1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 90 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 n 阶非奇异矩阵 A 的列向量为 1， 2， n，n 阶矩阵 B 的列向量为1， 2， n，若 1=1+2， 2=2+3， n=n+1，则矩阵 B 的秩( )（A）必为 n（B）必为 n1（C）为 n 或 n1（D）小于 n12 已知向量组 1， 2， 3， 4 线性无关，则向量组 21+3+4， 24， 3+4， 2+3，2 1+2+3 的秩是( )（A）1（B） 2（C） 3（D）43 已知 A 是三阶矩阵，r(A)=1，则 =0( )（A）必是 A 的二重特征值（B）至
2、少是 A 的二重特征值（C）至少是 A 的三重特征值（D）一重、二重、三重特征值都可能4 已知 1， 2 是方程组(E 一 A)X=0 的两个不同的解向量，则下列向量中必是 A 的对应于特征值 的特征向量是( )（A） 1（B） 2（C） 12（D） 1+2二、填空题5 已知 AB= ， 则 r(A)+r(AE)+r(A 一 2E)= _6 已知 4 维列向量 1， 2， 3 线性无关，若 i(i=1，2，3，4)非零且与 1， 2， 3均正交 则秩 r(1， 2， 3， 4)=_7 已知向量组等秩，则 x=_8 已知 A= ，若有两个不同的三阶矩阵 B 和 C，使 AB=AC，则 a=_9
3、已知 A=1， 2， 3， 4，其中 1， 2， 3， 4 为四维列向量，方程组 Ax=0 的通解为 k(2，一 1，2，5) T，则 4 可由 1， 2， 3，表示为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 A 是三阶矩阵， 1， 2， 3 是三个不同的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量，证明：向量组 A(1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关的充要条件是 A 是可逆阵11 设 A 是三阶实矩阵， 1， 2， 3 是 A 的三个不同的特征值， 1， 2， 3 是三个对应的特征向量，证明：当 230 时，向量组 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无
4、关12 设 A 是 n 阶实矩阵，有 A=，A T=，其中 ， 是实数，且 ， 是n 维非零向量，证明：， 正交13 证明 n 阶矩阵 相似14 设 A，B 为同阶方阵，(1)如果 A，B 相似，试证：A，B 的特征多项式相等(2)举一个二阶方阵的例子说明(1) 的逆命题不成立(3)当 A，B 均为实对称矩阵时，试证：(1)的逆命题成立15 已知非齐次线性方程组 有 3 个线性无关的解(1)证明：方程组的系数矩阵 A 的秩 r(A)=2(2)求 a，b 的值及方程组的通解16 设 a1，a 2，a n1 是 n 个实数，方阵(1)若 是 A 的特征值，证明：=1， 2， n1T 是 A 的对应
5、于特征值 的特征向量 (2)若 A 有 n 个互异的特征值 1， 2， n，求可逆阵 P，使 P1APA17 已知 A 相似于 B，即存在可逆阵 P，使得 P1AP=B求证：存在可逆阵 Q，使得 Q1AQ=B 的充分必要条件是存在与 A 可交换的可逆阵 C，使得 Q=CP18 设三阶实对称矩阵 A 的特征值是 1，2，3A 的属于特征值 1，2 的特征向量分别是 1=一 1，一 1，1 T， 2=1，一 2，一 1T (1)求 A 的属于特征值 3 的特征向量 (2)求矩阵 A19 已知 A 是 n 阶实对称矩阵， 1， 2， n 是 A 的特征值， 1， 2， n 是A 对应的 n 个标准正
6、交特征向量，证明：A 可表示为 A=111T+222T+ nnnT20 已知 n 阶矩阵 A=aijnn 有 n 个特征值分别为 1， 2， n，证明：21 设 n 阶矩阵 A=aij，若 a ij1，i=1，2，n，则 A 的所有特征值i(i=1，2，n)的模小于 1，即 ij122 设 A 是 n 阶实对称矩阵，证明：A 可逆的充要条件是存在 n 阶实矩阵 B，使得AB+BTA 是正定阵23 设 A 为 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，证明：AB 和 BA 有相同的非零特征值24 设 B 是 nn 矩阵，A 是 n 阶正定阵，证明： (1)r(B TAB)=r(B) (2)B TAB 也是
7、正定阵的充要条件为 r(B)=n25 设 A 是阶反对称阵，B 是主对角元均大于零的 n 阶对角阵，证明：A+B 是可逆阵26 设 n 阶方阵 A0，满足 Am=0(其中 m 为某正整数) (1)求 A 的特征值 (2)证明：A 不相似于对角矩阵 (3)证明：E+A=1 (4)若方阵 B 满足 AB=BA，证明：A+B=B27 设 n 阶方阵 A、B 可交换，即 AB=BA，且 A 有 n 个互不相同的特征值，证明：A 与 B 有相同的特征向量B 相似于对角矩阵28 在 R4 中求一个单位向量，使它与 1=(1，1，一 1，1) T， 2=(1，一 1，一 1，1)T， 3=(2，1，1，3)
8、 T 都正交29 设实矩阵 A=(aij)nn 的秩为 n 一 1， i 为 A 的第 i 个行向量(i=1，2，n)求一个非零向量 xRn，使 x 与 1， 2， n 均正交30 设分块矩阵 P= 是正交矩阵，其中 A、C 分别为 m，n 阶方阵，证明：A、C 均为正交矩阵，且 B=031 设 A、B 都是 n 阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵 P，使得 P1AP=B 的充分必要条件是 A 与 B 有相同的特征多项式考研数学三（线性代数）模拟试卷 90 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 n 为奇数时， r(B)=n；
9、当 n 为偶数时，r(B)=n 一 1故选 C【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 D【试题解析】 记 r(21+3+4， 2 一 4， 3+4， 2+3，2 1+2+3)=r(1， 2， 3， 4， 5)， 1， 2， 3， 4， 5=1， 2， 3， 4因 r1， 2， 3， 4=4，故 r1， 2， 3， 4， 5=4故选 D【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 A 是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E A)=1(0EA)X=0 有两个线性无关特征向量，故 =0 至少是二重特征值，也可能是三重，例如 A= ，r(A)=1， =0 是三重特征值故选 B【知识模块】 线性代
10、数4 【正确答案】 C【试题解析】 因 12，故 120，且仍有关系 A(12)=12=(12)，故 12 是特征向量 而(A)中 1，(B)中 2，(D)中 1+2 均有可能是零向量而不成为 A 的特征向量故选 C【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 9【试题解析】 由 AB 知 A+kEB+kE ，又因相似矩阵有相同的秩故 r(A)+r(AE)+r(A 一 2E)=r(B)+r(BE)+r(B 一 2E)=2+4+3=9【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 1【试题解析】 记 A= ，A 是秩为 3 的 34 阶矩阵，由于 i(i=1，2，3，4)与1， 2， 3 均正交故
11、i 是齐次方程组 Ax=0 的非零解又因 i 非零，故 1r(1， 2， 3， 4)nr(A)=1所以秩 r(1， 2， 3， 4)=1【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 1【试题解析】 1， 2， 3= ，知r(1， 2， 3)=2，由题设，r( 1， 2， 3)=2因 1， 2， 3=，故 x=1【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 7【试题解析】 由 BC，A(BC)=0，知齐次方程组 Ax=0 有非零解，故A =4(a 一 7)2=0，所以 a=7【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 4=一 3【试题解析】 由题设有 2 12+23+54=0，于是 4=一 3【知识模块】 线性
12、代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 A( 1+2)，A( 2+3)，A( 3+1)线性无关( 11+22， 22+33， 33+11)=1， 2， 3=21230，A= 1230，即A 是可逆阵【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 因 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3) =1， 11+22， 121+222+323=1， 2， 3 因 123，故 1， 2， 3 线性无关，由上式可知1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关*= 2320，即 230【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 A= ，两边转置得 TAT=T， 两边右乘 ，得
13、TAT=T， T=T， ( 一 )T=0， ， 故 T=0，即 ， 相互正交【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 因此 A 与 B 有相同的特征值 1=n， 2=0(n 一 1 重)因 A 为实对称矩阵，所以 A 相似于 n 阶对角矩阵 又因 r(2EB)=r(B)=1，所以 B 对应于特征值 2=0有 n 一 1 个线性无关的特征向量，即 B 也相似于 n 阶对角矩阵 A，故 A 与 B 相似【试题解析】 首先证明两个矩阵有相同的特征值，然后证明都可以对角化，从而得到它们相似【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)若 A， B 相似，则存在可逆矩阵 P，使得 P1AP=B，故 E
14、一 B =E 一 P1AP =P 1(E 一 A)P =P 1E 一 AP =E 一A(2)令 A= ，则 E 一 A=E 一 B=( 一 1)2 但A，B 不相似否则，存在可逆矩阵 P，使 B=P 1AP=P1P=E，矛盾 (3)由 A，B均为实对称矩阵知，A，B 均相似于对角阵若 A，B 的特征多项式相等，记特征多项式的根为 1， 2， n，则有于是(PQ 1)1A(PQ1)=B故 A，B 为相似矩阵【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (1)设 1， 2， 3 是方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，其中则有 A(12)=0，A( 13)=0 则 12， 13 是对应齐次线性方程组
15、 Ax=0 的解，且线性无关 (否则，易推出1， 2， 3 线性相关，矛盾) 所以 n 一 r(A)2，即 4 一 r(A)2r(A)2 又矩阵 A中有一个 2 阶子式 0，所以 r(A)2 因此 r(A)=2 (2)因为【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 (1) 是 A 的特征值，则 应满足 E 一 A=0，即 E 一A=0 将第 2 列乘 ，第 3 列乘2，第 n 列乘 n1，加到第 1 列，再按第 1 列展开，得得证=1， 2， n1T 是 A 的对应于 的特征向量 (2)因 1， 2， n 互异，故特征向量 1， 2， n 线性无关，取可逆阵 P=1， 2， n，得 P 1AP=
16、【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 必要性P 1AP=Q1AQ=B，Q 可逆，则得 QP1A=AQP1令QP1=C，其中 C 可逆，且有 CA=AC 充分性已知 C 可逆，且 CA=AC令Q=CP，则 Q 1AQ=(CP)1ACP=P1C1ACP =P1C1CAP=P1AP=B【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 (1)实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交，设3=x1， x2， x3T，则【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 取 Q=1， 2， n，则 Q1=QT，且 Q 1AQ=QTAQ=diag1， 2， n，=111T+222T+ nnnT【知识模块】 线性代数2
17、0 【正确答案】 (1)设 A 的 n 个特征值为 1， 2， n，则E 一 A=( 一 1)( 一 2)( n) 比较式常数项的系数(即令 =0)(2)比较式两边 n1 的系数，左边 n1 的系数只能在行列式的主对角元的乘积项( 一a11)( 一 a12)( 一 ann)中得到 n1 系数为得 tr(A)=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 设 是 A 的任意一个特征值，其对应的特征向量为=x1，x 2，x nT， 则 A=由 的任意性， i1，i=1，2，n【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 必要性，A 可逆，记 A 的逆矩阵为 A1，取 B=A1(要证存在 n阶实矩阵 B，应
18、从已知条件中去找)，则有 AB+B TA=AA1+(A1)TA=AA1+(A1)TAT=2E， 2E 是正定阵，故存在 n 阶实矩阵 B=A1，使得 AB+BTA 是正定阵 充分性已知存在 n 阶实矩阵，使得 AB+BTA 正定，由定义，对于任给的 0，有 T(AB+BTA)=TAB+TBTA=(A)T(B)+(B)TA 0 则对于任给的 0，应有A0，即 AX=0 唯一零解， 故得证 A 是可逆阵【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 令 为 BA 的一个非零特征值， 是 BA 的属于 的特征向量，则 BA=(0)在此等式两端左乘矩阵 A，则A(BA)=AB(A)=(A)(0)再证 A0事
19、实上，若 A=0，则BA=B0=0=(0)，于是 =0，矛盾所以 A0于是 为 AB 的非零特征值，且 A 是 AB 的属于 的特征向量同理可证，AB 的非零特征值 也是 BA 的非零特征值，故 AB 与 BA 有相同非零特征值如 是 AB 的属于 的特征向量，则 B 是 BA 的属于 的特征向量【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)A 是正定阵，存在可逆阵 D， 使得 A=DTD，r(B TAB)=r(BTDTDB)=r(DB)T(DB)=r(DB)=r(B) (2)必要性A 正定，且 BTAB 正定，由(1)知，r(B)=r(B TAB)=n，故 r(B)=n 充分性A 正定，r
20、(B)=n，则BTAB=BTDTDB=(DBT)(DB)，因 r(B)=n，D 可逆，故 DB 可逆，从而 BTAB 正定【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A+B 是正定阵A+B 是可逆阵 因 AT=一 A，对任给X0，X TAX=(XTAX)T=XTATX=一 XTAXX TAX=0，B=diagd 1，d 2，d n其中di0，i=1 ， 2，咒，对 X0，有 XTBX=d1x12+d2x22+dnxn0 故，X0，X T(A+B)X=XTAXT+XTBX0，从而知 A+B 是正定阵，所以 A+B 是可逆阵【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 (1)设 为 A 的任一特征值，x
21、 为对应的特征向量，则 Ax=x，两端左乘 A，得 A2x=Ax=2x，两端再左乘 A，得 A3x=2Ax=3x，如此做下去，可得 Amx=mx因为 Am=0，得 mx=0，又 x0，故有 =0，所以幂零矩阵 A 的特征值全为零 (2)A 的特征向量为方程组 (0E 一 A)x=0 的非零解，因为 A0，有r(一 A)1，故方程组 Ax=0 的基础解系所含向量的个数，即 A 的线性无关特征向量的个数为 n 一 r(一 A)n 一 1n，所以 n 阶方阵 A 不相似于对角矩阵 (3)要证明E+A=1，由特征值的性质知，只要证明 E+A 的特征值全部为 1 即可设 为 E+A 的任一特征值，x 为
22、对应的特征向量，则有(E+A)x=x ，即 Ax=( 一 1)x，故 一 1 为 A 的特征值， (1)中已证 A 的特征值全为零，故有 一 1=0，得 =1，由 的任意性知 E+A 的特征值全为 1，因此 E+A 的全部特征值的乘积等于 1，即E+A=1 (4) 当方阵 B 可逆时，欲证的等式为 A+B=BB 1A+B=1B 1A+E=1利用(3) ，要证B 1A+E=1 ，只要证 B1A 为幂零矩阵即可，等式 AB=BA 两端左乘 B1，得 B1AB=A，两端右乘 B1，得 B1A=AB1，即 A 与 B1 可交换，故由 Am=0，得(B 1A)m=(B1)mAm=0，所以，当方阵 B 可
23、逆时结论成立 当 B 不可逆时，即B=0 时，欲证的等式成为A+B=0因为B=0 ，故 B 有特征值 0，即存在非零列向量 ，使 B=0，故对任意正整数 k，有 Bk=0注意 A 与 B 可交换，有即齐次线性方程组(A+B) mx=0 有非零解 x=，故该方程组的系数行列式为零，即 (A+B)m= A+B m=0， 故A+B=0，因此当 B 不可逆时结论也成立 故得证【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 由于 n 阶方阵 A 有 n 个互不相同的特征值，故 A 有 n 个线性无关的特征向量，若 A 与 B 有相同的特征向量，则 n 阶方阵 B 有 n 个线性无关的特征向量，故 B 相似于对
24、角矩阵设 为 A 的特征向量，对应的特征值为 ，则 A=，两端左乘 B，并利用AB=BA，得 A(B)=(B)，若 B0，则 B 亦为 A 的属于特征值 的特征向量，由题设条件知 为单特征值，因此向量 及 B 又成比例，即存在数 ，使得B=，因此 也是 B 的特征向量；若 B=0，则 B=0，即 为 B 属于特征值 0的特征向量，总之， 必为 B 的特征向量由于 的任意性，知 A 的特征向量都是 B 的特征向量，同理可证 B 的特征向量也都是 A 的特征向量，所以 A 与 B 有相同的特征向量【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T 与 i(i=1，
25、2，3)都正交，则iTx=0(i=1，2，3)，即 解此齐次线性方程组，得其基础解系为 =(4，0，1，一 3)T， 故与 i(i=1，2，3)都正交的向量全体为 x=k(k 为任意实数)当 k0 时，将非零向量 x=k 单位化，得所求的单位向量为 (4，0，1，一 3)T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 欲求与 A 的行向量都正交的非零向量，即求齐次线性方程组Ax=0 的非零解，因为 r(A)=n1n，所以 n 元齐次线性方程组 Ax=0 必有非零解 因为 r(A)=n1，即 A 中非零子式的最高阶数为 n1，故A 中存在某元素aij 的代数余子式 Aij0(记元素 aij 的代数余
26、子式为 Aij，i ，j=1 ，2，n)于是向量 =(A k1，A k2，A kn)T0， 由行列式的展开法则，有 故 x1=Ak1，x 2=Ak2，x n=Akn 满足方程组 Ax=0的每个方程 aijxj=0(i=1，2，n)，即非零向量 是 Ax=0 的一个解，故 就是所求的一个向量【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 由于 P 为正交矩阵，有 PPT=Em+n，所以有 AA T+BBT=Em BCT=0 CBT=0 CCT=En 由 式即知 C 为正交矩阵，因此 C 可逆，用 C1 左乘两端，得 BT=0，从而 B=0，于是由式得 AAT=Em，所以，A 也是正交矩阵【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 必要性是显然的，下面证明充分性 设 A 与 B 有相同的特征多项式，则 A 与 B 有相同的特征值 1， 2， n，因为 A、B 都是实对称矩阵，故存在适当的正交矩阵 Q1，Q 2，使得 Q11AQ1= =Q21BQ2，故 B=Q2 Q21=Q2(Q11AQ1)Q21=(Q1Q21)1A(Q1Q21) 令矩阵P=Q1Q21，则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，知 P 为正交矩阵，且使 B=PAP，故充分性得证【知识模块】 线性代数
