1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 9 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 1= 2= 3= 4= 其中 c1，c 2，c 3，c 4 为任意常数，则下列向量组线性相关的为（A） 1， 2， 3（B） 1， 2， 4（C） 1， 3， 4（D） 2， 3， 4二、填空题2 已知方程组 无解，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设线性方程组 x 1+a1x2+a12x3=a13; x1+a2x2+a22x3=a23; x1+a3x2+a32x3=a33; x1+a4x2+a42x3=a43;3 证明：若 1， 2， 3,4
2、两两不相等，则此线性方程组无解4 设 1=3=k， 2=4=-k(k0)，且已知 1， 2 是该方程组的两个解，其中 1=,2=写出此方程组的通解5 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一?并求出一般表达式6 已知 4 阶方阵 A=(1， 2， 3,4)， 1， 2， 3,4 均为 4 维列向节，其中2， 3， 4 线性无关， 1=22-3如果 =1+2+3+4，求线性方程组 Ax= 的通解.7 不能由 1， 2， 3 线性表示；8 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示，并求出表示式;9 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，并求出表示式9 已知非齐次线性方程组 x 1+x2+
3、x3+x4=-1； 4x 1+3x2+5x3-x4=-1； ax 1+x2+3x3+bx4=-1； 有 3 个线性无关的解.10 证明方程组系数矩阵 A 的秩 r(A)=2；11 求 a，b 的值及方程组的通解12 设有向量组(I)： 1=(1，0，2) T， 2=(1，1，3) T， 3=(1，-1，a+2) T 和 向量组()：1=(1，2，a+3) T， 2=(2，1，a+6) T， 3=(2，1，a+4) T 试问：当 a 为何值时，向量组(I)与( )等价?当 a 为何值时，向量组(I) 与()不等价?13 确定常数 a，使向量组 1=(1，1，a) T， 2=(1，n，1) T，
4、3=(a，1，1) T 可由向 量组 1=(1，l，a) T， 2=(-2， a，4) T， 3=(-2，a，a) T 线性表示，但向量组 1， 2， 3不能由向量组 1， 2， 3 线性表示14 已知齐次线性方程组 i: x 1+2x2+3x3=0； 2x 1+3x2+5x3=0； x 1+2x2+ax3=0； 和 ii: x1+bx2+cx3=0； 2x 1+b2x2+(c+1)x3=0； 同解，求 a，b，c 的值15 证明 1， 2， 3 线性无关；16 令 P=(1， 2， 3)，求 P-1AP考研数学三（线性代数）模拟试卷 9 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个
5、选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 n 个 n 维向量相丨 1， 2，.， n 丨=0，显然丨 1， 3， 4 丨=所以 1， 3， 4 必线性相关故选(C)【知识模块】 线性代数二、填空题2 【正确答案】 -1【试题解析】 【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 因为增广矩阵 A 的行列式是范德蒙行列式 丨 A 丨=( 2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)0， 故 r(A)=4而系数矩阵 A 的秩 r(a)=3，所以方程组无解【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 当 1=3=
6、k， 2=4=-k(k0)时，方程组同解于 x1+kx2+k2x3=k3;x1-kx2+k2x3=-k3;n-r(A)=3-2=1，知导出组 Ax=0 的基础解系含有 1 个解向量那么=1-2= 是 Ax=0 的基础解系于是方程组的通解为卢1+k=(-1，1 ，1) T+k(-2，0，2) T，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 若 a=-4，且 3b-c=1，有 r(A)=r(A)=21， 2， 3 线性表出，且表示法不唯一此时，增广矩阵化简为 取 x1 为自由变量，解出 x1=t， x3=26+1，x 2=-2t-b-1，即 =t1-(2t+b+1)2+(2b+1
7、)3，其中 t 为任意常数【试题解析】 能否由 1， 2， 3 线性表出等价于方程组 x11+x22+x33= 是否有解通常用增 广矩阵作初等行变换来讨论本题是三个方程三个未知数，因而也可从系数行列式讨论【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 由 2， 3， 4 线性无关及 1=22-3 知，向量组的秩r(1， 2， 3,4)=3，即矩阵 A 的秩为 3因此 Ax：0 的基础解系中只包含一个向量那么由( 1， 2， 3,4) =1-22+3=0 知，Ax=0 的基础解系是(1，-2，1，0) T再由 =1+2+3+4=(1， 2， 3,4) 知，(1，1，1，1) T 是Ax= 的一个特解故
8、Ax= 的通解是 k(1，-2，1，0) T+(1，1，1，1) T，其中 k 为任意常数【试题解析】 方程组的系数没有具体给出，应当从解的理论，解的结构人手来求解【知识模块】 线性方程组7 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k 3，使得 k 11+k22+k33= 记 A=(1， 2， 3)，对矩阵(A：)施以初等行变换，有当a=0，b 为任意常数时。有 可知 r(A)r(A：)故方程组无解， 不能由 1， 2， 3 线性表示【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 当 a0，且 ab 时，r(A)=r(A：)=3，故方程组有唯一解 k 1=1-1/a,k2=1/a,k3=0 则 可由 1，
9、 2， 3 唯一地线性表示，其表示式为 =(1-1/a)1+1/a2【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 当 a=b0 时，对(A:) 施以初等行变换，有可知 r(A)=r(A:B)=2，故方程组有无穷多解，其全部解为 k1=1-1/a， k2=1/a+c，k 3=c，其中 c 为任意常数 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为 =(1-1/a)1+(1/a+c)2+c3【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 设 1， 2， 3.是非齐次方程组的 3 个线性无关的解，那么 1-2， 1-3 是 Ax=0 线性无关的解，所以 n-r(A)2，即 r
10、(A)2 显然矩阵 A 有 2 阶子式不为 0，又有 r(A)2，从而 r(A)=2【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有由 r(A)=r(A)=2，知a=2，b=-3又 a=(2，-3，0，0) T 是 Ax=b 的解， 1=(-2，1，1，0) T， 2=(4，-5，0，1) T 是 Ax=0 的琏础解系，所以方程组的通解是 +k11+k22(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 对( 1， 2， 3 丨 1， 2， 3 作初等行变换，有( 1， 2， 3 丨1， 2， 3)=(1)当 a-1 时，行列式丨 1， 2， 3 丨
11、=a+10，由克莱姆法则，知三个线性方程组x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有唯一解所以， 1， 2， 3 可由向量组(I)线性表出 由于行列式丨 1， 2， 3 丨=故对 Va，方程组x11+x22+x33=j(j=1，2， 3)均有唯一解所以， 1， 2， 3 可由向量组(I)线性表出恒有唯一解，即 1， 2， 3 总可由向量组()线性表出因此，当 a-1 时，向量组(I)与( )等价(2)当 a=-1 时，有 由于秩r(1， 2， 3)r(1， 2， 3， 1)，线性方程组 x11+x22+x33=1 无解，故向量 1 不能由 1， 2， 3 线性表示因此，向量组(I)与()
12、不等价【试题解析】 所谓向量组(I)与(II)等价，即向量组 (I)与()可以互相线性表出若方程组 x11+x22+x33= 有解，即 可以由 1， 2， 3 线性表出若对同一个 a，三个方程组 x11+x22+x33=i(i=1，2，3)均有解，即向量组(II)可以由(I) 线性表出【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 方法一：因为 1， 2， 3 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，故三个方程组 x11+x22+x33=i (i=l，2，3)均有解对增广矩阵作初等行变换，有可见 a4 且 a-2 时，1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表示向量组 1， 2， 3 不能由向量组
13、1， 2， 3线性表示，即有方程组 x11+x22+x33=j(j=l，2，3)无解对增广矩阵作初等行变换，有 可见 a=1 或a=-2 时， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表示因此 a=1 时向量组 1， 2， 3 可由向量组 1， 2， 3 线性表示，但 1， 2， 3 不能由口 1， 2， 3 线性表示方法二：因为 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表出，所以 r(1， 2， 3 )r(1， 2， 3),又因1， 2， 3 不能由 1， 2， 3 线性表出，故必有 r(1， 2， 3)1， 2， 3).于是r(1， 2， 3)1， 2， 3 丨= =-(a-1)2(a+2
14、)=0，解出 a=1 或 a=-2而(1， 2， 3)= 当 z=-2 时，r( 1， 2， 3)=2，r( 1， 2， 3)=2，不满足 r(1， 2， 3)1， 2， 3)，故 a=-2 应舍去当 a=1 时，1=2=3=1，可见 1， 2， 3 可由 1， 2， 3 线性表出但 2=(-2，1，4) T， 3=(-2，1，1) T 不能由 1， 2， 3(1，1，1) T 线性表出，因此 a=1 为所求.【试题解析】 若方程组 x11+x22+x33=i 有解，则 i 可由 1， 2， 3 线性表示，若方程组 x11+x22+x33=j 无解，则 j 不能由 1， 2， 3 线性表示【知
15、识模块】 线性代数14 【正确答案】 因为方程组(ii)中方程个数 =2-a=0 a=2对(i) 系数矩阵作初等行变换，有 可求出方程组(i)的通解是 k(-1，-1，1) T因为(-1，-1，1) T 应当是方程组(ii)的解，故有-1-b+c=0;-2-b 2+c+1=0;b=a,c=2 或b=0，c=1当 b=0，c=1 时，方程组(ii)为 x1+x3=0;2x1+2x3=0;因其系数矩阵的秩为1从而(i)(ii)不同解，故 b=0，c=1 应舍去,当 a=2， b=1，c=2 时，(i) 与(ii)同解【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 由特征值特征向量定义有：A 1=-1，A 2=2 设k11+k22+k33=0， 用 A 乘得：-k 11+2k22+k3(2+3)=0 - 得：2k11-k32=0 因为 1,2 是矩阵 A 不同特征值的特征向量， 1， 2 线性无关，所以 k1=0，k 2=0代入有 k22=0因为 2 是特征向量， 20，故 k2=0从而1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 由 A1=-1，A 2=2，A 3=2+3 有 A(1， 2， 3)=(-1， 2， 2+3)=(1， 2， 3) 所以 P-1AP=【知识模块】 线性代数
