1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 88 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 其中 A 可逆，则 B 等于( )（A）A 1P1P2（B） P1A1P2（C） P1P2A1（D）P 2A1P12 设向量组 I： 1， 2， r 可由向量组： 1， 2， s 线性表示，则( )（A）当 rS 时，向量组必线性相关（B）当 rs 时，向量组必线性相关（C）当 rs 时，向量组 I 必线性相关（D）当 rs 时，向量组 I 必线性相关3 已知 A= ，B 是 3 阶非零矩阵，满足 AB=0，则( )（A）a= 一 1 时，必有 r(B)=1（B） a=一 1
2、 时，必有 r(B)=2（C） a=1 时，必有 r(B)=1（D）a=1 时，必有 r(B)=24 n 阶矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，那么下列命题中正确的是 ( )（A）A 与 B 有相同的特征值（B） AX=b 是 BX=b 同解方程组（C） A 与 B 的行向量是等价向量组（D）A 与 B 有相同的特征向量5 设线性方程组 A34X=b 有通解 k 11，2，0，一 2T+k24，一 1，一 1，一 1T+1，0，一 1，1 T，其中 k1，k 2 是任意常数，则下列向量中也是 AX=b 的解向量的是( )（A） 1=1， 2，0，一 2T（B） 2=6，1，一 2，一 2T（C
3、） 3=3，1，一 2，4（D） 4=5， 1，一 1，一 3T二、填空题6 设矩阵 A= ，则行列式 3(A*)1 一 A=_7 已知 1， 2， 3， 4 是 3 维列向量，矩阵 A=1， 2，2 34+2，B=3， 2， 1，C= 1+22，2 2+34， 4+31，若 B=5，C=40，则A=_8 设 A=_9 知 A、B 均是三阶矩阵，将 A 中第 3 行的一 2 倍加到第 2 行得矩阵 A1，将 B 中第一列和第 2 列对换得到 B1，又 A1B1= ，则 AB=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 1， 2， ， m 均为 n 维实列向量，令矩阵 证明：A
4、 为正定矩阵的充分必要条件是向量组 1， 2， m 线性无关11 已知 A 是 34 矩阵，r(A)=1，若 1=(1，2，0， 2)T， 2=(一 1，一 1，1，a)T， 3=(2，a，一 3，一 5)T， 4=(1，一 1，a，5) T 与齐次方程组 Ax=0 的基础解系等价，求 Ax=0 的12 已知 A=1， 2， 3， 4是 4 阶矩阵， 是 4 维列向量，若方程组 Ax=的通解是(1， 2，2，1) T+k(1，一 2，4，0) T，又 B=3， 2， 1， 一 4，求方程组Bx=12 的通解13 已知 k(1，0，2)+k(0，1，一 1)T 是齐次方程组 Ax=0 的通解，又
5、 A+3=0，其中 =(1，2， 3)T，求矩阵 A14 已知 1=(1，1，0，0) T， 2=(1，0，1，0) T， 3=(1，0，0，1) T 是齐次线性方程组(I)的基础解系， 1=(0，0 ，1，1) T， 2=(0，1，0，1) T 是齐次线性方程组()的基础解系，求方程组(I)与()的公共解15 已知 1=(1，1，0) T， 2=(1，3，一 1)T， 3=(2，4，3) T， 4=(1，一 1，5) T，A是 3 阶矩阵，满足 A1=2，A 2=3，A 3=4，求 A416 设 A= ，若 Ax=0 的基础解系由 2 个线性无关的解向量构成，17 设 A 是三阶实对称矩阵，
6、特征值是 1，0，一 2，矩阵 A 的属于特征值 1 与一 2的特征向量分别是(1，2，1) T 与(1，一 1，a) T，求 Ax=0 的通解18 设 A 和 B 均是 mn 矩阵，秩 r(A)+r(B)=n，若 BBTE 且 B 的行向量是齐次方程组 Ax=0 的解，P 是 m 阶可逆矩阵，证明：矩阵 PB 的行向量是 Ax=0 的基础解系19 已知 3 维列向量 不能由 1=能否相似对角化? 若能则求出可逆矩阵 P 使 P1AP=A若不能则说明理由。20 已知矩阵 A= 与对角矩阵相似，求 An21 已知 3 阶矩阵 A 的各行元素之和均为 5，且 AB=0，其中 B= ，求矩阵 A 及
7、AE22 设 A 是 n 阶反对称矩阵 (1)证明：对任何 n 维列向量 ，恒有 TA=0 (2)证明：对任何非零常数 c，矩阵 A+cE 恒可逆23 设 A= ，若存在秩大于 1 的 3 阶矩阵 B，使得 BA=0，求 An24 已知向量组(I) 1=(1，3，0，5) T， 2=(1，2，1， 4)T， 3=(1，1，2，3) T 与向量组() 1=(1，一 3，6，一 1)T， 2=(a，0，6，2) T 等价，求 a，b 的值25 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， t 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，若存在i(i=1，2，t)，使 Ai=i，证明：向量组 1， 2， t， 1，
8、 2， t 线性无关26 设 A 是 mn 矩阵，对矩阵 A 作初等行变换得到矩阵 B，证明：矩阵 A 的列向量与矩阵 B 相应的列向量有相同的线性相关性27 已知 A 是 34 矩阵，r(A)=1，若 1=(1，2，0， 2)T， 2=(1，一 1，a，5)T， 3=(2，a，一 3，一 5)T， 4=(一 1，一 1，1，a) T 线性相关，且可以表示齐次方程 Ax=0 的任一解，求 Ax=0 的基础解系28 已知线性方程组求(I)和()的非零公共解29 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 1，2，一 1，相应的特征向量依次为 1=(a一 1，1，1) T， 2=(4，一 a，1)
9、T， 3=(a，2，6) T，A *是 A 的伴随矩阵，试求齐次方程组(A *+E)x=0 的基础解系。30 设 = ，若 Tx=Tx+3，求此方程组的通解31 设 问 a，b 为何值时， 可由1， 2， 3 线性表示，且表示法唯一，写出线性表示式考研数学三（线性代数）模拟试卷 88 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 P1 是单位矩阵交换第一、四列后所得的初等矩阵，而 P2 是单位矩阵交换第二、三列后所得的初等矩阵，于是有 B=AP2P1，从而 B 1=(AP2P1)1=P11P21A1=P1P2A1 故选 C【知识
10、模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 用排除法：如 1= ，则 1=0 1+0 2，但 1， 2 线性无关，排除(A)； 1= ，则 1， 2 可由 1 线性表示，但 1 线性无关，排除 (B)； 1= ， 1 可由 1， 2线性表示，但 1 线性无关，排除 (C)故选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 易见若 a=一 1 有 r(A)=1，而 a=1 时，r(A)=2 ，再由 AB=0 得到r(A)+r(B)3可见当 a=一 1 时，r(B)有可能为 1 也可能为 2，即(A)、(B)均不正确而当 a=1 时，从 B0 知必有 r(B)=1，且 r(B)=
11、2 是不可能的故选 C【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 矩阵 A 经初等行变换得到矩阵 B，故有可逆矩阵 P，使 PA=B，对A，B 按行分块，有 即1， 2， n 可由 1， 2， n 线性表出，且 1， 2， n 也可由1， 2， n 线性表出，所以 A 与 B 的行向量是等价向量组由于 EI 一B=E 一 PAE 一 A，经初等变换，矩阵 A 与 B 的特征值是不同的对增广矩阵作初等行变换得到同解的方程组，仅对系数矩阵作行变换，两个方程组不同解故选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由题设知，通解为 k 11+k22+=k11，2，0，一 2
12、T+k24，一 1，一 1，一 1T+1，0，一 1，11 T因 1=1， 4=1+2 均是对应齐次方程的解，故(A)、(D)不成立， 2， 3 是否是 AX=B 的解向量，则要考虑是否存在 k1，k 2，使得 2=k11+k22+ 及 3=k11+k22+ 即 2 一 =k11+k22， 3 一 =k11+k22 是否有解，因 1， 2， 2 一 ， 3 一 = ，知 2 一 可由 1， 2 表出， 3 一 不能由 1， 2 表出故 2 是 AX=b 的解向量故选 B【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 一 【试题解析】 由题设易知【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 8【试题
13、解析】 根据行列式的性质，有 A= 1， 2，2 3 一 4+2 = 1， 2， 23 一 4 = 1， 2，2 3 1， 2， 4 =一 2 3， 2， 1一 1， 2， 4 =(一 2)(一 5)一 1， 2， 4，由于 C=1+22， 22+34， 4+31 =1， 2， 4 ，两边取行列式，有 C= 1， 2， 4 =20 1， 2， 4，又因为C=40，知 1， 2， 4=2故A=8【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 一 76【试题解析】 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案
14、】 证矩阵 A 可以写成 A= =BTB，其中 B=1， 2， m，为nm 实矩阵，于是，A=B TB 正定 x0，x TVTBx=(Bx)TBx0向量组 1， 2， m 线性无关【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 由于 1， 2， 3， 4 与 Ax=0 的基础解系等价，故 1， 2， 3， 4必是 Ax=0 的解，因为 A 是 34 矩阵，且 r(A)=1，所以 Ax=0 的基础解系有 n 一r(A)=41=3 个解向量，因此向量组 1， 2， 3， 4 的秩必为 3，其极大线性无关组就是 Ax=0 的基础解系，于是若 a=一 3，则 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组是 1，
15、2， 3，于是 Ax=0 的通解是 若 a=1 或 a=4，则 1， 2， 3， 4 的极大线性无关组是 1， 2， 3，于是 Ax=0 的通解是【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由方程组的解 Ax=的结构知 r(A)=r 1， 2， 3， 4=3， 1+22+23+4=， 122+3=0 因为 B=3， 2， 1， 一 4=3， 2， 1， 1+22+23，且 1， 2， 3 线性相关，可见 r(B)=2由=12 知，(0 ，一 1，1，0) T 是方程组Bx=12 的一个解知(4，一2，1，0) T，(2，一 4，0，1) T 是 Bx=0 的两个线性无关的解，故 Bx=12 的通
16、解是 (0，一 1，1，0) T+k1(4，一 2，1，0) T+k2(2，一 4，0，1) T【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 记 1=(1，0，2) T， 2=(0，1，一 1)T，由于 k11+k22 是齐次方程组 Ax=0 的通解，知 1， 2 是 Ax=0 的解，也即矩阵 A 的属于特征值 =0的线性无关的特征向量，那么 A 1， 2，=A 1，A 2，A=0，0，一 3 可知 A=0，0，一 31， 2， 31【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 方程组(I)与( )的通解分别是 k 11+k22+k33 与 l11+l22 若有不全为零的常数 a1，a 2，a 3，b
17、 1，b 2，使 a 11+a22+a33=b11+b22，则 b11+b22 就是方程组(I)与(II)的非零公共解， 对于 a11+a22+a33 一 b11+b22=0，对系数矩阵作初等行变换，有通解为 t(1，一 1，0，一 1，1) T，即 a 1=t， a 2=一 t， a 3=0， b 1=一 t， b 2=t所以方程组(I)与 ()的公共解为 t(1 一 2)=(0，t，一 t，0) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 由于 1， 2， 3= =80，所以 1， 2， 3 线性无关，4 个 3 维向量必线性相关，于是 4 必可由 1， 2， 3 线性表出 设x11+x2
18、2+x33=4，由于 解得 x1=1，x 2=一 2，x 3=1，即 4=122+3，那么 A 4=A(122+3) =A12A2+A3 =223+4 =(一 2，一 6，一 2)T【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由题设可知，有 4 一 r(A)=2，即 r(A)=2，由于可见 r(A)=2a=1当 a=1 时， 基础解系为 1=(3，一 1，1，0)T， 2=(一 3， 0，0，1) T故通解为 x=k11+k22=k1 其中 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A 是实对称矩阵，必可相似对角化，有AA= ，知 r(A)=2对应实对称矩阵不同特征
19、值的特征向量相互正交，有 1+(一 2)+a=0，得 a=1，设 =0的特征向量是(x 1，x 2，x 3)T，由正交性，有 得 =(1，0，一 1)T 是 A 属于 =0的特征向量，亦即 Ax=0的解 由于 n 一 r(A)=32=1，可见 是 Ax=0 的基础解系，所以 Ax=0 的通解是k(1，0 ，一 1)T【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 由 r(B)r(BBT)=r(E)=m，得到 r(B)=m于是 B 的行向量组线性无关，且 n 一 r(A)=m 根据题设，B 的行向量是 Ax=0 的解，知 ABT=0于是 A(PB)T=ABTPT=0PT=0 因此，PB 的 m 个行向
20、量是 Ax=0 的解又矩阵 P 可逆，于是 r(PB)=r(B)=m，从而 PB 的行向量线性无关，所以 PB 的行向量是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 因为 不能由 1， 2， 3 线性表出，必有 1， 2， 3 线性相关，由 =(+3)2(一 3)，由于 =一 3 是 A 的二重特征值，而 r(3EA)=2，所以 =一 3 只有一个线性无关的特征向量，故 A 不能相似对角化【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式EA = =(一 1)2(一 3)，知矩阵 A 的特征值是 1=2=1， 3=3因为 A 可对角化，=1 必有两个线性无关
21、的特征向量，故r(EA)=1 E 一 A= ，求出 a=一3对于 =1，由(EA)x=0 ，得 1=(1，1，0) T， 2=(0，1，3) T，对于 =3，由(3EA)x=0，得 3=(1，0，一 1)T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 A 的各行元素之和均为 5，有因为矩阵 A 的特征值是 5，0，0，知 A+E 的特征值是 6，1，1故A+E=6【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 (1)因为 TA是 11 矩阵，是一个数，故 TA=(TA)T=TAT(T)T=一 TA 所以恒有 TA=0 (2)( 反证法)如果矩阵 A+cE 不可逆，则齐次方程组(A+cE)x=0 有
22、非零解，设其为 ， 于是有 A= 一 c，0 左乘 T，得 TA=一 cT0与(1)矛盾 故矩阵 A+cE 恒可逆【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 由 BA=0，有 r(A)+r(B)3，又因 r(B)1，故 r(A)3一 r(B)1显然 r(A)1所以 r(A)=1于是【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 一 1+22=3 故只需考查 1， 2 与 1， 2 的互相线性表出的问题 方程组x11+x22=2 有解b3a=0 ， 22a=0 a=1，b=3 即(II) 可由(I)线性表出的充要条件是 a=1，b=3 反之，当 a=1，b=3 时，( 1， 21， 2)=，方程组 x1
23、1+x22=1与 x11+x22=2 均有解，说明 (I)可由()线性表出，所以(I)与(II) 等价时a=1，b=3【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 如果 k 11+k22+ktt+l11+l22+ltt=0 用 A 左乘上式，并把 Ai=0，A i=i，i=1，2，t 代入，得 l 11+l22+ltt=0 因为1， 2， t 是 Ax=0 的基础解系，它们线性无关，故对必有 l1=0， l2=0， ，l t=0 代入 式，有 k11+k22+ktt=0 所以必有 k1=0， k2=0， ，k t=0 即向量组 1， 2， t， 1， 2， t 线性无关【知识模块】 线性代数26
24、【正确答案】 由于经初等行变换由 A 可得到 B，故存在矩阵 P1，P 2，P s，使 Ps， ，P 2P1=B 对矩阵 A，B 按列分块，并记 A=(1， 2， n)，B=(1， 2， n)，P=P s，P 2P1， 则有 P(1， 2， n)=(1， 2， n) 于是 Pi=i(i=1，2，n) 【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 A 是 34 矩阵，且 r(A)=1，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系有 n 一 r(A)=3 个解向量又因 1， 2， 3， 4 线性相关，且可以表示 Ax=0 的任一解，故向量组 1， 2， 3， 4 的秩必为 3，且其极大线性无关组就是 A
25、x=0 的基础解系由于 当且仅当 a=一 3，4 或 1 时，r( 1， 2， 3， 4)=3，且不论其中哪种情况， 1， 2， 3 必线性无关 所以 1， 2， 3 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因为方程组(I)、( )有非零公共解，即把 (I)、()联立所得方程组()有非零解，对系数矩阵作初等行变换，有方程组()有非零解a=一 1求出 =(2，6，2，1) T 是( )的基础解系，所以(I)、()的所有公共解是 k【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 因为实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故由A =一 2，知 A*的特征值是一 2，一 1，2那么 A*+E 的特征值是一 1，0，3又因 A，A *，A *+E 有相同的特征向量于是 (A *+E) 2=02=0所以 2=(4，一 1，1) T 是齐次方程组(A *+E)x=0的基础解系【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由于此时，方程组有无穷多解(3，0，0) T+k1(一 4，1，0) T+k2(2，0，1) T【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 当 b=2，a1 时，r1， 2， 3=r1， 2， 3，=3， 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示式唯一，其唯一表示式为 =一 1+22【知识模块】 线性代数
