1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 7 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 设 A 是 nm 矩阵，B 是 mn 矩阵，其中 nm，露是 n 阶单位矩阵，若 AB=E，证明 B 的列向量线性无关1 已知下列齐方程组（I）（）2 设 4 维向量组 1=(1+a，1，1，1) T， 2=(2，2+a，2，2) T， 3=(3，3，3+a ，3)T， 4=(4，4，4，4+a) T，问 a 为何值时， 1， 2， 3,4 线性相关? 1， 2， 3,4 线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表出2 设向量组 1=(1，1，1，3) T， 2=
2、(-1，-3，5，1) T， 3=(3，2，-1，p+2) T， 4=(-2，-6， 10，P) T3 p 为何值时，该向量组线性无关?并在此时将向量 =(4，1，6，10) T 用1， 2， 3,4 线性表出4 P 为何值时，该向量组线性相关?并在此时求出它的秩和一个极大线性无关组5 已知向量组(1)： 1， 2， 3；(II) ： 1， 2， 3,4；()： 1， 2， 3,5如果各向量组的秩分别为 r(I)=r()=3，r()=4证明向量组 1， 2， 3,5-4的秩为 46 设齐次线性方程组 其中 aO，b0，n2试讨论a，b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多组解?存有无穷多组解时，
3、求出全部解，并用基础解系表示全部解6 已知齐次线性方程组 其中ai0试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时7 方程组仪有零解；8 方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系9 设有齐次线性方程组 试问 a 为何值时，该方程组有非零解，并求其通解10 已知线性方程组 的一个基础解系为(b11，b 12，b 1，2n )T，(b 21，b 22，b 2,2n)T，(b n1，b n2，b n,2n)T试写出线性方程组 的逋解，并说明理由11 设 1， 2， .， s 为线性方程组 Ax=0 的一个基础解系： 1=t11+t22， 2=t12+t23， ， s=t1s+t2
4、1，其中 t1，t 2 为实常数 试问 t1,t2 满足什么关系时，1， 2，., s，也为 Ax=0 的一个基础解系11 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中12 当 n 为何值时，该方程组有唯一解，并求 x1；13 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并求通解13 设14 求满足 A2=1， A 23=1 的所有向量 2， 3；15 对(I)中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关15 设 A= b= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解16 求 ，a；17 求方程组 Ax=b 的通解考研数学三（线性代数）模拟试卷 7 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明
5、过程或演算步骤。1 【正确答案】 方法一：对 B 按列分块，记 B=(1， 2，.， n)，若k11+k22+knn=0，即：( 1， 2，.， n) 两边左乘A，得 所有 1， 2，.， n 线性无关.方法二：因为 B 是 mn 矩阵，n 1， 2，.， n 线性无关 .【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 对( 1， 2， 3,4)作初等行变换，有( 1， 2， 3,4)=若 a=0，则秩 r(1， 2， 3,4)=1， 1， 2， 3,4 线性相关极大线性尤关组 1，日 2=21， 3=31， 4=41若a0，则有 (1， 2， 3,4) 当 a=-10 时，1
6、， 2， 3,4 线性相关，极大线性无关组 2， 3,4，且 1=-2-3-4【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 对矩阵( 1， 2， 3,4 丨 )作初等行变换：当 P2 时，向量组1， 2， 3,4 线性无关由 =x11+x22+x33+x44，解得 x1=2,x2=(3p-4)/(p-2),x3=1,x4=(1-p)/(p-2)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 当 p=2 时，向量组 1， 2， 3,4 线性相关此时，向量组的秩等于 3 1， 2， 3(或 1， 3,4) 为其一个极大线性无关组 【试题解析】 对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，则 A
7、的列向量与 B 的列向量有相同的线性相关性，因此观察 B 的列向量就可判断 A 的列向量是否线性相关，亦可求出极大线性无关组【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 因为 r(I)=r()=3，所以 1， 2， 3 线性无关， 1， 2， 3， 4 线性相关， 4 可由 1， 2， 3 线性表出，设为 4=l1+l22+l33若 k11+k22+k33+k4(5-4)=0， (k1-l1k4)1+(k2-l2k4)2+(k3-l3k3)3+k45=0，r()=4，即 1， 2， 3， 5 线性无关故必有 解 k4=0，k 3=0，k 2=0，k 1=0。于是 1， 2， 3,5-4 线性无关即其
8、秩为 4【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 方程组的系数行列式=a+(n-1)6(a-b)n-1，(1)当 ab 且 n(1一 n)6 时，方程组只有零解(2)当 a=b 时，对系数矩阵作初等行变换，有由于 n-r(A)=n-1，取自由变量为x2，x 3，x n，得到基础解系为 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0，0) T， n-1=(-1，0，0，0，1) T方程组的通解是：k11+k22+kn-n-1，其中 k1，k 2，k n-1 为任意常数(3)当 n=(1-n)b 时，对系数矩阵作初等行变换，有r(A)=n-1;有 n-r(A)=1，即基础解系只有 1 个解向
9、量，取自由变量为 x，则基础解系为=(1， 1，1， ，1) T故通解为 k，其中 k 为任意常数【试题解析】 这是 n 个未知数 n 个方程的齐次线性方程组， Ax=0 只有零解的充分必要条件是丨 A 丨0，故可从计算系数行列式人手【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 当 b=0 时，原方程组的同解方程组为 a1x1+a2x2+anxn=0由于秩 r(A)=n-1，则 Ax=0 的基础解系是 =(1，1，1，1) T【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 设齐次方程组的系数矩阵为 A，则丨 A 丨=a+1/2(n+1)na n-
10、1那么，Ax=0 有非零解丨 A 丨=0 a=0 或 a=-1/2(n+1)n当 a=0 时，对系数矩阵 A 作初等变换，有 故方程组的同解方程组为x1+x2+xn=0，由此得基础解系为 1=(-1，1，0， ，0) T， 1=(-1，0，1，0) T， n-1=(-1，0，0，1) T于是方程组的通解为 x=k11+kn-1n-1，其中 k1,.,kn-1 为任意常数当 a=-1/2(n+1)n 时，对系数矩阵作初等行变换，有 故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 =(1，2，n) T，于是方程组的通解为x=k 其中 k 为任意常数【试题解析】 确定参数，使包含 n 个未知量和 n 个方
11、程的齐次线性方程组有非零解，通常用两个方法：一是对其系数矩阵作初等行变换化成阶梯形；再就是由其系数行列式为零解出参数值本题的关键是参数 n 有两个值，对每个值都要讨论【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 记方程组(I)和( )的系数矩阵分别是 A 和 B由于 B 的每一行都是 Ax=O 的解，故 ABT=0，那么 BAT=(ABT)T=0因此， A 的行向量是方程组()的解 由于 B 的行向量是(I)的基础解系，它们应线性无关，从而知 r(B)=n且由(I)的解的结构，知 2n-r(A)=n故 r(A)=n于是 A 的行向量线性无关 对于(II)，由 2n-r(B)=n，说明()的基础解系
12、由 12 个线性无关的解向量所构成，所以 A 的行向量是(II)的基础解系于是 ()的通解为：k 1(a11，a 12，a 1,2n)T+k2(a21，a 22，a 2,2n)T)+kn(an1，a n2，a n,2n)T，其中 k1,k2,.,kn 是任意常数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由于 i(i=1，2，s)是 1， 2， .， s 的线性组合，又1， 2，.， s 是 Ax=0 的解，所以根据齐次方程组解的性质知 i(i=1，2，s)均为 Ax=0 的解 从 1， 2，.， s 是 Ax=0 的基础解系，知 s=n-r(A) 下面来分析 1， 2，., s 线性无关的条件
13、设 k11+k22+kss=0，即 (t 1k1+t2ks)1+(t2k1+t1k2)2+(t2k2+t1k3)3+(t2ks-1+t1 ks)s=0，由于 1， 2，.， s 线性无关，因此有 所以当 t1s+(-1)s+1t2s0 时，方程组有零解 k1=k2=ks=0从而 1， 2，., s 线性无关即当 s 为偶数 t1t2，s 为奇数，t 1-t2 时， 1， 2，., s 也为 Ax=0 的一个基础解系【试题解析】 如果 1， 2，., s，是 Ax=0 的基础解系，则表明 (1) 1， 2，., s是 Ax=0 的解； (2) 1， 2，., s 线性无关； (3)s=n-r(A
14、)或 1， 2，., s 可表示Ax=0 的任一个解 那么要证 1， 2，., s 是基础解系，也应当证这三点本题中(1)、(3)是容易证明的，关键是 (2)线性相关性的证明在考研中是常见的【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由克莱姆法则，丨 A 丨0 时方程组有唯一解故 a0 时方程组有唯一解且用克莱姆法则，有 x1=【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 当 a=0 时，方程组 有无穷多解.其通解为(0 ，1，0，0) T+k(1，0，0，0) T，k 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 对于方程组 Ax=1，由增广矩阵作
15、初等行变换，有得方程组通解 x1=t，x 2=-t，x 3=1+2t，即2=(t， -t，1+2t) T，其中 t 为任意常数由于 A2= ，对 A2x=1，由增广矩阵作初等行变换，有 得方程组通解 x1=-1/2-u，x 2=u，x 3=，即 3=(-1/2-u，u，) T，其中 u, 为任意常数【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 因为行列式所以对任意的 t,u,v,恒有丨1， 2， 3 丨0，即对任意向量 2， 3， 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 所以方程组 Ax=b 的通解为(3/2 ，-1/2，0) T+k(1，0，1) T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性代数
