1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 94 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 是 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行上得曰，将 B 的第 1 列的一 1 倍加到第 2 列上得 C 则 C=( )（A）P 一 1AP（B） PAP 一 1（C） PTAP（D）PAP T2 设 A 为 3 阶矩阵，P=( 1,2,3)为 3 阶可逆矩阵，Q=( 1+2， 2， 3)已知则 QTAQ=( )（A）（B）（C）（D）3 设 A 是 3 阶可逆矩阵，交换 A 的 1，2 行得 B，则（A）交换 A*的 1，2 行得到 B*（B）交换 A*的 1，
2、2 列得到 B*（C）交换 A*的 1，2 行得到一 B*（D）交换 A*的 1，2 列得到一 B*4 设 A，B，C 都是 n 阶矩阵，满足 B=E+AB，C=A+CA，则 BC 为（A）E（B）一 E（C） A（D）一 A二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 设 A=T，其中 和 都是 n 维列向量，证明对正整数 k，A k=(T)k-1A=(tr(A)k-1A (tr(A)是 A 的对角线上元素之和，称为 A 的迹数)6 求 T7 设 求 An8 求9 设 (1)证明当 n1 时 An=An-2+A2 一 E(2)求 An10 求11 3 阶矩阵 A，B 满足 ABA*=
3、2BA*+E，其中 ，求B12 设 A 为 3 阶矩阵， 1,2,3 是线性无关的 3 维列向量组，满足 A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 求作矩阵 B，使得 A(1,2,3)=(1,2,3)B12 A 是 3 阶矩阵， 是 3 维列向量，使得 P=(，A ，A 2)可逆，并且 A3=3A一 2A213 求 B，使得 A=PBP 一 114 求A+E15 设 3 阶矩阵 A=(1,2,3)，A=1 ，B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)，求B 16 已知17 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下列 2n 阶矩阵的逆矩阵(1)(
4、2) (3) (4)18 设 3 阶矩阵 A 一 1XA=XA+2A，求 X19 矩阵 求解矩阵方程 2A=XA 一 4X20 4 阶矩阵 A，B 满足 ABA 一 1=BA 一 1+3E，已知 求 B21 已知 XA+2B=AB+2X，求 X201722 设 3 阶矩阵 A 的各行元素之和都为 2，向量 1=(一 1，1，1) T， 2=(2，一 1，1)T 都是齐次线性方程组 AX=0 的解求 A23 设 A 是 3 阶矩阵，交换 A 的 1，2 列得 B，再把 B 的第 2 列加到第 3 列上，得C求 Q，使得 C=AQ24 设 A，B 和 C 都是 n 阶矩阵，其中 A，B 可逆，求下
5、列 2n 阶矩阵的伴随矩阵(1) (2) (3) (4)25 设 A 是 n 阶非零实矩阵，满足 A*=AT证明A 026 设 A=(1,2,3)，B=( 1， 2， 2)都是 3 阶矩阵规定 3 阶矩阵证明 C 可逆的充分必要条件是 A，B 都可逆27 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，证明 E+A 可逆28 设 A，B 都是凡阶矩阵，EAB 可逆证明 EBA 也可逆，并且(EBA) -1=E+B(EAB)-1A29 设 A，B 是 3 阶矩阵，A 可逆，它们满足 2A 一 1B=B 一 4E证明 A 一 2E 可逆30 设 n 阶矩阵 A，B 满足 AB=aA+bB其中 ab0，证明(1)A
6、bE 和 BaE 都可逆(2)AB=BA考研数学三（线性代数）模拟试卷 94 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 根据初等矩阵的有关性质，则 B=PA，C=BP 一 1，得 C=PAP 一 1【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 A【试题解析】 显然关键是 Q 和 P 的关系由矩阵分解，有于是【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 D【试题解析】 分析 因为 A 是可逆矩阵，所以 B 也可逆，则于是 得结论：交换 A*的 1，2 列得到一 B*【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 由 B=E+AB 得(E
7、A)B=E，由 C=A+CA 得C(E 一 A)=A，则 C(EA)B=AB，得 C=ABB 一 C=E+ABAB=E【知识模块】 线性代数二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。5 【正确答案】 A k=(T)k=TT TT=()(T)( T)T=(T)k-1A T=a1b1+a2b2+anbn，而 a1b1，a 2b2，a nbn 正好是 A=T 的对角线上各元素，于是 T=tr(A)，A k=(tr(A)k-1A【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 ( T)2=(T)T，计算得 T=3【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 A 的秩为 2，不能用例 25 的方法直接求 A 的
8、方幂我们先求A2 A2=2A 即 AA=2A，A 在乘 A 上的作用相当于 2 乘 A，于是 An=An-1A=2n-1A【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 记此矩阵为 A即 A 2A=一 2A则 A2017=(A2)1008A=(一 2)1008A=21008A【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 (1)A n=An-2+A2 一 E 即 An 一 An-2=A2 一 EA n-2(A2 一 E)=A2 一E只要证明 A(A2 一 E)=A2 一 E此式可以直接检验：(2)把 An=An-2+A2 一 E 作为递推公式求 Ann 是偶数 2k 时：A 2k=A2k-2+A2 一 E=A
9、2k-4+2(A2 一 E)=k(A2 一 E)+En 是奇数 2k+1 时：A 2k+1=AA2k=Ak(A2 一 E)+E=k(A2 一 E)+A【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 记此矩阵为 A，记 则 A=B+E因为 B 和 E 乘积可交换，对 A10=(B+E)10 可用二项展开式： 注意矩阵 B 满足：而当 n2 时 Bn 是零矩阵于是A10=C108B2+C109B+E=45B2+10B+E=【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 用 A 从右侧乘 ABA*=2BA*+E 的两边，得 AAB=2 AB+A ， A(A 一 2E)B=A，两边取行列式A 3A 一2EB=A，
10、【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 由于 1,2,3，线性无关，矩阵 P=(1,2,3)可逆，并且 E=P 一1(1,2,3)=(P 一 11，P 一 12，P 一 13)，则 P 一 11=(1，0，0)T，P 一 12=(0，1，0)T， P 一 13=(0，0，1) T，于是 B=P 一 1AP=P 一 1A(1,2,3) =P 一1(1+2+3， 22+3，2 2+33)【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 A=PBP 一 1 即 AP=PB 或 A(，A，A 2)=(，A，A 2)BA(，A，A 2)=(A， A2，A 3)=(A，A 2， 3A 一
11、2A2)【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 A+E=P(B+E)P 一 1则【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 B=( 1+2+3， 1+22+33， 1+42+93)【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 记 =(a1，a 2，a 3)T，=(b 1，b 2，b 3)T，=(c 1，c 2，c 3)T，所求行列式相应的矩阵为：(+，+，+)将它对 (，) 做矩阵分解，得两边求行列式，得所求行列式的值：【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆 (1) 的逆矩阵可用初等变换法计算： (2) 的逆矩阵也可用初等变换法计算： (3)的逆矩阵用
12、“ 待定系数法 ”计算：即设它的逆矩阵为 求 Di1.由则 BD21=0，得 D21=0(因为 B 可逆 )BD 22=E，得 D22=B 一 1AD 11+CD21=E，即 AD11=E，得 D11=A 一1AD 12+CD22=0，得 D12=一 A 一 1CB 一 1 (4)用的方法，得【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 A 一 1XA=XA+2AA 一 1X=X+2EX=AX+2A(EA)X=2A，用初等变换法解此基本矩阵方程：【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 化 2A=XA 一 4X 得 X(A 一 4E)=2A用初等变换法解此矩阵方程：【知识模块】 线性代数20 【正
13、确答案】 用 A 右乘 ABA 一 1=BA 一 1+3E 的两边，得 AB=B+3A；再用 A*左乘两边，得AB=A *B+3AE，由A *=8 ，得A=2，代入上式：(2EA*)B=6E，用初等变换法求得【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 由 M+2B=AB+2X 化得：X(A 一 2E)=(A 一 2E)B，即 X=(A 一 2E)B(A 一 2E)一 1，则 X2017=(A 一 2E)B2017(A 一 2E)一 1=(A 一 2E)B(A 一 2E)一 1=X再从关于 X 的矩阵方程 X(A 一 2E)=(A 一 2E)B 用初等变换法求解 X：(A 一 2E)T B(A 一
14、 2E)T)=(AT 一 2EB(A T 一 2E)【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 令 3=(1，1，1) T，则 A3=(2，2，2) T，建立矩阵方程：A(1,2,3)=(0，0，2 3)，用初等变换法解得【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 记 A=(1,2,3)，则 B=(2,1,3)，C=( 2， 1， 1+3)于是【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 因为 A，B 都可逆，所以这几个矩阵都可逆于是可利用公式A*=AA 一 1 来求伴随随矩阵 (1)(2)(3)(4)【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 把条件 A*=AT 写出，由于 A 是实矩阵，其元素的平方
15、0，又 A 有非 0 元素，得A0【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 由矩阵乘法的定义可看出(或用乘法的分块法则)于是C=A TB= AB则 C 0 A0 并且 B0 即 C 可逆A，B 都可逆【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 A 是一个抽象矩阵，因此用行列式证明是困难的下面的证明思路是通过(E+A)X=0 只有零解米说明结论 设 是一个 n 维实向量，满足(E+A)=0，要证明 =0用 T 左乘上式，得 T(E+A)=0，即 T=一 TA 由下 A 是反对称矩阵， TA 是一个数， TA=(TA)T=一 TA 因此 TA=0 于是 T=0 是实向量，(， )=T=0，从而 =0
16、【知识模块】 线性代数28 【正确答案】 本题看似要证明两个结论，实际上只要证明等式(EBA)E+B(EAB)一 1A=E 成立，两个结论就都得到了! (EBA)E+B(EAB) 一 1A=(EBA)+(EBA)B(EAB)一 1A =(EBA)+(BBAB)(EAB)一 1A =(EBA)+B(EAB)(EAB)一 1A =EBA+BA=E【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 用 A 左乘 2A 一 1B=B 一 4E 两侧得 2B=AB 一 4A 即 (A 一 2E)B=4A 由 A 可逆，得 A 一 2E 可逆【知识模块】 线性代数30 【正确答案】 (1)A 一 bE 和 B 一 aE 都可逆 (AbE)(B 一 aE)可逆直接计算(AbE)(B 一 aE)(AbE)(BaE)=ABaAbB+abE=abE因为 ab0，得(AbE)，(BaE)可逆(2) 利用等式(A 一 bE)(BaE)=abE，两边除以 ab，得再两边乘 ab，得(BaE)(A 一 bE)=abE，即 BA aA一 bB+abE=abE BA=aA+bB=AB【知识模块】 线性代数
