1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 77 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设向量组 ， ， 线性无关， ， ， 线性相关，则（A） 必可由 ， 线性表示（B） 必不可由 ， ， 线性表示（C） 必可由 ， 线性表示（D） 必不可由 ， ， 线性表示2 向量组 1， 2， s 线性无关的充分必要条件是（A） 1， 2， s 均不是零向量（B） 1， 2， s 中任意两个向量的分量不成比例（C） 1， 2， s， s+1 线性无关（D） 1， 2， s 中任一个向量均不能由其余 s 一 1 个向量线性表出3 设 1,2,3,4 是 3 维非零向量，则下列说
2、法正确的是（A）若 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，则 1+3， 2+4 也线性相关（B）若 1,2,3 线性无关，则 1+4， 2+4， 3+4 线性无关（C）若 4 不能由 1,2,3 线性表出，则 1,2,3 线性相关（D）若 1,2,3,4 中任意三个向量均线性无关，则 1,2,3,4 线性无关4 若 1,2,3 线性无关，那么下列线性相关的向量组是（A） 1， 1+2， 1+2+3（B） 1+2， 1 2，一 3（C） 一 1+2， 2+3， 3 1（D） 1 一 2， 2 3， 3 一 15 设向量组 I： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则（A）
3、当 rs 时，向量组()必线性相关（B）当 rs 时，向量组()必线性相关（C）当 rs 时，向量组(I)必线性相关（D）当 rs 时，向量组(I)必线性相关6 若 r(1， 2， s)=r，则（A）向量组中任意 r1 个向量均线性无关（B）向量组中任意 r 个向量均线性无关（C）向量组中任意 r+1 个向量均线性相关（D）向量组中向量个数必大于 r7 设 n 维向量 1， 2， s，下列命题中正确的是（A）如果 1， 2， s 线性无关，那么 1+2， 2+3， s-1+s， s+1 也线性无关（B）如果 1， 2， s 线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关（C）如果 1， 2， s 线
4、性相关，A 是 mn 非零矩阵，那么A1，A 2，A s 也线性相关（D）如果 1， 2， s 线性相关，那么 s 可由 1， 2， s-1 线性表出8 设 A 是 mn 矩阵，r(a)=m n，则下列命题中不正确的是（A）A 经初等行变换必可化为(E m，0)（B） ，方程组 Ax=b 必有无穷多解（C）如 m 阶矩阵 B 满足 BA=0，则 B=0（D）行列式A TA=0二、填空题9 向量组 1=(1，0，1，2) T， 2=(1，1，3，1) T， 3=(2，一 1，+1，5) T 线性相关，则 a=_10 已知 1=(a，a，a) T， 2=(一 a，a，b) T， 3=(一 a，一
5、a，一 b)T 线性相关，则a，b 满足关系式 _。11 已知 1,2,3 线性无关， 1+2，a 2 一 3， 1 一 2+3 线性相关，则a=_。12 若 =(1，3，0) T 不能由 1=(1，2，1) T， 2=(2，3，a) T， 3=(1，a+2，一 2)T 线性表出，则 a=_。13 任意 3 维向量都可用 1=(1，0，1) T， 2=(1，一 2，3) T， 3=(a，1，2) T 线性表出，则 a=_14 向量组 1=(1，一 1，3，0) T， 2=(一 2，1,a，1) T， 3=(1，1，一 5，一 2)T 的秩为 2，则 a=_15 已知 r(1， 2， s)=r(
6、1， 2， s，)=r，r( 1， 2， s，)=r+1，则r(1， 2， s， ，)=_16 设 4 阶矩阵 A 的秩为 2，则 r(A*)=_17 已知 且 AXA*=B，秩 r(X) =2，则 a=_18 已知 B 是 3 阶非 0 矩阵，且 BAT=0，则a=_19 与 1=(1，一 1，0，2) T， 2=(2，3，1，1) T， 3=(0，0，1，2) T 都正交的单位向量是_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(一 1，1，2，4) T， 3=(2，3，a，7) T， 4=(一1，5，一 3，a+6) T，=(1，0，
7、2，6) T，问 a，b 取何值时， (I) 不能由 1,2,3,4线性表示? () 能用 1,2,3,4 线性表出，且表示法唯一； () 能用 1,2,3,4 线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式21 已知向量组有相同的秩，且 3 可由 1,2,3 线性表出，求 a，b 的值22 已知 1， 2， s 是互不相同的数，n 维向量 i=(1,ai，a i2，a in-1)T(i=1，2，s)，求向量组 1， 2， s 的秩23 设 A 是 n 阶非零实矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出24 证
8、明 1， 2， s。(其中 10)线性相关的充分必要条件是存在一个i(1is) 能由它前面的那些向量 1， 2， i-1 线性表出25 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np 矩阵，如 AB=C，且 r(c)=m，证明 A 的行向量线性无关.26 设 A 是 mn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)27 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交.考研数学三（线性代数）模拟试卷 77 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正
9、确答案】 C【试题解析】 1 故应选(C)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 (A) ，(B)均是线性无关的必要条件例如， 1=(1，1，1)T， 2=(1，2， 3)T， 3=(2，3，4) T，虽 1,2,3 均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但 1+2 一 3=0， 1,2,3 线性相关(C)是线性无关的充分条件由1,2， ， s， s+1 线性无关 1,2， s 线性无关，但由 1,2， s线性无关 1,2， s， s+1 线性无关(D)是线性相关的意义故应选 (D)【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 若 1=(1，0) ， 2=(2，0
10、)， 3=(0，2)， 4=(0，3)，则 1， 2 线性相关， 3， 4 线性相关，但 1+3=(1，2) ， 2+4=(2，3)线性无关故(A)不正确 对于(B) ，取 4=一 1，即知(B)不对 对于(D)，可考察向量组 (1，0，0)，(0，1， 0)，(0，0，1)，(一 1，一 1，一 1)，可知(D)不对 至于(C)，因为 4 个 3维向量必线性相关，如若 1,2,3 线性无关，则 4 必可由 1,2,3 线性表 m现在4 不能由 1,2,3 线性表出，故 1,2,3 必线性相关故应选(C)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 用观察法由( 1 一 2)+(2
11、一 3)+(3 一 1)=0，可知 1 一 2， 2 一3， 3 一 1 线性相关故应选(D) 至于(A)，(B) ，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为 0 来判断例如，(A)中 r(1， 1+2， 1+2+3) =r(1， 1+2， 3) =r(1， 2， 3) =3或( 1， 1+2， 1+2+3)=由行列式 而知 1， 1+2， 1+2+3 线性无关【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 用【定理 38】的推论，若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关故应选(D)请举例说明(A)，(B)，(C)均不正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【
12、试题解析】 秩 r(， 2， s)=r 向量组 1， 2， s 的极大线性无关组为 r 个向量 向量组 1， 2， s 中有 r 个向量线性尤关，而任 r+1 个向量必线性相关所以应选(C) 【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 (A) ：当 s 为偶数时，命题不正确例如，1+2， 2+3， 3+4， 4+1 线性相关 (B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系 例如，1， 2， s 与 1， 2， s，0 等价，但后者必线性相关 (C)：因为(A1，A 2，A s)=A(1， 2， s)，于是 r(A 1，A 2，A s)=rA
13、(s， 2， s)r(1， 2， s)s，所以，A 1，A 2，A s 必线性相关故应选(C) (D) ：要正确理解线性相关的意义【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 A【试题解析】 例如， 1 只用初等行变换就不能化为(E 2，0)形式，(A)不正确故应选(A) 因为 A 是 mn 矩阵，m=r(A)r(Ab)m 于是 r(A)=r(Ab)=mn(B) 正确由 BA=0 知 r(B)+r(A)m，又 r(A)=m，故 r(B)=0，即B=0(C)正确A TA 是 n 阶矩阵，r(A TA)r(A)=mn，故A TA=0 ，即(D) 正确【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 一
14、1【试题解析】 1,2,3 线性相关 r(1,2,3)3故 a=一 1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 a=0 或 a=b【试题解析】 n 个 n 维向量线性相关 1,2， s=0而故 a=0 或a=b【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a=2【试题解析】 记 1=1+2， 2=a1 一 3， 3=1 一 2+3，则【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 一 1【试题解析】 不能由 1,2,3 线性表出 方程组 x11+x22+x33= 无解又因为 a=一 1 时方程组无解，所以 a=一 1 时 不能由 1,2,3 线性表出【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 a3【试题解
15、析】 任何 3 维向量 可由 1,2,3 线性表出 r(1,2,3)=3因而所以 a3 时，任何 3 维向量均可由 1,2,3 线性表出【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 a=一 2【试题解析】 r( 1,2,3)=2，计算秩得 a=一 2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 r+1【试题解析】 r( 1,2， ， s)=r(1,2， s，)=r 表明 可由 1,2， s 线性表出，于是 r(1,2， ， s，)=r( 1,2， s，)，=r+1 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 0【试题解析】 由 知 r(A*)=0【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 0【试题解析】
16、由 A 可逆，知 A*可逆，那么 r(AXA*)=r(x)，从而 r(B)=2，B =0于是【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 【试题解析】 由 BAT=0 有 r(B)+r(aT)3，即 r(A)+r(B)3又 B0，有 r(B)1，从而 r(a)3，即A=0于是【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 【试题解析】 设 =(x1，x 2，x 3,x4)T 与 1,2,3 均正交，则 Ti=0(i=1，2，3)，即求出基础解系：(1，一 1，2，一 1)T，单位化得为所求【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设 x11+x22+x3
17、3+x34=，对增广矩阵( 1,2,3,4；) 作初等行变换，有(I)当 a=1，b2 或 b=10，b一 1 时，方程组均无解所以 不能由 1,2,3,4 线性表出.( )当 a1 且 a10 时， 方程组均有唯一解所以 能用 1,2,3,44 线性表示且表示法唯() 方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=一 1 时，方程组有无穷多解：【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 3 可由 1,2,3 线性表示，故方程组 x11+x22+x33=3 有解由并且秩 r(1,2,3)=2于是 r(1， 2， 3)=2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 sn 时， 1
18、,2， s 必线性相关，但 1,2， n是范德蒙行列式，故 1,2， n 线性无关因而 r(1,2， s)=n 当 s=n 时，1,2， ， n 线性无关，秩 r(1,2， n)=n 当 sn 时，记1=(1， 1， 12， 1s-1)T， 2=(1， 2， 22， 2s-1)T， ， s=(1， s， s2， s)T，则 1， 2， s线性无关那么1,2， ， s 必线性无关故 r(1,2， s)=s【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A*=AT，按定义有 Aij=aij( i，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式A中 aij 的代数余子式由于 A0，不妨设 a110，那么A
19、=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20于是 A=(1,2， n)的n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有 1,2， n， 线性相关因此 必可由 1,2， n 线性表出【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 必要性因为 1,2， s 线性相关，故有不全为 0 的k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0设 ks，k s-1，k 2，k 1 中第一个不为 0的是 ki(即 ki0，而 ki+1=ks-1=ks=0)，且必有 i 1(若 i=1 即 k10，k 2=ks=0，那么 k11=0于是 1=0 与 10 矛盾)，从而 k11+
20、k22+kii=0， k i0那么(k11+k22+ki-1i-1)充分性设有 i 可用 1， 2， i-1 线性表示，则 1， 2， ， i-1， i 线性相关，从而 1,2， s 线性相关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (用秩) 因为 AB=C，所以 r(AB)r(a)，即 r(A)r(C)=m又 A 是，nn 矩阵， r(A)m，从而 r(A)=m因为 r(A)=A 的行秩，所以 A 的行向量组线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 对齐次方程组(I)ABx=0， ()Bx=0，如 是 ()的解，有 B=0，那么 AB=0，于是 是(I)的解如 是 (I)的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以 Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是( )的解因此方程组(I)与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B).所以 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 AT=一 A，Ax=y，所以 (x，y)=x TAx=(ATx)Tx=(一 Ax)Tx=(一y，x)，得 (x， y)=0【知识模块】 线性代数
