1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 86 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 二次型 f(1， 2， 3)2 12 224 324 122 23 的标准形是 【 】（A）2y 12y 22 一 3y32（B） 2y12y 223y 32（C） 2y12y 22（D）2y 12y 223y 322 设 则 A 与 B 【 】（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）不合同且不相似二、填空题3 曲线 22y4y y1 的名称是 _4 曲面 12 22 324 124 134 231 的标准方程是 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步
2、骤。5 求一个正交变换，化二次型 f(1， 2， 3) 124 224 324 124 138 23 成标准形6 已知二次型 f(1， 2， 3)2 123 223 322a 23(a0)通过正交变换化成标准形 fy 122y 225y 32，求参数 a 及所用的正交变换矩阵 P7 已知二次型 f(1， 2， 3)5 125 22c 322 126 136 23 的秩为 2 (1) 求参数 c 及 f 所对应矩阵的特征值； (2)指出方程 f(1， 2， 3)1 表示何种二次曲面8 已知二次曲面方程 2 ay2z 22by2z2yz 4 可以经过正交变换 化为椭圆柱面方程 24 24求 a，b
3、 的值和正交矩阵 P9 设 A 是 n 阶正定阵，E 是 n 阶单位阵，证明：AE 的行列式大于 110 设 A 为 m 阶实对称阵且正定，B 为 mn 实矩阵，试证： BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是 B 的秩 r(B)n11 设 c1，c 2，c n 均为非零实常数，A(a ij)nn 为正定矩阵，令bija ijcicj(i，j1，2，n)，矩阵 B(b ij)nn，证明矩阵 B 为正定矩阵12 设矩阵 Ann 正定，证明：存在正定阵 B，使 A B213 设 A、B 为同阶正定矩阵，且 ABBA，证明：AB 为正定矩阵14 设 1、 n 分别为 n 阶实对称矩阵的最小、最大特征值，
4、X 1、X n 分别为对应于1、 n 的特征向量，记 f(X) ，XR n，X0 证明： 1f(X)n，maxf(X) nf(X n)，minf(X) 1f(X 1)15 设 A、B 为同阶实对称矩阵，A 的特征值全大于 a，B 的特征值全大于 b，a 、b为常数，证明：AB 的特征值全大于 ab16 设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明： (1)存在实数 c，使对一切 XRn，有 TAc T (2) 必可找到一个数 a，使 AaE 为对称正定矩阵17 设 n 阶矩阵 A 正定，X( 1， 2， n)T 证明：二次型 f(1， 2， n)为正定二次型18 已知矩阵 B 相似于对角矩阵(1)求常数
5、 a 的值；(2)用正交变换化二次型f(X)X TBX 为标准形，其中 X(1， 2， 3)T 为 3 维向量19 已知线性方程组 0 有非零解，而且矩阵 A 是正定矩阵 (1)求常数a 的值； (2)求当 XTX2 时，X TAX 的最大值，其中 X( 1， 2， 3)T 为 3 维实向量20 设二次型 f(1， 2， 3) 12 22a 322b 122 132 23(b0) 通过正交变换 化成了标准形 f6y 123y 222y 12求 a、b 的值及所用正交变换的矩阵 P21 设二次型 f(1， 2， 3)经正交变换 化成了标准形 f4y 12y 222y 32，求二次型 f(1， 2
6、， 3)22 已知二次型 f(1， 2， 3)(1a) 12(1a) 222 322(1a) 12 的秩为 2 ()求 a 的值； () 求正交变换 Oy，把 f(1， 2， 3)化成标准形； ()求方程f(1， 2， 3)0 的解23 已知二次型 f(1， 2， 3) TA 在正交变换 Qy 下的标准形为 y12y 22，且Q 的第 3 列为 () 求矩阵 A； () 证明 AE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵24 设 A 为 n 阶方阵，秩(A)rn，且满足 A22A ，证明：A 必相似于对角矩阵25 设 n 维实向 ( 1， 2， n)T0，方阵 A T (1)证明：对于正整数
7、 m，存在常数 t，使 Amt m-1A，并求出 t； (2)求可逆矩阵 P，使 P-1AP 成对角矩阵26 设矩阵 A 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A 是否可相似对角化27 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1 26 是 A 的二重特征值，若1 (1，1，0) T， 2(2 ，1，1) T， 3(1，2，3) T，都是 A 的属于特征值 6 的特征向量 (1)求 A 的另一特征值和对应的特征向量； (2)求矩阵 A28 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 A1 1 2 3，A 22 2 3，A 32 23 3 () 求矩阵 B，使得A
8、(1， 2， 3)( 1， 2， 3)B； ( )求矩阵 A 的特征值； ()求可逆矩阵 P，使得P-1AP 为对角矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 86 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 f 即不正定(因 f(0，0，1)40)，也不负定( 因 f(1，0，0)20)，故 B、 D 都不对 又 f 的秩矩阵 的秩3， 故 C 不对，只有 A 正确 或用配方法：f2( 1 2)2 224 322 232( 1 2)2( 2 3)23 322y 12y 223y 32，其中所作满秩线性变换为 故 A 正确【知识模块】 线性
9、代数2 【正确答案】 A【试题解析】 A 的特征值为 4，0，0，0，A 为实对称矩阵，故存在正交矩阵 P，使 P-1APP TAPB，即 A 与 B 既合同又相似【知识模块】 线性代数二、填空题3 【正确答案】 椭圆【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 5y 12y 22y 321【试题解析】 A 的特征值为 15， 2 31，曲面的标准方程为5y12y 22y 321【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 ，化 f 成 f9y 32【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 f 的矩阵 A ，标准形的矩阵为 D ，因 P-1APP TAPD，
10、知 A 的特征值为 1，2，5，由 125A2(9a 2)，推出a2 计算可得属于 1， 2，5 的单位特征向量分别可取为去 (0，1，1)T， (1，0，0) T， (0，1，1) T，于是所用正交变换的矩阵可取为 P【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 得 A 的特征值为 10， 24， 39 (2)标准方程为4y229y 321，故曲面为椭圆柱面【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 有 P-1APP TAPD， 10， 21， 34， 由 对于10， 由 0EAA 得属于 1 的特征向量(1，0，1) T； 对于 21，由EA ，得属于 2 的特征向量(1，1，1) T； 对于 34
11、，由4EA ，得属于 3 的特征向量(1，1，1) T 将以上特征向量再单位化，得所求的正交矩阵可取为【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 因 A 正定，有正交阵 P，使 两端取行列式，得AE ( 11)( 21)( n1) 1【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 必要性：设 BTAB 正定，则对任意 n 维非零列向量 ，有t(BTAB)0，即(B) TA(B)0，于是 B0因此， B0 只有零解，从而有r(B)n 充分性 因(B TAB)TB TATBB TAB，故 BTAB 为实对称矩阵，若 r(B)n，则齐次线性方程组 B0 只有零解，从而对任意 n 维非零列向量 ，有B0，又 A
12、 为正定矩阵，所以对于 B0，有(B) TA(B)0，于是当 0 时，T(BTAB) (B)TA(B)0，故 BTAB 为正定矩阵【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 令矩阵 C 则 C 可逆，注意用对角矩阵 C 左(右)乘矩阵 A，等于用 C 的主对角线元素依次乘 A 的各行(列)，于是有 即 B 与正定阵 A 合同，故 B 正定 (事实上， Rn，0 ，由 C 可逆知 C0，再由 A 正定知(C) TA(C)0，即 T(CTAC) TB0，故 B 正定) 【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 因 A 正定，故有正交阵 P，使 且 i0(i1，2，n) 则 B 正定，且使 AB 2【
13、知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (AB) T BTATBAAB，故 AB 也是实对称矩阵因 A 正定，有正定阵 S，使 AS 2于是 S -1(AB)SS -1SSBSSBS S TBS 由 B 正定，知 STBS正定，故 STBS 的特征值全大于 0，故与之相似的矩阵 AB 的特征值全大于 0，因此 AB 正定【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 存在正交变换 XPY(P 为正交矩阵，Y (y 1，y 2，y n)T)，使得XTAX 1y12 nyn2n(y12y n2) nY2 nX2 nXTX，当 X0 时，有 XTX0，上面不等式两端同除 XTX，得 故 maxf(X) n
14、f(X n)类似可证minf(X) 1f(X 1)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 设 为 AB 的任一特征值，则有 X0，使 (A B)XX， 故有(A B)X(ab)X X (ab)X 即(AaE)(BbE)X(ab)X 故(ab)为(A aE)(BbE)的特征值，由已知条件易知 AaE 及 BbE 都是正定矩阵 故(AaE)(BbE)正定，因而它的特征值全大于 0，因此有 (ab)0， ab【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)设 A 的特征值为 1， 2， n 令cmax 1， 2， n)，则有正交变换 Py， 使TA iyi2，且 yTy T， 故 TA cy Ty
15、c T (2)因为(AaE)T AaE，所以 AaE 对称又若 A 的特征值为 1， n 则 AaE 的全部特征值为 1a， na，若取 amax 11， n1 ，则ia i i11，所以 AaE 正定【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 由于 两端取行列式，得 由于 A 正定，有A 0，且A-1 正定，故对于任意 X0，XR n，有 XTA-1X0， f(X)A X TA-1X0，故 f(X)正定【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)B 的特征值为 6，6，2，由 B 可相似对角化，有1r(6EA) ，则 a0 (2)f 的矩阵为 A ， 所求正交矩阵可取为 P， 它使 PTA
16、P ， 故 f 在正交变换 XPY 下化成的标准形为f6y 127y 223y 32【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (1)由方程组的系数行列式 a(a1)(a3)0， a 的取值范围为：0，1，3，再由矩阵 A 正定，得 a3 (2)A 的最大特征值为 10，设对应的单位特征向量为 (即 A10，且 T1)对二次型 XTAX，存在正交变换XPY 化其为标准形：X TAX 1y12 2y22 3y3210(y12y 22y 32)，当XTXY TYy 12y 22y 322 时，有 XTAX10220，又 X0 满足X0TX02，则 X0TAX0 2 T(A)2 T(10) 20(T)
17、20，综上可知XTAX 20【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 二次型的矩阵 A 由 1 2 363(2)11a，解得 a5，由 12336A5b2b3，解得 b3所用正交矩阵可取为【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 f TA(A 为实对称矩阵) ，所用正交变换的矩阵为 P ，P -1APP TAPdiag(4 ，1，2)， APdiag(4，1，2)P T (1， 2， 3)2 12 224 124 23【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 () 由于二次型 f 的秩为 2，即对应的矩阵 A 的秩为 2， 所以有 4a 0，得 a0 ()当 a0 时，A ，计算可得 A 的特
18、征值为1 22， 30解齐次线性方程组 (2EA)0，得 A 的属于 12 的线性无关的特征向量为 1(1，1，0) T， 2(0，0，1) T 解齐次线性方程组 (0EA)0，得A 的属于 30 的线性无关的特征向量为 3(1，1，0) T 易见 1， 2， 3 两两正交将 1， 2， 3 单位化得 A 的标准正交的特征向量为 e 1 (1，1，0)T， e2 (0，0，1) T，e 3 (1，1，0) T 取 Q(e 1，e 2，e 3)，则 Q 为正交矩阵 令 XQy，得 f 的标准形为 f( 1， 2， 3) 1y12 2y22 3y322y 122y 22 ()在正交变换 XQy 下
19、，f( 1， 2， 3)0 化成 2y122y 220，解之得 y1y 20，从而 y 3e3k(1，1 ，0) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 () 由条件知，A 的特征值为 1， 1，0，且 (1，0，1) T 为 A 的属于特征值 0 的一个特征向量设 A 的属于特征值 1 的特征向量为 ( 1， 2， 3)T，则 ，得 1 30，取 A 的属于特征值 1 的两个正交的单位特征向量为(1，0，1) T、(0，1，0) T 得正交矩阵 Q 则有 QTAQdiag(1，1，0)，故 AQdiag(1，1，0)Q T ()AE 的特征值为 2，2，1 都大于零
20、，且AE 为实对称矩阵，所以 AE 为正定矩阵【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 由秩(A)rn，知方程组 A0 的基础解系含 nr 个向量：1， 2， n-r 因此， 1， 2， n-r 就是 A 的对应于特征值 0 的 nr 个线性无关的特征向量 设 A 按列分块为 A 1 2 n，则题设条件 AA2A 就是A1 A2 An2 1 22 2n，由 Aj2 j，知 A 的列向量组的极大无关组就是 A 的对应于特征值 2 的 r 个线性无关特征向量 再由特征值的性质，知1， n-r， 就是 n 阶方阵 A 的 n 个线性无关特征向量，所以，A 必相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数25
21、【正确答案】 (1)A m( T)(T)( T)( T)m-1t( T)m-1(T) t m-1A，其中 t (2)AO， 1r(A)r( T)r()1， r(A)1，因为实对称矩阵 A 的非零特征值的个数就等于 A 的秩，故 A 只有一个非零特征值，而有n1 重特征值 1 2 n-10，计算可得属于特征值 0 的线性无关特征向量可取为(设 ai0)： 由于 A 的全部特征值之和等于 A 的主对角线元素之和 ，故得 A 的唯一的非零特征值为 n T，且由 A( T)( T) n n 可得口为对应于 n 的一个特征向量令矩阵 P 1 n-1 ，则有 P-1APdiag(0 ，0，0， )为对角矩
22、阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 A 的特征多项式为 (1)若 2 是 f()的二重根，则有(28183a) 2 2216183a3a60，解得 a2 当 a2 时，A 的特征值为 2，2，6，矩阵 2EA 的秩为 1，故对应于二重特征值 2 的线性无关特征向量有两个，从而 A 可相似对角化 (2)若 2 不是 f()的二重根，则28183a 为完全平方，从而 183a 16，解得 a 当 a 时，A 的特征值为 2，4，4， 矩阵 4EA 的秩为 2， 故 A 的对应于特征值 4 的线性无关特征向量只有一个，故 A 不能相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)
23、因为 1 26 是 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量有 2 个，有题设可得 1， 2， 3 的一个极大无关组为 1， 2，故1， 2 为 A 的属于特征值 6 的线性无关的特征向量 由 r(A)2 知A0，所以 A 的另一特征值为 3 0 设 30 对应的特征向量为 ( 1， 23)T，则有iT0(i1，2)， 即 解得此方程组的基础解系为 (1，1，1) T，即 A 的属于特征值 30 的特征向量为 kk(1，1，1) T(k 为任意非零常数) (2) 令矩阵P 1 2 3，则有 计算可得【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 () 由题设条件并利用矩阵乘法
24、，可得 A( 1， 2， 3)(A 1，A 2，A 3)( 1 2 3，2 2 3，2 23 3) ( 1， 2， 3) 所以B ()因为 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，可知矩阵 C( 1， 2， 3)可逆，且由 ACCB 可得 C-1ACB，即矩阵 A 与 B 相似由此可得矩阵 A 与 B有相同的特征值 由EB ( 1) 2(4)0 得矩阵 B 的特征值，也即矩阵 A 的特征值为 1 21， 34 ()对应于 1 21，解齐次线性方程组(EB)0，得基础解系 1(1，1，0) T， 2 (2，0，1) T 对应于 34，解齐次线性方程组(4E B)0，得基础解系 3(0，1，1) T 令矩阵 Q( 1， 2， 3) 则有 Q-1BQ 因 Q-1BQQ -1C-1ACQ (CQ)-1A(CQ)，记矩阵 PCQ( 1， 2， 3) ( 1 2，2 1 3， 2 3) 则有 P-1APQ -1BQdiag(1 ， 1，4)为对角矩阵，故 P 即为所求的可逆矩阵【知识模块】 线性代数
