1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 73 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A=E2T，其中 =（x 1，x 2，x n） T，且有 T=1。则 A 是对称矩阵； A2 是单位矩阵； A 是正交矩阵； A 是可逆矩阵。 上述结论中，正确的个数是（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）42 设 A 为正交矩阵，则下列矩阵中不属于正交矩阵的是（ ）（A）A T（B） A2（C） A*（D）2A3 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组（ ）（A） 12， 23， 34， 41 线性无关（B） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性无关（
2、C） 1+2， 2+3， 3+4， 41 线性无关（D） 1+2， 2+3， 34， 41 线性无关4 某五元齐次线性方程组的系数矩阵经初等变换化为 ，则自由变量可取为x 4，x 5； x3，x 5；x 1，x 5；x 2，x 3。那么正确的共有（ ）（A）1 个（B） 2 个（C） 3 个（D）4 个5 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，n 均为 mn 矩阵，现有四个命题：若 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解，则 r（A）r（B）；若 r（A）r（B），则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解；若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r（A）=r（B）；若 r（A）=r（B
3、），则 Ax=0 与 Bx=0 同解。以上命题中正确的有（ ）（A）（B） （C） （D）6 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则 A 的伴随矩阵 A*的特征值之一是 （ ）（A） 1|A|n（B） 1|A|（C） |A|（D）|A| n7 设 A，B 均为 n 阶矩阵，A 可逆，且 AB，则下列命题中 ABBA ； A2 B2； TB T； A 1B 1。 正确的个数为（ ）（A）1（B） 2（C） 3（D）48 下列二次型中是正定二次型的是（ ）（A）f 1=（x 1x2） 2+（x 2x3） 2+（x 3x1） 2（B） f2=（x 1+x2） 2+（x 2x3） 2+
4、（x 3+x1） 2（C） f3=（x 1+x2） 2+（x 2+x3） 2+（x 3x4） 2+（x 4x1） 2（D）f 4=（x 1+x2） 2+（x 2+x3） 2+（x 3+x4） 2+（x 4x1） 2二、填空题9 行列式10 设三阶方阵 A 与 B 相似，且|2E+A|=0。已知 1=1， 2=1 是方阵 B 的两个特征值，则|A+2AB|=_。11 设 ， 均为三维列向量， T 是 的转置矩阵，如果 T= ，则T=_。12 设 A*为 A 的伴随矩阵，则（A *） 1=_。13 已知 则秩 r（AB+2A）=_。14 已知向量 1=（1，2，1，1） T， 2=（2，0，t ，
5、0） T， 3=（0，4，5，t ） T线性无关，则 t 的取值范围为_。15 设 1=（6，1，1） T 与 1=（7，4，2） T 是线性方程组的两个解，则此方程组的通解是_。16 已知 =12 是 A= 的特征值，则 a=_。17 设矩阵 A 与 B= 相似，则 r（A）+r（A2E ）=_。18 二次型 f（x 1，x 2，x 3）=（x 1+2x2+a3x3）（x 1+5x2+b3x3）的合同规范形为_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 已知三阶矩阵 A 和三维向量 x，使得 x，Ax，A 2X 线性无关，且满足A3X=3Ax2A2x。 （）记 P=（x，Ax，
6、A 2X）。求三阶矩阵 B，使 A=PBP1； （）计算行列式|A+E|。20 设 问 k 为何值，可使：（）r（A）=1；（）r（A） =2；（）r（A） =3。21 已知 A 是三阶矩阵， i（i=1，2，3）是三维非零列向量，令 a=1+2+3。若Ai=ii（i=1，2，3），证明：，A，A 2 线性无关。22 设向量组 a1，a 2， am 线性相关，且 a10，证明存在某个向量 ak（2km），使 ak 能由 a1，a 2，a k1 线性表示。23 设 A= （ ）求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量 2， 3；（）对（）中任意向量 2 和 3，证明 1， 2， 3 线性无关。
7、24 设矩阵 A=（a 1，a 2，a 3，a 4），其中 a2，a 3，a 4 线性无关，a 1=2a2a3，向量 ba1+a2+a3+a4，求方程组 Ax=b 的通解。25 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关。证明：如 1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=3。26 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1=1， 2=1， 3=0；对应 1， 2 的特征向量依次为 p1=（ 1，2，2） T，p 2=（2，1，2） T，求 A。27 在某国，每年有比例为 p 的农村居民移居城镇，有比例为 q 的城镇居民移居农村。假设该国总人口数不变，且
8、上述人口迁移的规律也不变。把 n 年后农村人口和城镇人口占总人口的比例依次记为 xn 和 yn（x n+yn=1）。（）求关系式中的矩阵 A；（）设目前农村人口与城镇人口相等，即28 设矩阵 A= 有一个特征值是 3，求 y，并求可逆矩阵 P，使（AP） T（AP）为对角矩阵。考研数学三（线性代数）模拟试卷 73 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A T=（E 2T） T=ET 一（2 T） T=E2T=A， 成立。 A2=（E2 T）（E2 T）=E 一 4T+4TT=E 一 4T+4（ T） T=E，成立。 由、 ，得
9、 A2=AAT=E，故 A 是正交矩阵，成立。 由 知正交矩阵是可逆矩阵，且 A1=AT，成立。 故应选 D。【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 因 A 为正交矩阵，所以 AAT=ATA=E，且|A| 2=1。而（2A ）（2A ）T=4AAT=4E，故 2A 不为正交矩阵。所以选 D。 事实上，由 AT（A T）T=ATA=E，（A T） TAT=AAT=E，可知 AT 为正交矩阵。 由 A2（A 2） T=A（AA T）AT=AAT=E，（A 2） TA2=AT（A T）A=A TA=E，可知 A2 为正交矩阵。 由 A*=|A|A1=|A|AT，可得 A *（A *）
10、 T=|A|AT（|A|A）=|A| 2ATA=|A|2E=E，（A *） TA*=（|A|A）|A|AT=|A|2AAT=|A| 2E=E，故 A*为正交矩阵。【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 排除法 通过观察可知 （ 12）+（ 23）+ （ 34）+（ 41） =0， （ 1+2）一（ 2+3）+ （ 3+4）一（ 4+1）=0， （ 1+2）一（ 2+3）+（ 34）+ （ 41）=0， 即选项 A，B，D 中的向量组均线性相关，所以选 C。【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 B【试题解析】 因为系数矩阵的秩 r（A）=3，则 nr（A ）=53=2 ，故应当
11、有两个自由变量。由于去掉 x4，x 5 两列之后，所剩三阶矩阵为 因为其秩与 r（A）不相等，故 x4，x 5 不是自由变量。同理，x 3，x 5 不能是自由变量。向x1，x 5 与 x2，x 3 均可以是自由变量，因为行列式 都不为 0。所以应选 B。【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由于线性方程组 Ax=0 和 Bx=0 之间可以无任何关系，此时其系数矩阵的秩之间的任何关系都不会影响它们各自解的情况，所以， 显然不正确，利用排除法，可得正确选项为 B。下面证明， 正确：对于，由 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解可知，方程组 Bx=0 含于 Ax=0 之中。从而Ax=
12、0 的有效方程的个数（即 r（A）必不少于 B=0 的有效方程的个数（即r（B），故 r（A）r（ B）对于，由于 A，B 为同型矩阵，若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则其解空间的维数（即基础解系包含解向量的个数）相同，即nr（A）=nr（B ），从而 r（A）=r（B）。【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 B【试题解析】 设向量 x（x0）是与 对应的特征向量，则 Ax=x。两边左乘 A*，结合 A*A=|A|E 得 A*Ax=A*（x），即 |A|x=A *x，从而 A *Ax= 可见 A*有特征值 =1|A |。所以应选 B。【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 D【试题解析】
13、因 AB，可知存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=B，于是 P 1A2P=B2，P TAT（P T） 1=BT，P 1A1P=B1， 故 A 2B 2，A TB T，A 1B 1。 又由于 A 可逆，可知 A1（AB）A=BA，即 ABBA 。故正确的命题有四个，所以选 D。【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 D【试题解析】 f=x TAx 正定 对任意的 x0，均有 xTAx0；反之，若存在 x0，使得 f=xTAx0 则 f 或 A 不正定。A 选项因 f1（1，1，1）=0，故不正定。B 选项因 f2（ 1，1，1）=0，故不正定。C 选项因 f3（1，1，1，1）=0，故不正定。由排
14、除法，故选 D。【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 2（x 3+y3）【试题解析】 将后两列加到第一列上=2（ x3+y3）。【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 18【试题解析】 由|2E+A|=0，可得|2EA|=0，即 =2 是 A 的一个特征值。因A 与 B 相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知， 1=1， 2=1 也是 A 的特征值，所以 A、B 的特征值均为 1=1， 2=1， 3=2，则 E+2B 的三个特征值分别为 3，1，3。从而可得|A|= 123=2，|E+2B|=3（1）（3）=9，故|A+2AB|=|A（ E+2B）|=|A|E+2B|=18 。【
15、知识模块】 线性代数11 【正确答案】 5【试题解析】 设 =（ 1， 2， 3） T，= （b 1，b 2，b 3） T，则而 T=（ 1， 2， 3）=a1b1+a2b2+a3b3，可以看出 T 就是矩阵 T 的主对角线元素的和，所以T=1+6+（2）=5。【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 【试题解析】 由 A*=|A|A1 可得（A *） 1=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 2【试题解析】 因为 AB+2A=A（B+2E ），且 是可逆矩阵，所以 r（AB+2A）=r（A）。对 A 作初等行变换，则因此可得r（AB+2A）=2。【知识模块】 线性代数14 【正确答案】
16、（一，+）【试题解析】 由于向量的个数与维数不相等，因此不能用行列式去分析，而需要用齐次方程组只有零解，或者矩阵的秩的特性来分析。令 A=（ 1， 2， 3）=则对任意的 t，r（A ）=3 是恒成立的，即向量组线性无关。【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 （6，1，1） T+k（13，5，1） T，k 为任意常数【试题解析】 一方面因为 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解，所以一定有 r（ A）= 3。另一方面由于在系数矩阵 A 中存在二阶子式=2。由 nr（A）=32=1 可知，导出组 Ax=0 的基础解系由一个解向量构成，根据解的性质可知 12=（6，1，1）
17、T=（7，4，2）T=（13，5 ，1） T 是导出组 Ax=0 的非零解，即基础解系，则方程组的通解为x=（ 6， 1，1） T+k（13，5，1） T，k 为任意常数。【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 4【试题解析】 因为 =12 是 A 的特征值，因此|12EA|=0，即所以 a=4。【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 3【试题解析】 矩阵 A 与 B 相似，则 A2E 与 B2E 相似，而相似矩阵具有相同的秩，所以 r（A）+r（A 2E）=r（B）+r（B2E）=2+1=3。【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 z 12z22【试题解析】 令 所以该线性变换是非退化
18、的，则原二次型与变换之后的二次型 f=y1y2 是合同的，故有相同的合同规范形。二次型 f=y1y2 的矩阵为 ，0，所以原二次型的正、负惯性指数均为 1，故原二次型的合同标准形为 z1y2z2y2。【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 （）令等式 A=PBP1 两边同时右乘矩阵 P，得 AP=PB，即A（x，Ax，A 2x）=（Ax，A 2x，A 3x）= （Ax，A 2x，3Ax 一 2A2x）（）由（）知 AB，那么A+EB+E ，从而【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 对 A 作初等变换，即（）当k=1 时， r（A）=1；（
19、）当 k=2 时，r（A）=2；（）当 kl 且 k2 时，r（A） =3。【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 Ai=ii（i=1，2，3），且 i（i=1 ，2，3）非零可知，1， 2， 3 是矩阵 A 的属于不同特征值的特征向量，故 1， 2， 3 线性无关。又A=1+22+33，A 2=1+42+93，所以（，A，A 2）=（ 1， 2， 3）=（ 1， 2， 3）P，而矩阵 P 是范德蒙德行列式，故|P|=20，所以，A，A 2 线性无关。【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为向量组 a1，a 2，a m 线性相关，由定义知，存在不全为零的数 1， 2， m，使 1a
20、1+2a2+ mam=0。因 1， 2， m 不全为零，所以必存在 k，使得 k0，且 k+1= m=0。当 k=1 时，代入上式有 1a1=0。又因为a10，所以 1=0，与假设矛盾，故 k1。当 k0 且 k2 时，有因此向量 ak 能由 a1，a 2，a k1 线性表示。【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 （）对增广矩阵（A| 1）作初等行变换，则得 Ax=0 的基础解系（1，1，2） T 和 Ax=1 的特解（0，0，1） T。故 2=（0，0，1）T+k（1，1，2） T，其中 k 为任意常数。A 2= 对增广矩阵（A 2|1）作初等行变换，有得 A2x=0 的基础解系（1，1
21、，0） T，（0，0，1） T 和 A2x=1 的特解 故 3=+t1（1， 1，0） T+ t2（0，0，1） T，其中 t1，t 2 为任意常数。（）因为| 1， 2， 3|=所以 1， 2， 3线性无关。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 已知 2， 3， 4 线性无关，则 r（A）3。又由 1， 2， 3 线性相关可知 1， 2， 3， 4 线性相关，故 r（A）3 。终上所述，r（A ）=3 ，从而原方程组的基础解系所含向量个数为 43=1。又因为 1=223 122+3=0 （ 1， 2， 3， 4） 所以 x=（1，2，1，0） T 是方程组Ax=0 的基础解系。又由 b=
22、a1+a2+a3+a4 可知 x=（1，1，1，1） T 是方程组 Ax=b 的一个特解。于是原方程组的通解为 x=（1，1，1，1） T+c（1，2，1，0）T， cR。【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则 A（ 1+2+3）=A（ 1+2+3）。 又 A（ 1+2+3）=A1+A2+A3=11+22+33，于是有 （ 1） 1+（ 2） 2+（ 3）3=0。 因为 1， 2， 3 线性无关，故 1=0， 2=0， 3=0，即 1=2=3。【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 因为 A 为实对称矩阵，故必存在正交矩阵 Q=（q
23、1，q 2，q 3），使QTAQ=Q1AQ= 将对应于特征值 1， 2 的特征向量 P1=单位化，得 由正交矩阵的性质，q3 可取为 的单位解向量，则由【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 （）由题意，人口迁移的规律不变 xx+1=xn+ qynpxn=（1p）xn + qyn，y n+1=yn+ pxnqyn=pxn+ （1q）y n，用矩阵表示为得 A 的特征值为 1=1， 2=r，其中 r=1pq。当 1=1 时，解方程（A E）x=0，得特征向量 p1= 当 2=r 时，解方程（ArE ） x=0，得特征向量 p2= 令P=（p 1，p 2）= 则 P1AP= =， A=PP1，A n=PnP1。于是【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故|3EA|=8（3y1）=0，解得 y=2。于是 由于 AT=A，要（AP） T（AP）=P TA2P=，而 A2=是对称矩阵，即要 A2，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形。由配方法，有 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=y12+y22+5y32+ y42，其中y1=x1， y2=x2，y 3=x3+ x4，y 4=x4，即于是（AP） T（AP）=P TA2P=【知识模块】 线性代数
