1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 87 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是三阶矩阵，有特征值 1，一 1，2，则下列矩阵中可逆的是 ( )（A）E A（B） E+A（C） 2EA（D）2E+A2 已知 A 是 n 阶可逆阵，则与 A 必有同特征值的矩阵是( )（A）A 1（B） A2（C） AT（D）A *3 向量组(I) 1， 2， s 其秩为 r1，向量组(II) 1， 2， s 其秩为 r2，且i(i=1， 2， ，s)均可由向量组 (I)1， 2， s 线性表出，则必有 ( )（A） 1+1， 2+2， s+1 的秩为 r1+r2（B
2、） 11， 22， s1 的秩为 r1r2（C） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r1+r22（D） 1， 2， s， 1， 2， s 的秩为 r14 已知 r(A)=r1，且方程组 AX= 有解，r(B)=r 2，且 BY= 无解，设 A=1， 2， n，B= 1， 2， n，且r1， 2， n， 1， 2， n，=r，则( ) （A）r=r 1+r2（B） rr 1+r2（C） r=r1+r2+1（D）rr 1+r2+15 设 A 是 n 阶矩阵，经若干次矩阵的初等变换得到矩阵 B，那么( )（A）必有A=B（B）必有AB （C）若 A0，则B0（D）若A=0，则B=0二、填空题
3、6 已知 f(x)= ，则 x3 的系数为_ 7 设 33 阶矩阵 A=， 1， 2，B=， 1， 2，其中 ， ， 1， 2 均为 3 维列向量，已知行列式A=2，B= ，则行列式 ，2 12， 122 =_8 设 1， 2， 3 均为 3 维列向量，记矩阵 A= 一 1，2 2， 3，B= 1+2， 143， 2+23， 如果行列式A=一 2，则行列式 B=_9 设 A 和 B 是两个相似的三阶矩阵，矩阵 A 有特征值 1，矩阵 B 有特征值 2 和3，则行列式AB+A =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 求矩阵 A= 的秩，其中 a，b 为参数11 设 A= ，X
4、=(x ij)33问 a，b，c 取何值时，矩阵方程 AX=B 有解? 并在有解时求出全部解12 设 A 为 mn 矩阵，B 为 np 矩阵，证明：矩阵方程 AX=B 有解的充分必要条件是 r(A)=r(AB)13 设有两个 n 元齐次线性方程组 Ax=0 及 Bx=0，证明：(1)若 Ax=0 的解都是 Bx=0 的解，则 r(A)r(B)(2)若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则 r(A)=r(B)14 设矩阵 A= ，已知齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的维数为 2，求a 的值并求出方程组 Ax=0 的用基础解系表示的通解15 设 A、B 均为 n 阶方阵，证明：AB=AB 16 设
5、A 是 n 阶方阵，E+A 可逆，记 f(A)=(EA)(E+A)1，证明： (1)(E+f(A)(E+A)=2E (2)f(f(A)=A17 设 =a1，a 2，a nT0，=b 1，b 2，b nT0，且 T=0，A=E+ T试计算： (1)A (2)An (3)A118 设 A 是 n 阶方阵，且 E+A 可逆，令 f(A)=(E A)(E+A)1， 证明：若 A 是反对称矩阵，则 f(A)是正交阵19 证明：方阵 A 是正交阵的充分必要条件是A=1，且若A=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若A=一 1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一 120 设 A 是 n 阶方阵，且
6、 A2=A，证明：(A+E) k=E+(2k 一 1)A21 A、B 是 n 阶方阵，其中 A 可逆，且满足 A=(A 一 E)B，其中 是常数，证明：AB=BA22 设 f(x)= ， 其中 abc，证明：f(a)0 且 f(b)0，f(c)0 23 设 A= ，问是否存在非单位阵的 B33，使得 AB=A若不存在，说明理由若存在，求出所有满足 AB=A 的 B(BE)24 设向量 1=(1，一 1，2，一 1)T， 2=(一 3，4，一 1，2) T， 3=(4，一 5，3，一3)T， 4=(一 1，3，0) T，=(0，k，5，一 1)T试问 ，k 取何值时， 不能由1， 2， 3， 4
7、 线性表出?，k 取何值时， 可由 1， 2， 3， 4 线性表出? 并写出线性表达式25 设 A、B 是 n 阶方阵，E+AB 可逆 (1) 验证 E+BA 也可逆，且(E+BA) 1=EB(E+AB)1A (2)设 P=xiyi=1，利用(1)证明 P可逆，并求 P126 已 1=(1，一 2，1，0，0)， 2=(1，一 2，0，1 ，0)， 3=(0，0，1，一 1，0)，4=(1，一 2， 3，一 2，0)是线性方程组 的解向量，问 1， 2， 3， 4 是否构成此方程组的基础解系，假如不能，是多了还是少了?若多了，如何去除? 若少了，如何补充 ?27 设齐次线性方程组 其中a0，b
8、0，n2试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解28 设 n 阶矩阵 A= ，求 r(A)29 设 A、B 都是 mn 矩阵，证明：r(A+B)r(A)+r(B)30 设 A 为 mn 矩阵，证明：非齐次线性方程组 Ax=b 有解的充分必要条件是对齐次线性方程幺且 ATy=0 的任何解向量 u 均有 u Tb=u1b1+u2b2+umbm=031 设 a1，a 2，a n 是 n 个互不相同的数，b 1，b 2，b n 是任意一组给定的数，证明：存在唯一的多项式 f(x)=C 0xn1+C1xn2+Cn1，使得 f(ai)=b
9、i(i=1，2， ，n)考研数学三（线性代数）模拟试卷 87 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 2E+A 0(一 2 不是 A 的特征值 )故选 D【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 A T 和 A 有相同的特征值，因 E+A= (E+A) T=(E)T+AT =E+A TA 和 AT 的特征多项式相等故选 C【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 设 1， 2， s 的极大无关组为 1， 2， ，则i(i=1， 2，s)均可由 1， 2， 线性表出，又 i(i=1，2，s) 可由(I)
10、表出，即可由 1， 2， 也是向量组1， 2， s， 1， 2， ， s 的极大线性无关组，故r(1， 2， ， s， 1， 2， s)=r1，故选 D【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 D【试题解析】 由题设 r 1， 2， n，=1 ， r 1， 2， n，=r 1+1， 故 r1， 2， ， n， 1， 2， n，r 1+r2+1故选 D【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 由于初等变换不改变矩阵的秩，即 r(A)=r(B)，若A =0 ，则B =0 而 (A)、(B)、(C)均可举例说明不成立故选 D【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 一 1【试题解
11、析】 根据行列式的定义，f(x)是 x 的多项式，且最高次幂为 x3容易看出，含 x3 的项有两项，即主对角线上 4 个元素之积 x3 和对应 T(1)(1243)a11a22a34a43 的项一 1xx12x=一 2x3，所以多项式 f(x)中 x3 的系数为 12=一 1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 一 【试题解析】 根据行列式和矩阵的性质，得 一 ，2 1 一 2， 1 一22=I，2 1 一 2， 1 一 22 ，2 1 一 2， 1 一 22【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 2【试题解析】 B= 1+2， 143， 2+23=1， 2， 3 又 A= 1，2 2， 3
12、=一 2 1， 2， 3，所以 1， 2， 3=一 A=1，故 B =I 1， 2， 3 =12=2 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 144【试题解析】 由于 A，B 为相似矩阵，因此有相同的特征值 1=1， 2=2， 3=3， 又 AB+A =A B+E， 而 A= 1， 2， 3=6， B+E=( 1+1)(2+1)(3+1)=234=24， 故 AB+A=624=144【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 用初等变换将 A 化成阶梯形由阶梯形矩阵可见 当 a1 且 b2时，阶梯形矩阵中非零行的个数为 4，此时 r(A)=4；
13、当 a=1 或 b2 时，阶梯形矩阵中非零行的个数为 3，此时 r(A)=3；当 a=1 且 b2 时，有阶梯形矩阵中非零行的个数为 3，此时 r(A)=3； 当 a=1 且b=2 时，阶梯形矩阵中非零行的个数为 2，此时 r(A)=2【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 AX=B 有解r(A)rAB=2为了决定 A 及A B的秩，下面对矩阵A B作初等行变换可见 r(A)=2当且仅当 a=1，b=2 ，c=1 时，有 rA=2，故当且仅当a=1，b=2，c=1 时，AX=B 有解 当 a=1，b=2 ，c=1 时，将矩阵A B进一步化成行最简形 由此可得线性方程组Ax1=1，Ax 2=1
14、，Ax 3=3 的通解分别为(其中 j 为矩阵 B 的第 j 列，j=1 ，2，3)【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 设矩阵 A，X 和 B 按列分块为 A= 1， 2， n， X=x1，x 2，x p， B= 1， 2， p， 则 AX=Ax1，x 2，x p=Ax1，Ax 2，Ax p，故 AX=B 可以写成 AX j=j (j=1，2，p)， 所以，矩阵方程 AX=B 有解 线性方程组 AXj= 有解(j=1，2，p) 向量 j 可由 A 的列向量组 1， 2， n 线性表出 向量组 1， 2， n 与向量组1， 2， n， 1， 2， p 等价 r( 1， 2， n)=r(1，
15、 2， n， 1， 2， p) r(A)=r(A B)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)由条件知 Ax=0 的解空间是 Bx=0 的解空间的子空间，因此，Ax=0 的解空间的维数不大于 Bx=0 的解空间的维数，即 n 一 r(A)n 一 r(B)，于是得 r(A)r(B)(2)由条件知 Ax=0 的解空间与 Bx=0 的解空间为同一空间，因而该空间的维数为n 一 r(A)=n 一 r(B)，由此即得 r(A)=r(B)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 由四元齐次线性方程组 Ax=0 的解空间的维数为 4 一 r(A)=2，得r(A)=2对 A 作初等变换由阶梯形矩阵可见
16、，当且仅当 a=1 时，r(A)=2 ，故 a=1 当 a=1 时，将 A 进一步化成行最简形式由此可得方程组 Ax=0 的用自由未知量表示的通解 于是得Ax=0 的用基础解系表示的通解为 x=k11+k22(k1， k2 为任意常数)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 直接利用分块矩阵，有=(一 1)n(一 1)nAB =AB 【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1)(E+f(A)(E+A)=E+(EA)(E+A) 1(E+A) =E+A+EA 一 2E (2)f(f(A)=(E 一 f(A)(E+f(A)1 =E 一(EA)(E+A) 1E+(EA)(E+A)11 =(E+A
17、)一(EA)(E+A) 1E+(EA)(E+A)11 =2AE+(E 一 A)(E+A)1(E+A)1 =2AE(E+A)+(EA)1=2A(2E) 1=A【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)(2)An=(E+T)n =En+nEn1T+ En2(T)2+当 k2 时， ( T)k=(T)(T)( T) =(T)(T) T=0故 An=E+nT (3)A 2=(E+T)(E+T)=E+2T+T T =E+2T=2E+2TE=2AE 2AA 2=E， A(2E 一A)=E， A1=(2EA)=E 一 T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A T=一 A，E+A 可逆，要证 f(
18、A)=(E 一 A)(E+A)1 是正交阵，只要证 f(A)f(A)T=E，即 (E A)(E+A)1(EA)(E+A)1T =(EA)(E+A)1(E+A)1T(EA)T =(EA)(E+A)1(EA)1(E+A) =(E+A)1(E 一 A)(E 一 A)1(E+A) =E 即 f(A)是正交阵【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 必要性A 正交AA T=EA=1 若A=1，则AA*=AE=E，而已知 AAT=E，从而 AT=A*，即 aij=Aij； 若A =一 1，则AA*=AE=一 E，A(一 A*)=E，而已知 AAT=E，从而有一 A*=AT，即 aij=一Aij 充分性A=
19、1 且 aij=一 Aij，则 A*=AT，AA *=AAT=AE=E，A 是正交阵； A=一 1，且 aij=一 Aij 时，则一 A*=AT， AA*=A E=一 E，即AAT=E，A 是正交阵【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 证用归纳法 当 k=1 时，A+E=A+E，成立 假设 k=1 时等式成立，即(A+E) k1=E+(2k1 一 1)A 证明 k 时成立， (A+E) k=(A+E)(A+E)k1 =(A+E)E+(2k1 一 1)A =E+A+(2k1 一 1)A+(2k1 一 1)A2 =E+2(2k1 一 1)+1a =E+(2k 一 1)A【知识模块】 线性代数2
20、1 【正确答案】 由题设可知 A=AB 一 B， 左乘 A1，得 E=B 一 A1B =(E一 A1)B =B(EA1) =B(A 一 E)A1 右乘 A，得 A=B(A 一 E)=BA 一 B 比较式及式，得 AB=BA【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 作辅助函数因 f(x)=0 的三根为a，b，c，故 f(x)的两个根在(a ，b)，(b，c)中，故 f(a)0(同理 f(c)0，f(b)0)【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 AB=A ，A(BE)=0，BE，BE0 故当 A 可逆时，AX=0 有唯一零解，不存在 BE，使得 AB=A 当 A 不可逆时，AX=0 有非零解，
21、存在BF，使得 AB=A 成立使得AB=A 成立【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 本题相当于讨论线性方程组 AX=x 11+x22+x33+x44= 何时有解?无解? 当k1，=2 时， 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，当 k=1，=2 时， 可由1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一 所以=(3 一 k12k2)1+(1+k1k2)2+k13+k24(其中 k1，k 2 为任意常数) 当 2，k 为任意值时， 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一其中2，k， 为任意常数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (1) (E+BA)EB(E+AB) 1A
22、=E+BAB(E+AB)1ABAB(E+AB)1A =E+BAB(E+411)(E+AB)1A =E， 故 (E+BA) 1=EB(E+AB)1A(2) P= =E+XY1，其中X=(x1，x 2，x n)T，Y=(y 1，y 2，y n)T 因 1+XTY=1+ xiyi=20，由(1)知P=E+XYT 可逆，且 P1=(E+XYT)T=EX(1+YTX)YT=E 一 2XYT=【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 对方程组的系数矩阵作初等行变换如下知 r(A)=2，因未知量个数n=5，故基础解系应由 n 一 r(A)=52=3 个线性无关解向量组成， 将行向量组1， 2， 3， 4 作
23、初等行变换如下：得r(1， 2， 3， 4)=2 1， 2 是极大线性无关组 从而知 1， 2， 3， 4 不能构成基础解系，应去除 1， 2， 3， 4 中线性相关的向量(这里应去除 3， 4)，保留极大线性无关组 1， 2，并补充一个线性无关解向量 由方程组的系数矩阵 A 的等价阶梯形矩阵及已知的解向量 1， 2 知，补充一个线性无关解向量 ，应取自由未知量为(0 ，0，1)(使与 1， 2 线性无关)代入阶梯形矩阵，得 =(5，一 6，0，0，1)，从而 1， 2， 是方程组的基础解系【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 方程组的系数行列式A= =a+(n 一 1)b(a 一 b)n
24、1当 ab 且 a(1 一 n)b 时，方程组仅有零解当 a=b 时，对系数矩阵 A作行初等变换，有 原方程组的同解方程组为 x 1，x 2，x n=0，其基础解系为 1=(一 1，1，0，0)T， 1=(一 1，0，1，0) T， 3=(一 1，0，0，1) T方程组的全部解是 x=c11+c22+cn1n1(c1，c 2，a n1 为任意常数) 当 a=(1 一 n)b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有其基础解系为 =(1，1，1) T方程组的全部解是 x=c(c 为任意常数)【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 由于 A= ，所以 A=(a 一 1)n1(a+n 一 1)，所以当
25、 a1，且 a1n 时，A0，从而 r(A)=n；当 a=1 时，所以秩r(A)=n 一 1【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 将矩阵 A 与 B 按列分块为 A= 1， 2， n，B=1， 2， n， 并记 r(A)=r1，r(B)=r 2不失一般性，设 1， 2， 是A 的列向量组的一个极大线性无关组， 1， 2， 是 B 的列量组的一个极大线性无关组，从而 1， 2， n 可由 1， 2， 线性表示，1， 2， n 可由 1， 2， 线性表示 因此， 1+1， 2+2， n+n可由向量组 1， 线性表示，故 r(A+B)r(A)+r(B) 【知识模块】 线性代数30 【正确答案】
26、必要性把 A 按列分块为 A=1， 2， n，其中j(j=1，2，n) 都是 m 维列向量，由于方程组 Ax=b 有解，所以存在向量k1，k 2，k nT 使 b=k 11+k22+knn又因 AT=1， 2， nT= ，故满足方程组 A Ty=0 的任何解向量 u 均有 jTu=0(j=1，2，n)因此， uTb=bTu=k11Tu+k22Tu+knnTu=0 充分性由于满足方程组 ATy=0 的任何解向量 U 均有 uTb=bTu=0，所以 u 满足方程组令 r(A)=r，则，r(A T)=r从而方程组 ATy=0 的基础解系含 mr 个线性无关的解向量因为满足方程组ATy=0 的任何解向
27、量 u 都满足方程组，以及满足方程组的任何解向量 u 必满足方程组 ATy=0，所以方程组与方程组 ATy=0 同解，故方程组 的解空间的维数为 m 一 r于是 =m 一(m 一 r)=r因而 r(A)=rAb=r，故非齐次线性方程组 Ax=b 有解【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 设 f(x)=C0xn1+C1xn2+Cn1 即是该多项式，则有上述非齐次线方程组因为其系数行列式为 n 阶范德蒙行列式，又因 a1，a 2， ，a n 互不相同，故 Dn=Vn0，由克莱姆法则知方程组存在唯一解(C 0，C 1，C n1)，故存在唯一的多项式 f(x)，使得 f(ai)=bi(i=1，2，n)【知识模块】 线性代数
