1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 92 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A=aij为 n 阶实对称阵，二次型 f(x1，x 2，x n)= 为正定二次型的充分必要条件是( )（A）A=0（B） A0（C） A0（D）A k0 (k=1，2 ，n)2 设向量组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是( )（A） 1 一 2， 2 一 3， 3 一 1（B） 1+2， 2+3， 3+1（C） 122， 223， 3 一 21（D） 1+22， 2+23， 3+213 设矩阵 A= ，则 A 与 B( )（A）合同，且相似（B）合同，但不相
2、似（C）不合同，但相似（D）既不合同，又不相似4 设 A，B 均是三阶非零矩阵，满足 AB=0，其中 B= ，则( )（A）a= 一 1 时，必有 r(A)=1（B） a一 1 时，必有 r(A)=2（C） a=2 时，必有 r(A)=1（D）a2 时，必有 r(A)=2二、填空题5 二次型 4x22 一 3x32+2ax1x24x1x3+8x2x3 经正交变换化为标准形 y12+6y22+by32，则a=_6 设二次型 f=x12+x22+x32+2ax1x2+2bx2x3+2x1x3，经正交变换 x=Cy 化成标准形为f=y22+2y32，则二次型 f=_7 设二次型 f=x12+2x1x
3、2+2x2x3，则二次型 f 的正惯性指数为 _8 设向量 1= 都是方阵 A 的对应于特征值 =2 的特征向量，又向量= ，则 A=_9 设 A 是三阶矩阵， 是线性无关的三维列向量，满足A=0，A= ，A=，则行列式A 2+E=_；r(a+E)=_；r(A *)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 设实对称矩阵 (1)求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角矩阵 (2)若 A 可逆，计算行列式A *+2E的值11 A 是 3 阶实对称矩阵，其主对角线上元素都是 0，并且 =(1，2，一 1)T 满足A=2 (1)求矩阵 A (2)求正交矩阵 P 使 P1AP 可相似对角化
4、12 已知 A，B 都是 n 阶正定矩阵，证明：AB 是 n 阶正定矩阵的充分必要条件是A 与 B 可交换13 设 A= (1)若矩阵 A 正定，求 a 的取值范围 (2)若 a 是使 A 正定的正整数，求正交变换化二次型 xTAx 为标准形，并写出所用坐标变换14 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x222x32+2x1x3(b0) 中二次型的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为一 12 (1)求 a，b 的值 (2)利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵15 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩
5、阵，C 为mn 矩阵 (1)计算 PDP，其中 P= (2) 利用(1)的结果判断矩阵 B一 CTA1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论16 设线性方程组 与方程 x1+2x2+x3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解17 设 3 阶对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=一 2， 1=(1，一 1，1) T 是 A 的属于 1 的一个特征向量，记 B=A5 一 4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵 (1)验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值和特征向量 (2)求矩阵 B18 判断 A= 是否可对角化? 并说明理由19 A，B 是 n 阶矩阵，且 r(
6、A)+r(B)n，证明 A，B 有公共的特征向量20 设 A、B 为两个 n 阶矩阵，且 A 的 n 个特征值两两互异，若 A 的特征向量恒为B 的特征向量，则 AB=BA21 设 A，B 都是三阶方阵，满足 AB=AB，若 1， 2， 3 是 A 的三个不同特征值，证明：(1) 1一 1(i=1，2，3)；(2)存在可逆阵 C，使 CTAC，C TBC 同时为对角矩阵22 已知 问 a，b取何值时，向量组 1， 2， 3 与 1， 2 等价?23 已知向量 的三个解，求此线性方程组的通解24 设 A 为 n 阶矩阵 (1)已知 为 n 维非零列向量，若存在正整数 k，使得Ak0，但 Ak+1
7、=0，则向量组 ，A，A 2，A k 线性无关； (2)证明：齐次线性方程组 Anx=0 与 An+1x=0 是同解线性方程组； (3)证明：r(A n)=r(An+1)25 设 A 是三阶实对称矩阵，A 的特征值是 1=1， 2=2， 3=一 1，且 1=分别是 1， 2 对应的特征向量，A 的伴随矩阵 A*有特征值0， 0 所对应的特征向量是 = ，求 a 及 0 的值，并求矩阵 A26 设 1， 2 是 n 阶实对称矩阵 A 的两个不同的特征值， 是 A 的对应于特征值 1的一个单位特征向量，求矩阵 B=A1T 的两个特征值27 设三阶实对称矩阵 A 的特征值分别为 0，1，1， 1=
8、是 A 的两个不同的特征向量，且 A(1+2)=2(1)求参数 a 的值；(2)求方程组 Ax=2 的通解；(3)求矩阵 A； (4)求正交矩阵 Q，使得 QTAQ 为对角矩阵28 设 A 为三阶实对称矩阵，且存在可逆矩阵 P= (1)求 a，b 的值； (2)求正交变换 x=Qy，化二次型 f(x1，x 2，x 3)=XTA*x 为标准形，其中 A*为 A 的伴随矩阵； (3)若 kE+A*合同于单位矩阵，求 k 的取值范围29 设有向量组 1=(1，1，1，2) T， 2=(3，a+4，2a+5，a+7) T， 3=(4，6，8，10)T， 4=(2，3，2a+3 ，5) T (1)求向量
9、组 1， 2， 3， 4 的秩及其一个极大线性无关组； (2)若 =(0，1，3，6) T 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，求 a，b 的值； (3)若任何 4 维向量均可由 1， 2， 3， 4， 线性表出，求 a，b 的值30 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3 的矩阵 A 满足AB=B，其中 B= 用正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换31 设 A 为三阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的三维列向量，且满足 Aa 1=21+23， A2=1+22+3， A 3=一 1+2+23 (1)计算行列式A+E
10、 ； (2)求秩r(3EA)； (3)求 A 的特征值，并求可逆矩阵 P，使 P1AP 为对角矩阵考研数学三（线性代数）模拟试卷 92 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 A 并不是二次型 f 的对应矩阵，而是化标准形(或规范形)时作线性变换的对应矩阵，即令 yi= aijxj=ai1x1+ai2x2+ainxn，i=1，2，n，则 f= yi2=y12+y22+yn2， 当所作变换 Y=AX 是可逆线性变换时，即A0 时，f 是正定二次型故选 B【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 直接可看出(A)中 3
11、 个向量组有关系 (1 一 2)+(2 一 3)=一( 3 一 1) 即(A)中 3 个向量组有线性相关，所以选(A) 【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 由E 一 A=0 得 A 的特征值为 0，3，3，而 B 的特征值为0，1，1，从而 A 与 B 不相似又 r(A)=r(B)=2，且 A、 B 有相同的正惯性指数，因此 A 与 B 合同故选 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 AB=0 知，r(A)+r(B)3，且 r(A)1 当 a=一 1 时，r(B)=1，于是 1r(A)2； 当 a一 1 时，必有 a=2，此时 r(B)=2，从而 r
12、(A)=1； 当 a2 时，必有 a=一 1，此时 r(B)=1，从而 1r(A)2； 当 a=2 时，有 r(B)=2，从而 r(A)=1故选 C【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 2【试题解析】 二次型矩阵与标准形矩阵分别是所以 a=2【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 x 12+x22+x32+2x1x3【试题解析】 令 A= 由于 C 是正交矩阵，A 与 N既合同又相似，A 的特征值为 0，1，2 因此0 E 一 A=(a 一 b)2=0， EA=一 2ab=0，故 a=b=0， 二次型 f=x12+x22+x32+2x1x3【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 2
13、【试题解析】 故 A 的特征值为 1=1， 2= ，从而 A 有两个正特征值因此，二次型 f 的正惯性指数为 2【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 【试题解析】 由题设条件有 Ai=2i(i=1，2)，又 =122，故 A=A( 122)=A12A2=2(122)=2= 【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 4；2；1【试题解析】 由题设条件A=0 知 A 有特征值 1=0又由 A=，A= 有 A(+)=A+A=+=1 (+)， A( )=A 一 A= 一 =一 1()可见 A有特征值： 2=1， 3=一 1因为r(A)=2，故 r(A*)=1【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文
14、字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (1)矩阵 A 的特征多项式为E 一 A=( 一 a 一 1)2(a+2)，可得到矩阵 A 的特征值为 1=2=a+1， 3=a 一 2 对于 A=a+1，由(a+1)E Ax=0， 得到属于特征值 =a+1 的线性无关的特征向量 1=(1，1，0) T， 2=(1，0，1) T 对于 =a 一 2，由(a 一 2)EAx=0，得到属于特征值 =a 一 2 的特征向量 3=(一1，1，1) T (2)由于矩阵 A 的特征值是 a+1， a+1，a 一 2，故A=(a+1) 2(a 一 2)，那么伴随矩阵 A*的特征值是(a+1)(a 一 2)，
15、(a+1)(a 一 2)，(a+1) 2故 A*+2E 的特征值是 a2 一 a，a 2一 a，a 2+2a+3所以，行列式A *+2E=(a 2 一 a)2(a2+2a+3)【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 碍到矩阵 A 的特征值为 1=2=2， 3=一 4 对于 =2，由(2EA)x=0，得到属于 =2 的特征向量 1=(1，2，一 1)T， 2=(1，0，1) T 对于 =一 4，由(一 4EA)x=0，得到属于 =一 4 的特征向量 3=(一 1，1，1)T因为 1， 2 已正交，故只需单位化，有【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 必要性若 AB 正定，则 AB 是对称的
16、，即 AB=(AB) T=BTAT 由于 A，B 均正定，知 AT=A，B T=B，故 AB=BA 即 A 与 B 可交换 充分性若AB=BA，则 (AB)T=BTAT=BA 一 AB，知 AB 是对称矩阵再由 A，B 均正定，知存在可逆矩阵 P 和 Q，使得 A=PTP，B=Q TQ于是 Q(AB)Q 1=Q(PTP)(QTQ)Q1=(QPT)(PQT)=(PQT)T(PQT) 即 AB 相似于矩阵(PQ T)T(PQT)因为 PQT 可逆，知(PQT)T(PQT)正定因此，AB 的特征值全大于零，故 AB 正定【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (1)由 A 的特征多项式E 一A=
17、=(+a2)2(2a 一 2)，得到矩阵 A 的特征值是1=2=2 一 a， 3=2a+2那么 A 正定 a (1，2) (2)满足矩阵 A正定的正整数 a=1，那么 此时，矩阵 A 的特征值是1=2=1， 3=4 对于 =1，由(EA)x=0， 得到属于 =1 的特征向量是 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T 对于 =4，由(4EA)x=0， 得到属于 =4 的特征向量3=(1， 1，1) T 对 1， 2 正交规范化处理，有则经 x=Py，有xTAx=yT =y12+y224y32【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1)二次型 f 的矩阵为 设 A 的特征值为
18、i(i=1，2，3)由题设， 1+2+3=a+2+(一 2)=1， 1 2 3= =4a2b2=12得 a=1，b= 一 2 (2)由矩阵 A 的特征多项式 E 一 A=( 一 2)2(+3)，得 A 的特征值 1=22， 3=一 3 对于1=2=2，解齐次线性方程组(2EA)x=0 ，得其基础解系 1=(2，0，1)T， 2=(0，1，0) T对于 3=一 3，解齐次线性方程组(一 3EA)x=0，得其基础解系 3=(1，0，一 2)T由于 1， 2， 3 已是正交向量组，为了得到规范正交向量组，只需将 1， 2， 3 单位化，由此得则 Q为正交矩阵在正交变换 X=QY 下，有 Q TAQ=
19、 且二次型的标准形为 f=2y12+2y223y32 设 A 的特征值为 1， 2， 3，则 1=2， 2+3=a 一 2， 23=一(2a+b2)由题设得 1+2+3=2+(a 一 2)=1， 123=一 2(2a+b2)=一 12得a=1，b=2【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 (2)矩阵B 一 CTA1C 是正定矩阵由(1)的结果可知，矩阵D 合同于矩阵又 D 为正定矩阵，可知矩阵 M 为正定矩阵 因矩阵 M为对称矩阵，故 B 一 CTA1C 为对称矩阵对 X=(0，0，0) T 及任意的Y=(y1，y 2，y n)T0，有 (X T，Y T)1152*=YT(B 一 CTATC
20、)Y0故 B 一CTATC 为正定矩阵【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 将与 联立得非齐次线性方程组：若此非齐次线性方程组有解，则与 有公共解，且 的解即为所求全部公共解对的增广矩阵作初等行变换得：1)当 a=1 时，有r(A)= =23，方程组有解，即 与有公共解，其全部公共解即为的通解，此时 方程组为齐次线性方程组，其基础解系为，所以，与 的全部公共解为 ， k 为任意常数 2)当 a=2 时，有r(A)= =3，方程组有唯一解，此时【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 (1)由 A1=1 得 A21=A1=1， 进一步 A 31=1，A 51=1， 故 1=(A5 一 4A3
21、+E)1 =A514A31+1 =141+1 =一 21， 从而 1 是矩阵 B 的属于特征值一 2 的特征向量 由 B=A5 一 4A3+E 及 A 的 3 个特征值 1=1， 2=2， 3=一 2，得 B 的 3 个特征值为 1=一 2， 2=1， 3=1 设 2， 3 为 B 的属于 2=3=1的两个线性无关的特征向量，又因为 A 是对称矩阵，得 B 也是对称矩阵，因此 1与 2， 3 正交，即 1， 2=0， 1， 30， 所以 2， 3 可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解：其中 k1 是不为零的任意常数，k 2，k 3 是不同时为零的任意常数(2)【知识模块】 线性代数18 【
22、正确答案】 E 一 A=(+a 一 1)( 一 a)(a 一 1) 1=1 一 a， 2=a， 3=a+1 1) 当 1， 2， 3 两两不相同时，即12， 13， 23a ，a0，此时 A 可对角化； 2)当 a=2，A 不可对角化； 3)当 a=0 时，1=2=1， 3=0，r(1EA)=2 ，A 不可对角化【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 由题设 =0 是 A，B 的特征值，设 r(A)=r，r(B)=s， 且1， ， nr 是 Ax=0 的基础解系，即是 A 关于 =0 的特征向量， 1， ns是 B 关于 =0 的特征向量， 1， nr， 1， ， ns 必线性相关， k 1
23、1+knrnr+l11+lnsns=0(系数不全为零)， 由于 1， nr 与1， ns 线性无关k 1，k ns 与 l1， lns 必分别不全为零 令y=k11+knrnr=l11lnsns0，即为 A，B 公共的特征向量【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 =ABP AB=BA【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 (1)AB=A B(A+E)(E 一 B)=E=AB=BA 且 E+A0 1一1(i=1，2，3)(2)设 Axi=ixi，则 ABxi=BAxi=iBxiBx i=ixi(Bxi0)或 Bxi=0 xi(Bxi=0)，总之 xi 均为 B 的特征向量令 C=x 1，x
24、 2，x 3C 1AC=【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 因为 A=(1， 2， 3， 1， 2)=， 所以当a12， b4 时，r( 1， 2， 3， 1， 2)=4，r( 1， 2， 3)=34，故 1， 2 不能由1， 2， 3 线性表示，而 r(1， 2)=24，故 1， 2， 3 也不能由 1， 2 线性表示； 当 a=12，b4 时，r( 1， 2， 3， 1， 2)=3，r( 1， 2， 3)=23，故 1， 2 不能由1， 2， 3 线性表示，而 r(1， 2)=23，故 1， 2， 3 也不能由 1， 2 线性表示； 当 a12，b=4 时，r( 1， 2， 3， 1
25、， 2)=3，r( 1， 2， 3)=3，故 1， 2 可由1， 2， 3 线性表示，且表示式唯一，而 r(1， 2)=23，故 1， 2， 3 也不能由1， 2 线性表示； 当 a=12，b=4 时，r( 1， 2， 3， 1， 2)=2，r( 1， 2， 3)=2，故 1， 2 可由 1， 2， 3 线性表示，且表示式不唯一，而 r(1， 2)=2，故1， 2， 3 也可由 1， 2 线性表示，且表示唯一 综上所述，当 a=12，b=4 时，向量组 1， 2， 3 与 1， 2 等价【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 记此线性方程组为 Ax=b，因为 1=12=是齐次线性方程组 Ax
26、=0 的两个线性无关的解，所以系数矩阵 A 的秩 r(A)42=2，又由 A 的第一行与第二行不成比例知，r(A)2，故 r(A)=2因此 1， 2 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，进而可得非齐次线性方程组 Ax=b 的通解为： =1+k11+k22= 其中k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (1)设 x 0+x1A+x2A2+x kAk=0，上式两边左乘矩阵 Ak，由Ak+1=0，A k+2=A(Ak+2)=A0=0 ，A k+k=0，可得 Ak(x0o+x1+x2A2+x kAk)=x0Ak=0， 而 Ak0，有 x0=0 同理，再在等式两边依次乘
27、矩阵 Ak1，A k2，A 2，A，可得 x1=x2=xn=0， 故向量组，A，A 2，A k 线性无关 (2)显然，线性方程组 Anx=0 的解必是线性方程组 An+1x=0 的解；反过来，若 An+1x=0 只有零解，则由行列式A n+1= A n+10，可得 A0因此A n=A n0，故 Anx=0 也只有零解，即 Anx=0 与 An+1x=0 为同解方程组 若 An+1x=0 有非零解，设存在 0 使得 An+1=0，但 不是 Anx=0 的解，即 An0则由 (1)知 ，A，A 2，A k线性无关，且 An+1=0，A n+1(A)=A(An+1)=0，A n+1(An)=0，即它
28、们都是线性方程组 An+1x=0 的解，因此 An+1x=0 至少有 n+1 个线性无关的解，这与方程组An+1x=0 的基础解系至多有 n 个线性无关解矛盾，所以 An+1x=0 的解都是 Anx=0 的解，即 Anx=0 与 An+1x=0 为同解方程组 (3) 由(2) 知 Anx=0 与 An+1x=0 为同解方程组，故 n 一 r(An)=n 一 r(An+1)， 即 r(An)=r(An+1)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 由题设有 A*=0，于是 AA*=0A，而 AA*=A E，从而有A= 的特征向量 又 1， 2 是实对称矩阵A 属于不同特征值 1， 2 的特征向量
29、，必正交，即有 1T2=a 一 1 一 a(a+1)+2=0，解得 a=1设 3= 为 A 的对应于 1=一 1 的特征向量，由 A 是实对称矩阵知，3 与 1， 2 均正交，即由于 也为 A 的特征向量，应与 1， 2， 3 中某一个成比例，显然不成立，故 a=1不合题意 当 a=一 1 时，方程组为 与 3 成比例，可见 也是 A 对应于特征值 3=一 1 的特征向量，且有=12=2故 a=一 1， 0=2由 Ai=iai(i=1，2，3)，有 A1， 2， 3=11， 22， 33，于是 A= 11， 22， 331， 2， 31【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由于 是 A 的
30、对应于特征值 1 的一个单位特征向量，于是有A=1 且 T=1，从而 B=(A 一 1T)=A1T=11=0=0，故 0 为B 的一个特征值，且 为对应的特征向量 设 为 A 的对应于特征值 2 的特征向量，则有 A=2，由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交，于是有T=0，从而 B=(A 2T)=A 一 1T=2 一 0=2， 故 2 为 B 的一个特征值，且 为对应的特征向量所以，B 的特征值必有 0 和 2【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 (1)若 1， 2 均为 1=0 的特征向量，则有 A(1+2)=A1+A2=0 1+0 202，矛盾 若 1+2 均为 2=3=1 的
31、特征向量，则有 A(1+2)=A1+A2=1 1+1 22，同样矛盾可见 1， 2 是属于实对称矩阵A 的两个不同特征值的特征向量，且 1 是属于特征值 1=0 的特征向量， 2 是属于特征值 2=3=1 的特征向量，根据实对称矩阵的性质， 1， 2 必正交，故有 12=1一 a=0，得 a=1(2)因为 A 可对角化，且 A= ，可见秩 r(A)=2，于是齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系所含解向量的个数为 3 一 r(A)=1而A1=0 1=0，因此 1 可作为 Ax=0 的基础解系，又 A2=2， 2 是 Ax=2 的特解故 Ax=2 的通解为 x=2+k1= ，其中 k 为任意常数(
32、3)设2=3=1 的另一特征向量为 3= ，则 3 与 1 正交，不妨进一步要求 3 与 2 也正交，则有 由A1， 2， 3=11， 22， 33，得 A= 11， 22， 33 1， 2， 31(4)因为 1， 2， 3 已经两两正交，只需单位化： 1=令Q=1， 2， 3，则 Q 为正交矩阵，且有 QTAQ=【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 (1)由题设知，A 有三个特征值 1=1， 2=2， 3=一 1，P 的三个列向量 1， 2， 3 为对应的三个特征向量，必定两两正交，于是解得 a=0，b=一 2(2)由 Ai=ii，知 A*i=，即一 2，一 1，2，且对应特征向量分别为
33、 i= 由于 1， 2， 3 已两两正交，只需将其单位化即可： 1=令Q=1， 2， 3，则 Q 为正交矩阵，通过正交变换 x=Qy，有 f(x1，x 2，x 3)=xTA*x=yTQTA*Qy=yT =一 2y12+y22+y32(3)kE+A *的特征值分别为k 一 2，k1，k+2，kE+A *合同于单位矩阵的充要条件是： k 一 20，k 一10，k+2 0，即 k 应满足：k2【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 设 x11+x22+x33+x44=，对( 1， 2， 3， 4，) 作初等行变换，有(1)当 a= 时，秩 r(1， 2， 3， 4)=2，极大线性无关组是 1， 2
34、(不唯一，也可以是 1， 3 或 1， 4)； 当 a=一 1 时，秩 r(1， 2， 3， 4)=3，极大线性无关组是1， 3， 4(或 2， 3， 4)； 当 a ，a 一 1 时，秩 r(1， 2， 3， 4)=3，极大线性无关组是 1， 2， 4(或 13， 4 或 2， 3， 4) (2) 方程组x11+x22+x33+x44= 无解，也就是 不能由 1， 2， 3， 4 线性表出，此时条件为：a= 或 b1 (3)任一个 4 维向量 y 可由 1， 2， 3， 4， 线性表出的充分必要条件是秩 r(1， 2， 3， 4，)=4，即 a 且 b1【知识模块】 线性代数30 【正确答案
35、】 由 AB=B 知，矩阵 B 的每一列 i 满足 Ai=i(i=1，2，3)显然B 的第 1，2 列 1= 线性无关，所以 =1 是矩阵 A 的特征值(至少是二重)， 1， 2 是 =1 的线性无关的特征向量根据 1+1+3=1+4+1，故知矩阵 A有特征值 3=4因此，矩阵 A 的特征值是 1，1，4 设 3=4 的特征向量为3=(x1， x2， x3)T，那么由实对称矩阵不同特征值的特征向量相百正交，有解出 3=(1，2，一 1)T对 1， 2 正交化，令1=1=(1，0， 1)T，则令 Q=1， 2， 3则由正交变换 X=Qy，二次型可化为标准形 f=y12+y22+4y32【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 得矩阵 B，也即矩阵 A 的特征值为 1=2=3， 3=0 对应于 1=2=3，解(3EB)x=0，得基础解系为 1=(1，1，0) T， 2=(一 1，0，1) T； 对应于 3=0，解(0E B)x=0，得 3=(0，1，1) T令 P2=1， 2， 3，则 P21BP2= ，因 P11BP1=P11P11AP1P2=(P1P2)1A(P1P2)= ，记矩阵 P=P1P2=1， 2， 3=1+2，一 1+3， 2+3，则 P 即为所求矩阵，且 P1AP=。【知识模块】 线性代数
