1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 89 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 若 1=(一 1，1，a，4) T， 2=(一 2，1，5，a) T， 3=(n，2，10，1) T 是齐次方程组Ax=0 的基础解系，则 a 的取值为 ( )（A）a5（B） a一 4（C） a一 3（D）a一 3 且 a一 42 设矩阵 A= 有三个线性无关的特征向量，则 a 和 b 应满足的条件为( )（A）a=b=1（B） ab=一 1（C） a 一 b0（D）a+b=03 设点 Mi(xi，y i)(i=1，2，n)为 xOy 平面上的 n 个不同的点，令则点 M1，M
2、 2，M n(n3)在同一条直线上的充分必要条件是( )（A）r(A)=1（B） r(A)=2（C） r(A)=3（D）r(A)34 设矩阵 A=1， 2， n经过若干次初等列变换后变成了矩阵B1， 2， n，则在 A、B 中( )（A）对应的任何部分行向量组具有相同的线性相关性（B）对应的任何部分列向量组具有相同的线性相关性（C）对应的 k 阶子式或同时为零，或同时不为零（D）对应的齐次线性方程组是同解方程组5 设 n 阶非奇异矩阵 A 为 mn 的矩阵，B 为 ms 的矩阵，已知矩阵方程 AX=B 有解，则必有( ) （A）r(A)r(B)（B） r(A)r(B)（C） r(A) 0（D）
3、r(B) 0二、填空题6 设 A= ，若矩阵 X 满足 AX+2B=BA+2X，则X4=_7 已知 ABC=D，其中：A= ，B *是B 的伴随矩阵，则(B *)1=_8 已知矩阵 A= 若矩阵 X 和 Y 满足 X2+XY=E，A(X+Y)B=E 则矩阵 Y=_9 已知向量 1=(1，1，1，3) T， 2=(一 a，一 1，2，3) T， 3=(1，2a 一 1，3，7)T， 4=(一 1，一 1，a 一 1，一 1)T 的秩为 3，则 a=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设 问 a，k 为何值时，1+k2 可由 1， 2， 3 线性表示，并求其线性表示式11 已
4、知 问a，b 为何值时， 不是 1， 2， 3， 4 的线性组合 ?a，b 为何值时， 有1， 2， 3， 4 的唯一线性表示式 ?并写出该表示式12 设 A 是 33 矩阵， 1， 2， 3 是三维列向量，且线性无关，已知 A1=2+3，A 2=1+3，A 3=1+2 (1)证明：A 1，A 2，A 3 线性无关 (2)求A13 讨论矩阵 A nn= (n2)的秩14 设矩阵 A33 满足 A2=E，但 AE证明： r(AE)一 1r(A+E)一 1=015 已知 n(n4)维向量组(I) 1， 2 线性无关，() 1， 2 线性无关，且 1， 2 分别与1， 2 正交，证明： 1， 2，
5、1， 2 线性无关16 已知矩阵 A= 有三个线性无关的特征向量， =5 是矩阵 A 的二重特征值，A *是矩阵 A 的伴随矩阵，求可逆矩阵 P，使 P1A*P 为对角矩阵17 设 n 维向量 1， 2， m(mn)线性无关，证明：n 维向量 1， 2， m线性无关的 (1)充分条件是 1， 2， m 与 1， 2， m 等价 (2) 充要条件是矩阵 A=(1， 2， m)与矩阵 B=(1， 2， m)等价18 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nl 矩阵，证明：方程组 ABX=0 和 BX=0 是同解方程组的充要条件是 r(AB)=r(B)19 设 A 是 n 阶方阵，证明：A nX=0 和
6、An+1X=0 是同解方程组20 已知齐次线性方程组(I)的基础解系为 1=1，0，1，1 T， 2=2，1，0，一 1T， 3=0，2，1，一 1T，添加两个方程 后组成齐次方程组()，求()的基础解系21 已知 1=一 3，2，0 T， 2=一 1，0，一 2T 是线性方程组的两个解向量，试求方程的通解，并确定参数 a，b，c 22 已知向量 1=1，0，2，4 T， 2=1，1，3，0 T， 3=2，1，a+2，4 T， 4=2，一 1，3，a+7 T， 1=3，一 1，a+6 ，a+11 T， 2=0，1，2，a T若 1 可由1， 2， 3， 4 线性表示， 2 不能由 1， 2，
7、3， 4 线性表示，试确定参数 a 的取值及 1 由 1， 2， 3， 4 表示的一般表达式23 设 满足 AB=C，求B24 设 A= 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C，使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C25 已知 A，B 均是 mn 矩阵，r(A)=n 一 s，r(B)=n 一 r，且 r+sn，证明：线性方程组 AX=0，BX=0 有非零公共解26 设 *是非齐次方程组 AX=b 的一个特解， 1， 2， nr 是对应齐次方程组AX=0 的基础解系 令 0=*， 1=1+*， 2=2+*， nr=nr+* 证明：非齐次方程的任一解 都可表示成 =00+00+22+ nrnr，其中0+
8、1， 2， nr=127 设 Amn，r(A)=m ，B n(nm)(B)=n 一 m，且满足关系 AB=0证明：若 是齐次方程 AX=0 的解，则必存在唯一的考，使得 B=28 设非齐次方程组 (I)有解，且系数矩阵 A 的秩 r(A)=rn(b 1，b 2，b n 不全为零)证明：方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为 n 一 r+1 个29 设三元非齐次方程组的系数矩阵 A 的秩为 1，已知 1， 2， 3 是它的三个解向量，且 1+2=1，2，3 T， 2+3=2，一 1，1 T， 3+1=0，2，0 T求该非齐次方程组的通解30 已知非齐次线性方程组 (1)求解方程组(I)
9、，用其导出组的基础解系表示通解(2)当方程组() 中的参数 m，n，t 为何值时，方程组(I) 、( )同解31 设两个线性方程组(I)，( )为 证明：方程组(I)有解的充分必要条件是方程组( )无解考研数学三（线性代数）模拟试卷 89 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 1， 2， 3 是基础解系，则 1， 2， 3 必线性无关，由知a5，r( 1， 2， 3)=3故选 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 A 的特征方程为 |E 一 A|= =(一 1)2(+1)=0，解之得到 A 的特征值为 1=
10、2=1， 3=一 1由于对应于不同特征值的特征向量线性无关，所以当 A 有三个线性无关的特征向量时，对应于特征值 1=1=1 应有两个线性无关的特征向量，从而矩阵 1EA 的秩必为 1由(1 E A)=知，只有 a+b=0 时，r(1EA)=1此时A 有三个线性无关的特征向量故选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 以点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)为顶点的三角形面积为行列式的绝对值所以该三点共线的充要条件是矩阵 的秩3，即秩为 2 或 1，但因这三点各不相同，所以此三点共线的充要条件是上述矩阵的秩为 2 对于 n 个不同的点共线的充要条件是任
11、意三点共线，也就是矩阵 A 的秩为2故选 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 A 经过若干次初等列变换成 B，相当于 AT 经过若干次初等列变换成BT，此时 AT 和 BT 的相应的列向量组具有相同的线性相关性，即 ATX=0 和 BTX=0是同解方程组，即 A、B 的行向量组具有相同的线性相关性，故选 A【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 r(B)=r(AX)r(A)故选 B【知识模块】 线性代数二、填空题6 【正确答案】 【试题解析】 由矩阵方程得 (A 一 2E)XB(A 一 2E)，因为 A 一 2E=可逆，故 X=(A 一 2E)1B(
12、A 一 2E)从而 X4=(A 一 2E)1B4(A 一2E)【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 【试题解析】 因为矩阵 A，C 都是初等矩阵，根据初等矩阵的性质，有 B=A1DC1 又因B=A 1DC1=A 1DC 1=一 6故(B *)1= 【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 由 X(X+Y)=E，知 X+Y=X1，于是 Y=X1 一 X由 A(X+Y)B=E，有 AX1B=E，于是 X=BA【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 一 【试题解析】 对 A=(1， 2， 3， 4)作初等行变换，有【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
13、10 【正确答案】 1+k2 可由 1， 2， 3 线性表出r( 1， 2， 3)=r(1， 2， 3， 1+k2)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 a=一 1，b0时， 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出；a 一 1 时， 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示式唯一，=一 3+04【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 (1)A 1， A2，A 3=2+3， 3+1， 1+2C 是可逆阵，故A 1，A 2，A 3和 1， 2， 3是等价向量组，故 A1，A 2，A 3 线性无关 (2)A 1，A 2，A 3=A1， 2， 3=1， 2， 3 两边取行列式，得A= =2【
14、知识模块】 线性代数13 【正确答案】 对矩阵作初等变换由阶梯形矩阵知 ab，a一(n 一 1)b 时， r(A)=n；a=b=0 时，A=0，r(A)=0； a=b0 时，r(A)=1；a=一(n 一 1)b0 时，r(A)=n 一 1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 AE，AE0，A+E0，r(A E)1，r(A+E)1 (AE)(A+E)=0，r(AE)2，r(A+E)2又 r(A+E)+r(AE)=3故 r(AE)，r(A+E)必有一个是 1，一个是 2，故r(aE)一 1r(a+E)一 1=0【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 考察 k 11+k22+11+22=0两边
15、分别对 1， 2 作内积，由于(1， 1)=0，( 1， 2)=0，( 2， 1)=0，( 2， 2)=0，故得齐次方程组=(1， 1)(2， 2)一(1， 2)2， 根据柯西一施瓦兹不等式，当 1， 2 线性无关时，有( 1， 2)2( 1， 1)(2， 2)，故方程组的系数行列式大于零 (不等于零)，方程组有唯一零解k1=k2=0，代入原式得 11+22=0 由 1， 2 线性无关，故 1=2=0，从而k1=k2=1=2=0，故 1， 2， 1， 2 线性无关 51解 因为矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，=5 是矩阵 A 的二重特征值，故 =5 必有两个线性无关的特征向量，因此 r(5
16、EA)=1由 5EA= 得a=0，b=一 1又因 5+5+ 3=1+3+5， 知矩阵 A 的特征值是 1=2=5， 3=一 1 又A= 1 2 3=一 25，伴随矩阵 A*的特征值为 (i=1，2，3) ，即一 5，一5，【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 线性方程组(5EA)x=0 ，得基础解系 1=(1，2，0)T， 2=(0，0，1) T 它是矩阵 A 的属于特征值 1=2=5 的线性无关的特征向量，也是 A*的属于特征值一 5 的线性无关的特征向量 解线性方程组(一 EA)x=0，得基础解系 3=(一 2，2，1) T 它是矩阵 A 的属于特征值 3=一 1 的特征向量，也是A*
17、的属于特征值 25 的特征向量【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)如果 1， 2， m 与 1， 2， m 等价，则 r(1， 2， m)=r(1， 2， m) 由于 1， 2， m 线性无关，r(1， 2， m)=m，所以 1， 2， m 线性无关，故充分性成立 (2)必要性若 1， 2， m 线性无关，则 r(1， 2， m)=r(1， 2， m)=m 由于矩阵的秩就是其列向量组的秩，所以 r(A)=r(B)，又 A 与 B 均为 nm 矩阵，故A 与 B 等价 充分性若 A 与 B 等价，则 r(A)=r(B)，因为 1， 2， m 线性无关，有 r(A)=m 于是 r(1，
18、 2， m)=m，所以 1， 2， m 线性无关【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 必要性ABX=0 和 BX=0 是同解方程组ABX=0 和 BX=0 有相同的基础解系ABX=0 和 BX=0 的基础解系的向量个数相同，即lr(B)=lr(AB)，故 r(AB)=r(B)充分性r(AB)=r(B)ABX=0 和 BX=0 的基础解系的向量个数相同，又因为BX=0 的解均是(AB)X=A(BX)=0 的解，故 BX=0 的基础解系也是 ABX=0 的基础解系，故 BX=0 和 ABX=0 有相同的基础解系， ABX=0 和 BX=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数19 【正确答案】
19、显然 AnX=0 的解必是 An+1X=0 的解反之：若 An+1X=0，则必有AnX=0， 用反证法，若 AnX0，则必有 An1X0，A n2X0，AX0，X0 ，上述 n+1 个 n 维向量必线性相关，故存在不全为 0 的数 k1，k 2，k n+1，使得 k1X+k2AX+kn+1AnX=0 式左乘 An 得 k 1AnX=0， A nX0 得，k 1=0 k 1=0代入式，再乘 An1，可得 k2=0，同理有 ki=0，i=1，2，n+1，这和k1，k 2，k n+1 不全为 0 矛盾，故必有 AnX=0 从而得证：A nX=0 和 An+1X=0 是同解方程组【知识模块】 线性代数
20、20 【正确答案】 方程组(I)的通解为得 1=2，一 3，0T， 2=0，1，一 1T，故方程组 ()的基础解系为 1=2132=一 4，一 3，2，5T， 2=23=2，一 1，一 1，0 T【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 对应齐次方程组有解 = 12=一 2，2，2 T=21，1，1 T，故对应齐次方程组至少有一个非零向量组成基础解系，故又显然应有 r(A)=r(Ab)2从而 r(A)=r(Ab)=2，故方程组有通解 k一 1，1，1 T+一 3，2，0 T将 1， 2 代入第一个方程，得 一 3a+2b=2， 一 a 一 2c=2，解得 a=一 22c，b=一 23c，c 任
21、意常数，可以验证：当 a=一 22c，b= 一 23c，c 任意时，r(A)=r(A b)=2【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 2 不能由1， 2， 3， 4 线性表出， r(1， 2， 3， 4)+1=r(1， 2， 3， 4， 2)，应有 a=5或 a 一 3 1 可由 1， 2， 3， 4 线性表出，应有 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4， 1)，应有 a3当 a3，且当 a5 时，方程组有唯一解当 a=5 时，方程组有无穷多解 X=k一 3，1，0，1 T+1，一 4，3，0， T， 故 1=(13k)1+(一 4+k)2+33+k4其中 k 是任意常数【知
22、识模块】 线性代数23 【正确答案】 将 C 按列分块，C=C 1，C 2，且设 AX1=C1，AX 2=C2，将两个方程一起作初等行变换，一起求解， 即AX1=C1，得通解为 k13，一 3，1，一 2T+1，0，1，0 T，AX 2=C2，得通解为 k13，一 3，1，一 2T+5，一 4，2，0T取第三个分量为 0 的两个特解为 k 1=一 1， X 1=一 2，3，0，2 T， k 2=一 2， X2=一 1，2，0，4 T，故 B= 【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当 a一 1 或 b0 时，方程组无解当 a=一 1，b=0 时，方程组有无穷多解，此时 得的通解为 x=k1
23、 ，k 1，k 2 为任意常数所以，当 a=一 1，b=0 时，存在矩阵 C 使得， ACCA=B，并且 C= ，k 1，k 2 为任意常数【试题解析】 由于从矩阵方程中不能直接得到 C，因此转化为求解线性方程组【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A mnX=0，因 r(A)=n 一 s，故有 s 个线性无关解向量组成 AX=0的基础解系，设为 1， 2， s B mnX=0，因 r(B)=n 一 r，故有 r 个线性无关解向量组成 BX=0 的基础解系，设为 1， 2， r 因 s+rn，故 s+r 个 n 维向量 1， 2， ， s， 1， 2， r 线性相关，即存在不全为 0 的k
24、1，k 2，k s， 1， 2， r，使得 k 11+k22+kss+11+22+ rr=0， 因 1， 2， s 线性无关，1， 2， s 线性无关，故 ki=0(i=1，2，s)，u i=0(i=1，2，r)，这和k1，k 2，k s， 1， 2， r 不全为 0 矛盾，故也是 BX=0 的解) 【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 AX=b 的任一解 可表示成 = *+k11+k22+knrnr =*(1 一k1k2knr)+k1(1+)+k2(2+*)4+knr(nr+*) 记 =00+11+22+ nrnr， 其 0+1+ nr=1 一 k1k2knr+k1+k2+knr=1【知
25、识模块】 线性代数27 【正确答案】 将 B 按列分块，设 B=1， 2， nm，因已知 AB=0，故知B 的每一列均是 AX=0 的解，由 r(A)=m，r(B)=n 一 m， 1， 2， nm 是 AX=0的基础解系 若 是 AX=0 的解向量，则 可由基础解系 1， 2， nm 线性表示，且表示法唯一，即 =x 11+x22+xnmnm， 即存在唯一的考，使B=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 因 r(A)=rn，可设 1， 2， nr 是(I)的对应齐次线性方程组的基础解系， *是(I)的一个特解 由 *不能被 1， 2， nr 线性表示，且1， 2， nr 线性无关，可知 *
26、， 1， 2， nr 线性无关，而方程组(I)的任意一解 都可以表示成 *和 1， 2， nr 的线性组合 =*=*+k11+k22+knrnr 所以(I)的解向量的秩n 一 r+1又向量组*， *+1， *+2， *+nr 是(I) 的 n 一 r+1 个特解，考察 k 0*+k1(*+1)+k2(*+2)+knr(*+nr)=0，整理得 (k 0+k1+k2+knr)*+k11+k22+knrnr=0因 *， 1， 2， nr 线性无关，上式成立当且仅当即 k 1=k2=knr=k0=0 从而得证*， *+1， *+2， *+nr 线性无关， r( *， *+1， *+2， *+nr)n
27、一r+1，即方程组(I)至少有 n 一 r+1 个线性无关的解向量，即(I)的解向量组的秩n 一r+1 综上所述，方程组(I)的所有解向量中线性无关的最大个数恰为 n 一 r+1 个【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 r(A)=1，AX=b 的通解应为 k11+k22+，其中对应齐次方程 AX=0的解为 1=(1+2)一( 2+3)=1 一 3=1，3，2 T， 2=(2+2)一( 3+1)=2 一1=2，一 3，1 T 因 1， 2 线性无关，故是 AX=0 的基础解系 取 AX=b 的一个特解为 = (3+1)=0，1，0 T 故 AXb 的通解为 k 1一 1，3，2 T+k22，
28、一3，1 T+0，1，0 T，k 1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)将(I) 的增广矩阵作初等行变换，得得方程(I)的通解为 =k1，1，2，1 T+一 2，一 4，一 5，0 T (2)方程组(1I) 中的参数 m，n，t为何值时，方程组(I)、( )同解，即(I)、(II)同解时，()中参数应为何值(I)、()同解(I)的通解也是()的通解将(I)的通解代入 ()的方程，得得 m=2，n=4，t=6当m=2， n=4， t=6 时，方程组()的增广矩阵是因 r(B)=r(Bc)=3，故知(I)的通解是()的解，且是()的通解，也是(I) 的通解，故当 m=2，n=4，t=6 时，方程组(I)、(II)同解【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 方程组表示成矩阵形式有 AY=b，【知识模块】 线性代数
