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 0【试题解析】 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个线性无关的解。由方程组的基础解系所含解向量的个数与系数矩阵秩的关系，可得 nr（A ）2 ，即 r（A ）3。又因为 A 是五阶矩阵，所以|A|的四阶子式一定全部为零，则代数余子式 Aij 恒为零，即 A*=0，所以 r（A *）=0。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 1【试题解析】 根据题设条件，得 A（ 1， 2）=（A 1
17、，A 2）=（ 1， 2）记 P=（ 1， 2），因 1， 2 线性无关，故 P=（ 1， 2）是可逆矩阵。由AP= 可得 P1AP= 则 A 与 B 相似，从而有相同的特征值。因为|EB|= =（ 1），所以 A 的非零特征值为 1。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1【试题解析】 是 A*的特征向量，设对应于 的特征值为 0，则有 A*=A*，该等式两端同时左乘 A，即得 AA*=|A|=0A，即展开成方程组的形式为因为 r（A *）=3， |A*|0，因此 00，根据方程组中的前两个等式，解得 a=1。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 z 12+z22 一 z32【试题解
18、析】 二次型的矩阵所以矩阵 A 的特征值是 2，6，4，即正交变换下的二次型的标准形是2y12+6y124y32，因此其规范形是 z12+z22 一 z32。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 由 AX+X+B+BA=D 可得（A+E）X=一 B（E+A），而 A+E 可逆的，所以 X=一（A+E） 1B（E+A）， 故 X2006=（A+E） 1B2006（E+A）=（A+E ） 1（E+A）=B。【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 根据题意可知 B=（ 1， 2， 3） 其中所以|B|=|A|P|=2。于是 B*A=|B|B 1
19、A= 2P1（A 1A）= 2P1=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设有常数 0， 1， k1，使得 0+1A+ k1Ak1=0， 则有 A k1（ 0+1A+ k1Ak1）=0 ， 从而得到 0Ak1=0由题设 Ak1a0，所以 0=0。 类似地可以证明 1=2= k1=0，因此向量组，A， Ak1 是线性无关的。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 1， 2 线性无关， 1+b， 2+b 线性相关，所以 b0，且存在不全为零的常数 k1，k 2，使 k1（a 1+b）+k 2（a 2+b）=0，则有（k 1+k2）b=k 1a1k2a2。又因为 a1，a 2 线性无关，
20、若 k1a1+k2a2=0，则 k1=k2=0，这与 k1，k 2 不全为零矛盾，于是有 k1a1+k2a20，（k 1+k2）b0。综上 k1+k20，因此由（k 1+k2）b=ka1k2a2 得 ，k 1，k 2R，k 1+k20。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 用 A1， 分别表示方程组（ 1）与（2）的系数矩阵和增广矩阵，则 =A2T。已知方程组（1）有解，故 r（A 1）= 。又由于（b 1，b 2，b m，1）不能由（ a11，a 21，a m1，0），（a 12，a 22，a m2，0）， ，（a 1n，a 2n，a mn，0）线性表示，所以所以方程组（2）无解。【知识
21、模块】 线性代数24 【正确答案】 由 AB=0 知，B 的每一列均是 Ax=0 的解，且 r（A ）+r（B）3。（1）若 k9，则 r（B）=2，于是 r（A）1，显然 r（A ）1，故 r（A ）=1。可见此时 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3r（A）=2，矩阵 B 的第一列、第三列线性无关，可作为其基础解系，故 Ax=0 的通解为： x=k1（1，2，3）T+k2（3，6，3） T，k 1，k 2 为任意常数。（2）若 k=9，则 r（B）=1，从而1r（A）2。若 r（A） =2，则 Ax=0 的通解为： x=k（1，2，3） T，k 1 为任意常数。若 r（A）=1，则
22、Ax=0 的同解方程组为：ax 1+bx2+cx3=0，不妨设 a0，则其通解为 k1，k 2 为任意常数。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 因为方程组（2）中“方程个数未知数个数” ，所以方程组（2）必有非零解。于是方程组（1）必有非零解，则（1）的系数行列式为 0，即对方程组（1）的系数矩阵作初等行变换，有则方程组（1）的通解是 k（1，1，1） T。因为（1，1，1） T 是方程组（2）的解，所以=1，c=2 或 b=0，c=1。当 b=1，c=2 时，方程组（2）为 其通解是 k（1，1，1） T，所以方程组（1）与（2）同解。当 b=0，c=1 时，方程组（2）为 由于方程组
23、（2）的系数矩阵的秩为 1，而方程组（1）的系数矩阵的秩为 2，故方程组（1）与（2）不同解，则 b=0，c=1 应舍去。综上，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组（1）与（2）同解。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 要证 =1 是 A 的特征值，需证|A +E|=0。因为|A +E|=|A +ATA|=|（E +A T）A|=|E +A T|A|=一|A +E|，所以|A+E|=0 ，故 =1 是 A 的特征值。【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 设对应于 2=3=1 的特征向量为 =（x 1，x 2，x 3） T。由实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交得 T2=0，即
24、 x2+x3=0，解得2=（1，0，0） T， 3=（0，1，1） T。又由 A（ 1， 2， 3）=（ 11， 22， 33），故有 A=（ 11， 22， 33）（ 1， 2， 3） 1【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 （）设 x11+x22+x33=，即 解得x1=2， x2=2，x 3=1，故 =2122+3。（）A=2A 12A2+A3，则由题设条件可得 An=2A*12An2 +An3=2122n2+3n3=【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 二次型 xTAx 的秩为 2，即 r（A）=2，所以 =0 是 A 的特征值。所以 3 是 A 的特征值，（1，2，1） T
25、是与 3 对应的特征向量；1 也是 A 的特征值，（1，1，1） T 是与1 对应的特征向量。因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，设 =0的特征向量是（x 1，x 2，x 3） T，则有（x 1，x 2，x 3） =0，（x 1，x 2，x 3）由方程组 解出 =0 的特征向量是（1，0，1）T。因此 x TAx= （x 12+ 10x22+ x32+ 16x1x2+ 2x1x3+ 16x2x3）令则经正交变换 x=Qy，有 xTAx=yTAy=3y12y32。【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 （）由（）中结果知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 BCTA 1C 是对称矩阵。对 m 维零向量 x=（0，0，0） T 和任意 n 维非零向量y=（y 1，y 2， yn） T，都有（x T，y T）可得 y T（BC TA1C）y0，依定义，y T（BC TA1C）y 为正定二次型，所以矩阵 BCTA 1C 为正定矩阵。【知识模块】 线性代数
