1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 93 及答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 求 的 x3 的系数2 证明xEA的 4 个根之和等于 a11+a22+a33+a443 设 A 与 B 分别是 m，n 阶矩阵，证明4 设 4 阶矩阵 A=(， 1， 2， 3)，B=(， 1， 2， 3)，A =2，B=3 ，求A+B5 设 4 阶矩阵 A=(， 1， 2， 3)，B=(， 2， 3， 1)，A =a，B=b，求A+B6 设 求一 A13 一 A23+2A33+A437 计算行列式8 计算行列式9 已知(2 ，1，1，1) ，(2，1，a ，a)，(3，2，1，a)，(4
2、，3，2，1)线性相关，并且a1，求 a10 计算 4 阶行列式11 计算行列式12 计算行列式13 设 计算行列式A14 计算 n 阶行列式15 证明 n 阶行列式16 证明 =(n+1)an17 证明18 证明19 证明20 计算21 计算22 计算 n 阶行列式23 (1)证明两个上三角矩阵 A 和 B 的乘积 AB 还是上三角矩阵；并且 AB 的对角线元素就是 A 和 B 对应对角线元素的乘积 (2)证明上三角矩阵 A 的方幂 Ak 与多项式 f(A)也都是上三角矩阵；并且 Ak 的对角线元素为 a11k，a 2k，a nnk；f(A)的对角线元素为 f(a11)，f(a 22)， ，
3、f(a nn) (a 11，a 22，a nn 是 A 的对角线元素)24 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a0，A=E T，A=E+a -1T，求 a25 A=E 一 T，其中 ， 都是 n 维非零列向量，已知 A2=3E 一 2A，求 T26 证明对于任何 mn 实矩阵 A，A TA 的负惯性指数为 0如果 A 秩为 n，则 ATA是正定矩阵27 如果 A 正定，则 Ak，A -1，A *也都正定28 设 A 是正定矩阵，B 是实对称矩阵，证明 AB 相似于对角矩阵29 设 A，B 都是 n 阶正定矩阵，则：AB 是正定矩阵 A，B 乘积可交换30 设 A 是一个 n 阶实矩阵，使得
4、 AT+A 正定，证明 A 可逆31 设 A 是一个 n 阶正定矩阵，B 是一个 n 阶实的反对称矩阵，证明 A+B 可逆考研数学三（线性代数）模拟试卷 93 答案与解析一、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 【正确答案】 在完全展开式的 24 项中除了对角线元素乘积这一项外，其他 23项 x 的次数都不超过 2，因此(x 一 3)(x 一 8)(x+1)x 中 x3 的系数一 10 就是所求【试题解析】 一般地，(x 一 a1)(x 一 a2)(x 一 a3)(x 一 a4)展开式中，x 3 的系数为一(a1+a2+a3+a4)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 设 4 个
5、根为 x1，x 2，x 3，x 4因为xEA 是 x 的 4 次多项式，并且 x4 的系数为 1，所以xEA=(x 一 x1)(x 一 x1)(x 一 x3)(x 一 x4)【试题解析】 由例 11 的方法的启示，考察 x3 的系数从右侧看为一(x1+x2+x3+x4)；再从左侧看，因为xEA对角线外的元素都是不含 x 的常数，所以在其展开式的 24 项中，只有对角线元素的乘积(x 一 a11)(x 一 a22)(x 一 a33)(x一 a44)这一项包含 x3，并且系数为一(a 11+a22+a33+a44)于是x1+x2+x3+x4=a11+a22+a33+a44.【知识模块】 线性代数3
6、 【正确答案】 把此行列式的左右两部分交换，办法如下：先把右部分的第 1 列依次和左部分的各列邻换(共进行了 n 次)，再把右部分的第 2 列依次和左部分的各列邻换，最后把右部分的第 m 列依次和左部分的各列邻换一共进行了 mn次邻换于是【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A+B=(+，2 1，2 2，2 3)，( 注意这里是矩阵的加法，因此对应列向量都相加) A+B = +，2 1，2 2，2 3=8+， 1， 2， 3(用性质，二，三，四列都提出 2) =8(， 1， 2， 3+ ， 1， 2， 3)=8(2+3)=40【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 A+B=(+， 1+2，
7、2+3， 3+1)， A+B=+， 1+1， 2+3， 3+1 =+ ，2 1+2+3， 2+3， 3+1(把第4 列加到第 2 列上) =+，2 1， 2+3， 3+1( 第 2 列减去第 3 列) =2+， 1， 2+3， 3=2+， 1， 2， 3 =2(， 1， 2， 3+， 1， 2， 3) =2(， 1， 2， 3+， 2， 3， 1)=2a+2bA+B=2a+2b 【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 所求的是此行列式第 3 列元素的代数余子式 A13，A 23，A 33，A 43 依次乘一 1，一 1，2，1 后的和A 13，A 23，A 33，A 43 和行列式的第 3 列
8、元素是无关的，因此如果把第 3 列元素改为一 1，一 1，2，1，则 A13，A 23，A 33，A 43 不改变于是修改后的行列式的值=它对第 3 列的展开式=一 A13 一 A23+2A33+A43!【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 先提出第 5 行的公因子 a，再把上面 4 行依次加上它的一 2a 倍，a倍，一 a 倍和 2 倍：【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 这 4 个向量线性相关以它们为行(或列)向量构成的 4 阶行列式为0 得 a=12【知识模块】 线性
9、代数10 【正确答案】 先把 2 至 4 列都加到第 1 列上，再 2 至 4 行都减去第 1 行，就可化为上三角行列式：【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 先把 2 至 5 列都加到第 1 列上，再自下而上 2 至 4 行各减去上行：【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 此题用定义，或用对行(列)的展开都不难计算下面介绍的方法容易推广用行、列的交换容易把此行列式化为分块的形式，第 4 列依次与 3，2列交换，第 4 行依次和 3，2 行交换：【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 对第 1 列展开： A=aA 41+aA41=M11aM 41=1a 4【知识模块】 线性代数14
10、【正确答案】 先建立递推公式：记此行列式为 Dn当 n3时，对第 1 列( 或行)展开，得 Dn=A11+A21=Dn-1 一 M21，M 21 的第 1 行为(1，0，0)，它对第 1 行展开得 M21=Dn-2,于是得递推公式 Dn=Dn-1Dn-2，于是用它可以从 D1，D 2 的值求得Dn事实上当 n4时，D n=Dn-1D n-2=Dn-2D n-3D n-2=一 Dn-3再由D1=1，D 2=0，D 3=D2D 2=一 1 推得【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 记此行列式为 Dn，对第 1 行展开，得到一个递推公式 Dn=(1a)Dn-1+aDn-2下面用数学归纳法证明本题
11、结论(1)验证 n=1，2 时对：(2)假设对 n-1 和 n-2 结论都对，证明对 n 也对：D n-1=1-a+a2a 3+(一 a)n-1，D n-2=1 一 a+a2 一 a3+(-a)n-2，则由递推公式 D n=(1 一 a)Dn-1+aDn-2=Dn-1 一 a(Dn-1 一 Dn-2)=Dn-1+(一 a)n=1 一a+a2 一 a3+(一 a)n-1+(一 a)n【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 本题以证明题的形式出现，容易诱导想到用数学归纳法记此行列式为 Dn，对第 1 行展开，得递推公式 D n=2aDn-1 一 a2Dn-2 用数列技巧计算 Dn=2aDn-1a
12、2Dn-2 改写为 Dn 一 aDn-1=a(Dn-1aDn-2)，记 Hn=Dn 一 aDn-1(n2)，则n3时 Hn=aHn-1，即H n是公比为 a 的等比数列而 H2=D2 一 aD1=3a2 一 2a2=a2，得到 Hn=an，于是得到一个新的递推公式 Dn=aDn-1+an，两边除以 an，得 Dna n=Dn-1a n-1+1于是 Dna n是公差为 1 的等差数列 D1a=2，则Dna n=n+1，D n=(n+1)an【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 对第 1 行展开得递推公式 Dn=(a+b)Dn-1 一 abDn-2然后用数学归纳法的程序证明结论下面用数列技巧计
13、算把 Dn=(a+b)Dn-1abDn-2 改写为 Dn一 bDn-1=a(Dn-1bDn-2)，则 Dn 一 bDn-1是公比为 a 的等比数列D 2 一 bD1=a2，得Dn 一 bDn-1=an，于是得到一个更加简单的递推公式：D n=bDn-1+an， (1)当 a=b 时，则 Dn=aDn-1+an，得 Dn=(n+1)an当 ab时，和(1)对称地有 Dn=aDn-1+bn， (2)a(1)一b(2)，得(a b)Dn=an-1 一 bn-1，【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 本题和下题在有的教材里称为“爪形行列式” ，它们都可以用数学归纳法证明如本题对第 n 列展开就可得
14、到递推公式 Dn=cnDn-1+(一 1)n-1bbbn-1an然后容易进行归纳证明下面要说明的是对这类行列式的一个事实：只要对第 1 行展开就可以求值!把要证明的值的表达式和对第 1 行的展开式对照：就可看出结论也就是对每个 i，有 M1i=b1bi-1ci+1cn而这个等式只要写出 M1i 就可得到：于是M1i=G iH i=b 1bi-1ci+1cn【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 只要对第 1 行展开a 0 的代数余子式 i1时 ai 的代数余子式 A1i+1=(一 1)iM1i+1 其中于是M1i+1=G i H i i=(一 1)i+1bic1ci-1ci+1cn【知识模块
15、】 线性代数20 【正确答案】 各行减上行【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 如果每个 xi 都不是 0，各列提出公因子 xi：=x1x2x3x4x5(1+x1 一 1+x2 一1+x3 一 1+x4 一 1+x5 一 1) =x1x2x3x4x5+x2x3x4x5+x1x3x4x5+x1x2x4x5+x1x2x3x5+x1x2x3x4.如果有 xi=0，则可直接计算如 x1=0，则第 1 列的元素都为 1，其他各列都减第 1 列，求出值为 x2x3x4x5(上面答案中 x1=0 的情形)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 对第一列展开： 其中 Gi 是一个对角线元素都是一 1 的
16、 i 一 1 阶下三角矩阵，H i 是一个对角线元素都是 x 的 ni 阶上三角矩阵，于是 Mi1= GiH i=(一 1)i-1xn-i 代入得【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 设 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵， C=AB，要说明 C 的对角线下的元素都为 0，即 ij 时，c ij=0c ij=A 的第 i 个行向量和 B 的第 j 个列向量对应分量乘积之和由于 A 和 B 都是 n 阶上三角矩阵，A 的第 i 个行向量的前面 i 一 1 个分量都是 0，B 的第 j 个列向量的后面 n 一 j 个分量都是 0，而 i 一 1+n 一 j=n+(i 一 j一 1)n，因此 c
17、ij=0 c ii=ai1bi1+aii-1bi-1i+aiibii+aii+1bi+1i+ainbni =aiibii(ai1=aii-1=0，b i+1i=bni=0)【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 (E 一 T)(E+a-1T)=E E+a-1TT 一 a-1TT=E a-1TTa-1TT=0， ( T=2a2) (a-1 一 12a)T=0， a -1 一 12a=0，(因为 T 不是零矩阵) 1a 一 2a2=0a=一 1【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 A 2=3E 一 2A， A 2+2A 一 3E=0 (A+3E)(AE)=0 ， (4E 一 T)(一 T)=
18、0， 4 T 一 TT=0，( T是数!) (4 一 T)T=0，(由于 ， 都是非零列向量， T 不是零矩阵) 4 一 T=0， T=4，从而 T=T=4【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 证明 ATA 的特征值都不为负数，并且在 A 秩为 n 时 ATA 的特征值都大于 0 设 是 A 的一个特征值， 是属于它的一个特征向量，即有ATA=，于是 TATA=T，即 (A，A)=(， )则 =(，A)(，)0 如果 A 秩为 n，则 AX=0 没有非零解，从而 A0，(A，A0)0 ，因此 =(A， A)( ，)0【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 从特征值看 设 A 的特征值为1
19、， 2， n i0，i=1，2，n 则 Ak 的特征值为1k， 2k， nk ik0，i=1，2，n 设 A-1 的特征值为 1 一 1， 2 一1， n 一 1 i 一 10， i=1，2，n 设 A*的特征值为A 1，A 2，A nA i0，i=1，2，n【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 A 是正定矩阵，存在可逆实矩阵 C，使得 A=CCT，则AB=CCTB于是 C 一 1ABC=C 一 1CCTBC=CTBC 即 AB 相似于 CTBC而 CTBC是实对称矩阵，相似于对角矩阵由相似的传递性，AB 也相似于对角矩阵【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 “”先证明 AB 对称(A
20、B) T=BTAT=BA=AB 再证明 AB 的特征值全大于 0方法同上题：存在可逆实矩阵 C，使得 A=CCT则 AB=CCTB，相似于 CTBC，特征值一样，而 CTBC 是正定的，特征值全大于 0 “”AB 正定，则对称于是 BA=BTT=(AB)T=AB【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 矩阵可逆，有好几个充分必要条件，本题从哪个条件着手呢?行列式不好用，虽然 AT+A 正定可得A T+A0，但是由此不能推出A0用秩也不好下手用“AX=0 没有非零解”则切合条件 设 n 维实列向量 满足 A=0，要证明 =0 T(AT+A)=TAT+TA=(A)T+TA=0 由 AT+A 的正定性得到=0【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 证明(A+B)X=0 没有非零解 设 n 维实列向量 满足(A+B)=0，要证明 =0 注意 B 是反对称矩阵， TB=0(因为 TB=(TB)T=一 TB) TA=TA+TB=T(A+B)=0 由 A 的正定性得到 =0【知识模块】 线性代数
