1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 75 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若（A）30m（B）一 15 m（C） 6m（D）一 6m2 设 A 是 n 阶矩阵，则（A）A n2（B） A n2-n（C） A n2-n+1（D）A n2+n3 设 A 是 n 阶矩阵，则(2A) *=（A）2 nA *（B） 2n-1A *（C） 2n2-nA *（D）2 n2A *4 设 A 是 m 阶矩阵，B 是 n 阶矩阵，且A=a ，B=b，若则C=（A）一 3ab （B） 3mab （C） (一 1)mn3mab（D）(一 1)(m+1)n3mab5 x=一 2
2、 是 的（A）充分必要条件（B）充分而非必要条件（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要条件二、填空题6 若 的代数余子式 A12=一 1，则代数余子式 A21=_7 若 则A=_ 8 设 则一 2A-1=_9 设 ， ， 1， 2， 3 都是 4 维列向量，且A= ， 1， 2， 3=4 ，B=，2 1，3 2， 3=21，则A+B=_ 10 已知 若 Dn=anDn-1+kDn-2，则k=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 若行列式的某个元素 aij 加 1，则行列式的值增加 Aij.12 若行列式的第 j 列的每个元素都加 1，则行列式的值增加13 若行列式的每
3、个元素都加 1，则行列式值的增量为所有代数余子式之和考研数学三（线性代数）模拟试卷 75 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 故应选(D)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 因为A *是一个数，由kA=k nA及A *= A n-2有A *A=A * nA=(A n-1)nA=A n2-n+1。 故应选(C) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 (2A) *=2A n-1=(2nA) n-1=2n(n-1)A n-1=2n(n-1)A 或利用(kA) *=kn-1A*，那么 (2A)
4、2 n-1A*=(2 n-1)nA *=2 n2-nA *故应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 用性质有故应选(D)【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 对于范德蒙行列式因为 x=一 2 时，行列式的值为 0但 D=0 时，x 可以为 1所以 x=一 2 是 D=0 的充分而非必要条件故应选(B)【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 2【试题解析】 按代数余子式定义【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 0【试题解析】 利用公式“r(AB)r(B)及 A0，则 r(A)1”，易见本题中 r(A)=1，所以A=0或作矩阵乘法 由 A
5、 中两行元素成比例而知A=0【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一 4【试题解析】 用kA=k nA及 可知又A =2，从而一 2A-1= 一 4【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 180【试题解析】 因 A+B=(+，3 1，4 2，2 3)，故A+B=+，3 1， 42，2 3 =24 ， 1， 2， 3+24， 1， 2， 3 =24A +4B=180【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 1【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 对修改后的行列式第 j 列为(a 1j，,a ij+1，a nj)T=(a1j,a
6、ij，a nj)T+(0， ，1，0) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的值为 A0【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 对修改后的行列式第 j 列为(a 1j+1，a ij+1，a nj+1)T=(a1j，a ij，a nj)T+(1，1，1) T，对它分解(性质 )，分为两个行列式之和，一个就是原行列式，另一个的第 j 列元素都是 1，增加量就是它的值，等于【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 设原来行列式的列向量依次为 1， 2， s，记=(1，1，1) T则改变后的行列式为 1+， 2+， s+对它分解(用性质，先分解第 1 列，分为 2 个行列式，它们都对第 2 列分解，成 4 个行列式，) 分为 2n 个行列式之和，这些行列式的第 j 列或为 ，或为 j，考虑到当有两列为 时值为 0，除去它们， 1+， 2+， s+是 n+1 个行列式之和，它们是：恰有 1 列为 ，而其它各列都不是 (这样的有 n 个) ，还有一个是 1， 2， ， s即原来行列式于是【知识模块】 线性代数
