1、考研数学三（线性方程组）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 对于 n 元方程组，下列命题正确的是（A）如果 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（B）如果 Ax=0 有非零解，则 Ax=b 有无穷多解（C）如果 Ax=b 有两个不同的解，则 Ax=0 有无穷多解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n2 已知 1， 2， 3， 4 是 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可选用（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1， 2， 3， 4 的等价向量组 1， 2， 3， 4（C） 1， 2， 3， 4 的
2、等秩向量组 1， 2， 3， 4（D） 1+2， 2+3， 3-4， 4-13 已知 1， 2 是 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2 是相应齐次方程组 Ax=0 的基础解系，k 1，k 2 是任意常数，则 Ax=b 的通解是4 设 A 是秩为 n-1 的 n 阶矩阵， 1 与 2 是方程组 Ax=0 的两个不同的解向量，则Ax=0 的通解必定是（A） 1+2（B） k1（C） k(1+2)（D）k( 1-2)5 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3， 4 是非齐次方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解
3、向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量6 设有齐次线性方程组 Ax=0 和 Bx=0，其中 A，B 均为 mn 矩阵，则下列命题若 Ax=0 的解均是 Bx=0_的解，则秩 r(A)r(B)若秩 r(A)r(B)，则 Ax=0 的解均是 Bx=0 的解若 Ax=0 与 Bx=0 同解，则秩 r(A)=r(B)若秩 r(A)=r(B)，则 Ax=0 与 Bx=0 同解中正确的是（A），（B） ，（C） ，（D），二、填空题7 设 A 是 n 阶矩阵，对于齐次线性方程组 Ax=0如 A 中每行元素之和均为 0，且 r(A)=n-1，则方程组的通解是 _.8 设 A 是 n
4、 阶矩阵，对于齐次线性方程组 Ax=0 如 r(A)=n-1，且代数余子式A110，则 Ax=0 的通解是_，Ax=0 的通解是_，(A *)*x=0 的通解是_9 已知 1， 2 是方程组 的两个不同的解向量，则a=_10 设 A 是秩为 3 的 54 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=b 的三个不同的解，若 1+2+23=(2， 0，0，0) T， 3 1+2=(2，4，6，8) T，则方程组 Ax=b 的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 已知 1=(-9，1，2，11) T， 2=(1，-5，13，0) T， 3=(-7，-9，24，11)
5、T 是方程组的三个解，求此方程组的通解12 解齐次方程组13 解方程组14 设 A= ()求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；() 对() 中任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关15 设 A= 已知方程组 Ax=b 有无穷多解，求a 的值并求其通解16 讨论 a，b 取何值时，下列方程组无解、有唯一解、有无穷多解，有解时求出其解17 设 A= 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解，()求 ，a；() 求方程组 Ax=b 的通解18 设齐次线性方程组 其中 a0，b0，n2 试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解? 当有无穷多解时，求出其全部
6、解，并用基础解系表示全部解19 设方程组() 与方程组()x 1+2x2+x3=n-1 有公共解，求 a的值及所有公共解20 设 4 元齐次线性方程组()为 而已知另一 4 元齐次线性方程组() 的一个基础解系为 1=(2，-1，a+2，1) T， 2=(-1，2，4，a+8) T (1)求方程组() 的一个基础解系； (2) 当 a 为何值时，方程组()与()有非零公共解?若有，求出其所有非零公共解21 已知 1=(0，0，1，0) T， 2=(-1，1，0，1) T 是齐次线性方程组()的基础解系，1=(0，1，1，0) T， 2=(-1，2，2，1) T 是齐次线性方程组()的基础解系，
7、求齐次线性方程组() 与()的公共解22 已知齐次线性方程组同解求a，b，c 的值23 设 A 是 mn 实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，证明方程组()：Ax=0 和()：ATAx=0 是同解方程组24 已知 n 元齐次线性方程组 A1x=0 的解全是 A2x=0 的解，证明 A2 的行向量可以由 A1 的行向量线性表出 若线性方程组()A 1x=b1 和 ()A 2x=b2 都有解，且()的解全是( )的解，则 (A2，b 2)的行向量组可以由(A 1，b 1)的行向量组线性表出25 求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系是 1=(2，-1，1，1) T， 2=(-1，2，4，7) T2
8、6 已知 1， 2， 3 是齐次线性方程组 Ax=0 的一个基础解系，证明1+2， 2+3， 3+1 也是该方程组的一个基础解系27 设齐次线性方程组 的系数矩阵记为A，M j(j=1，2，n)是矩阵 A 中划去第 j 列所得到的行列式，证明：如果 Mj 不全为 0，则(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)T 是该方程组的基础解系考研数学三（线性方程组）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 当 r(A)=n 时，不一定有 r(A)=n注意，n 元方程组只表示 A 有 n个列向量，并不反映列向量的维数(即方程的
9、个数)，此时可以有 r(A)n ，那么方程组可能无解，所以(A) ， (B)，(D) 均不对对于(C)，从 Ax=b 有不同的解，知Ax=0 有非零解，进而有无穷多解【知识模块】 线性方程组2 【正确答案】 B【试题解析】 本小题中(A)，(D) 均线性相关 ( 1+2)-(2+3)+(3+4)-(4+1)=0， (1+2)-(2+3)+(3-4)-(4-1)=0， 用简单的加减可排除 (A)，(D)关于(C)，因为等秩不能保证 i 是方程组的解，也就不可能是基础解系至于 (B)，由等价知1， 2， 3， 4 是解，从 r(1， 2， 3， 4)=r(1， 2， 3， 4)=4，得到1， 2，
10、 3， 4 线性无关，故(B)正确【知识模块】 线性方程组3 【正确答案】 B【试题解析】 不是 Ax=b 的解，从解的结构来看应排除 (A)，(C)，虽 1-2， 1 都是 Ax=0 的解，但是否线性无关不能保证，能否成为基础解系不明确，(D)应排除由 1， 2 是基础解系，得 1， 1-2 线性无关是基础解系，而是 Ax=b 的解，故 (B)正确【知识模块】 线性方程组4 【正确答案】 D【试题解析】 因为通解中必有任意常数，显见(A)不正确由 n-r(A)=1 知 Ax=0 的基础解系由一个非零向量构成 1， 1+2 与 1-2 中哪一个一定是非零向量呢? 已知条件只是说 1， 2 是两
11、个不同的解，那么 1 可以是零解，因而 k1 可能不是通解如果 1=-20，则 1， 2 是两个不同的解，但 1+2=0 两个不同的解不能保证 1+20因此要排除(B)、(C)由于 12，必有 1-20可见(D)正确【知识模块】 线性方程组5 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查齐次方程组 Ax=0 的基础解系中解向量的个数也就是要求出矩阵 A 的秩由于 因为 A*0，必有 r(A*)1，故 r(A)=n 或 n-1又因 1， 2， 3， 4 是 Ax=b 互不相同的解，知 1-2 是Ax=0 的非零解，而必有 r(A)n从而 r(A)=n-1因此 n-r(A)=n-(n-1)=1，即Ax=
12、0 只有一个线性无关的解故应选(B).【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 B【试题解析】 命题显然错误，可排除 (C)、(D)对于(A)和(B)必有一个是正确的因此命题必正确由正确，可知 必正确所以应选 (B)请读者直接证明命题正确，并举例说明 不正确【知识模块】 线性方程组二、填空题7 【正确答案】 k(1，1，1) T【试题解析】 从 r(A)=n-1 知 Ax=0 的基础解系由 1 个解向量组成，因此任一非零解都可成为基础解系因为每行元素之和都为 0，有 ai1+ai2+ain=1.ai1+1.ai2+1.ain=0， 所以，(1，1，1) T 满足每一个方程，是Ax=0 的解，故
13、通解是 k(1，1，1) T【知识模块】 线性方程组8 【正确答案】 k(A 11，A 12，A 1n)T；k 1e1+k2e2+knen；【试题解析】 对 Ax=0，从 r(A)=n-1 知基础解系由 1 个解向量所构成因为AA*=AE=0 ，A *的每一列都是 Ax=0 的解现已知 A1f0，故(A11， A12，A 1n)T 是 Ax=0 的非零解，即是基础解系，所以通解是k(A11，A 12，A 1n)T 对(A *)*x=0，同上知 r(A*)=1，当 n3 时，r(A *)*)=0，那么任意 n 个线性无关的向量都可构成基础解系例如，取 e 1=(1，0，0)T，e 2=(0，1，
14、) T，e n=(0，0，1) T，得通解 k1e1+k2e2+knen 如n=2，对于 A=那么(A *)*x=0的通解是 【知识模块】 线性方程组9 【正确答案】 -2【试题解析】 因为 1， 2 是方程组两个不同的解，故方程组有无穷多解因此秩r(A)= 3，对增广矩阵作初等行变换有易见仅当 a=-2 时，r(A)= =23故知 a=-2【知识模块】 线性方程组10 【正确答案】 【试题解析】 由于秩 r(A)=3，所以齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 4-r(A)=1 个向量所构成又因为 ( 1+2+23)-(31+2)=2(3-1)=(0，-4，-6，-8) T 是 Ax=0 的解，
15、即其基础解系可以是(0，2，3，4) T由 A(1+2+23)=A1+A2+2A3=4b，知(1+2+23)是方程组 Ax=b 的一个解那么根据方程组解的结构知其通解是【知识模块】 线性方程组三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。11 【正确答案】 A 是 34 矩阵，r(A)3 ，由于 A 中第 2，3 两行不成比例，故 r(A)2，又因 1=1-2=(-10，6，-11，11) T， 2=2-3=(8，4，-11，-11) T 是 Ax=0 的两个线性无关的解，于是 4-r(A)2，因此 r(A)=2，所以 1+k11+k22 是通解【试题解析】 求 Ax=b 的通解关键是求
16、Ax=0 的基础解系， 1-2， 2-3 都是 Ax=0的解，现在就要判断秩 r(A)，以确定基础解系中解向量的个数【知识模块】 线性方程组12 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换化为阶梯形矩阵由 n-r(A)=4-2=2，基础解系由 2 个向量组成，每个解中有 2 个自由变量 令x2=1， x4=0，解得 x3=0， x 1=2；令 x2=0，x 4=2，解得 x3=15， x 1=-22于是得到1=(2，1，0，0) T， 2=(-22，0，15，2) T，通解是 k11+k22【知识模块】 线性方程组13 【正确答案】 对增广矩阵高斯消元化为阶梯形由 r(a)= =3，方程组有解，n-
17、r(A)=1 有 1 个自由变量 先求相应齐次线性方程组的基础解系，令 x3=2，解出 x4=0，x 2=-1，x 1=-1，所以齐次方程组通解是 k(-1，-1， 2，0) T 再求非齐次线性方程组的特解，令 x3=0，解出【知识模块】 线性方程组14 【正确答案】 () 对增广矩阵(A ： 1)作初等行变换，有得 Ax=0 的基础解系(1， -1，2) T 和 Ax=1 的特解 (0，0，1) T 故 2=(0，0，1) T+k(1，-1，2) T 或2=(k，一 k，2k+1) T，其中 k 为任意常数因为 A2= ，对增广矩阵(A2： 1)作初等行变换，有得 A2x=0 的基础解系(-
18、1，1，0) T，(0，0，1) T又 A2x=1 有特解其中 t1，t 2 为任意常数 ()因为所以 1， 2， 3必线性无关【试题解析】 其实求 2 和 3 就是分别求方程组 Ax=1 与方程组 A2x=1 的通解【知识模块】 线性方程组15 【正确答案】 线性方程组 Ax=b 有无穷多解 对增广矩阵作初等行变换，有于是方程组的通解为：(3，-1，0) T+k(-7，3，1) T【知识模块】 线性方程组16 【正确答案】 将增广矩阵用初等行变换化为阶梯形，即讨论：() 当 a=-1，b36 时，r(A)=3， =4 方程组无解；()当 a-1，a6 时，r(A)= =4，方程组有唯一解，由
19、下往上依次可解出()当 a=-1，b=36 时，r(A)= =3，方程组有无穷多解，此时方程组化为令 x4=0，有 x3=0，x 2=-12，x 1=6，即特解是 =(6，-12，0，0) T 令 x4=1，解齐次方程组有 x3=0，x 2=5，x 1=-2，即 =(-2，5，0，1) T是基础解系所以通解为 +K=(6，-12 ，0，0) T+k(-2，5，0，1) T ()当 a=6 时，r(A)= =3，方程组有无穷多解，此时方程组化为【知识模块】 线性方程组17 【正确答案】 () 因为线性方程组 Ax=b 有 2 个不同的解，所以 r(A)= n由知 =1 或 =-1 当 =1 时，
20、必有 r(A)=1， =2此时线性方程组无解 而当 =-1 时，若 a=-2，则 r(A)= =2，方程组 Ax=b 有无穷多解故 =-1，a=-2()当 =-1，a=-2 时，所以方程组 Ax=b 的通解为 +k(1，0，1)T，其中 k 是任意常数【知识模块】 线性方程组18 【正确答案】 对系数矩阵作初等行变换，把第 1 行的-1 倍分别加至第 2 行到第n 行，有()如果 a=b，方程组的同解方程组是 x1+x2+xn=0由于 n-r(A)=n-1，取自由变量为x2，x 3，x n，得到基础解系为： 1=(-1，1，0，0) T， 2=(-1，0，1，0)T， ， n-1=(-1，0，
21、0， ，1) T方程组通解是： k11+k22+kn-1n-1，其中k1，k 2，k n-1 为任意常数()如果 ab，对系数矩阵作初等行变换，有若 a(1-n)b，则秩 r(A)=n，此时齐次方程组只有零解 若 a=(1-n)b，则秩 r(A)=n-1取 x1 为自由变量，则基础解系为 =(1，1，1) T，于是方程组的通解是：k，其中 k 为任意常数【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 1 把方程组 ()与()联立，得方程组 ()则方程组()的解就是方程组()与()的公共解 对方程组( )的增广矩阵作初等行变换，有当 a=1 时， ，此时方程组()的通解为后(-1，0，1) T(k
22、为任意常数)，即为方程组( )与( )的公共解当 a=2 时， ，此时方程组()有唯一解(0，1，-1) T，这亦是方程组()与()的唯一公共解2 先求出方程组()的解，其系数行列式 当 a1 且 a2 时，齐次方程组() 只有零解，但零向量不是方程组()的解，所以方程组()与( )的公共解只在 a=1 或 a=2 时才有可能 当 a=l 时，对方程组(I)的系数矩阵作初等行变换，有 得到方程组()的通解为 k(-1，0，1) T，而此解也是方程组() 的解故方程组() 与()的公共解为：k(-1 ，0，1) T，k 为任意常数 当 a=2 时，对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有故方程组(
23、I)的通解为 k(0，-1，1) T，后为任意常数 把x1=0， x2=-k，x 3=k 代入方程组()解出 k=-1 因此方程组()与()的公共解为(0，1， -1)T【试题解析】 本题有两种解法：一是根据两个方程组有公共解的条件知，把这两个方程组联立后的方程组也应有解，且其解即为所求的公共解；二是把一个方程组的解代入到另一个方程组，确立它们的公共解 【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 (1)对方程组() 的系数矩阵作初等行变换，有由于 n-r(A)=4-2=2，基础解系由 2 个线性无关的解向量所构成，取 x3，x 4 为自由变量，得 1=(5，-3，1，0) T， 2=(-3，2
24、，0，1) T 是方程组( )的基础解系 (2)设 是方程组()与()的非零公共解，则 =k 11+k22=l11+l22，其中 k1，k 2 与 l1，l 2 均是不全为 0 的常数 由 k11+k22-l11-l22=0，得齐次方程组() 对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有如果 a-1，则() 那么方程组()只有零解，即 k1=k2=l1=l2=0于是 =0不合题意当 a=-1 时，方程组()同解变形为 ，解出k1=l1+4l2，k 2=l1+7l2于是 =(l1+4l2)1+(l1+7l2)2=l11+l22所以 a=-1 时，方程组()与() 有非零公共解，且公共解是 l1(2，-
25、1，1，1) T+l2(-1，2，4，7) T【试题解析】 要求 n 元线性方程组的基础解系必须知道该线性方程组系数矩阵的秩 r 为多少，才能确定基础解系中所含线性无关的解的个数 n-r任意选取 n-r 个线性无关的解便是基础解系，因此，首先应求出或判定出方程组()的系数矩阵的秩【知识模块】 线性方程组21 【正确答案】 1 设齐次线性方程组 ()与()的公共解是 ，则 y=c11+c22=d11+d22， 从而 c11+c22-d11-d22=0解齐次线性方程组()(1， 2，- 1， -2)x=0，由( 1， 2，- 1，- 2)=得()的通解为 t(1，1，-1，1) T，即c1=c2=
26、t，d 1=-t，d 2=t从而方程组()和() 有非零公共解 T(1+2)=t(-1，1，1，1)T 2若() 的解 l11+l22=(-l2，l 1+2l2，l 1+2l2，l 2)T 是公共解，则它可由()的基础解系 1， 2 线性表出 可见 l1=-l2 时，r(1， 2，l 11+l22)=r(1， 2)=2故公共解是 l(1-2)=l(1，-1，-1，-1) T【知识模块】 线性方程组22 【正确答案】 因为方程组()中“ 方程个数未知数个数” ，所以方程组() 必有非零解.因此方程组 () 必有非零解从而() 的系数行列式必为 0，即有对方程组()的系数矩阵作初等行变换，有可求出
27、方程组()的通解是 k(-1，-1，1)T 由于(-1，-1，1) T 是方程组()的解，故有当 b=1，c=2 时，方程组()为 其通解是 k(-1，-1，1) T，所以方程组()与同解当b=0，c=1 时，方程组()为 由于秩 r()=1 ，而 r()=2，所以方程组()与() 不同解故 b=0，c=1 应舍去 从而当 a=2，b=1，c=2 时方程组()与()同解【知识模块】 线性方程组23 【正确答案】 如果 是()的解，那么 A=0，而 ATA=AT0=0，可见 是()的解 如果 =(a1，a 2，a n)T 是()的解，即 ATA=0，则 TATA=0 (A)T(A)=0不妨设 A
28、=(b 1，b 2，b m)T，则 (A) T(A)=b12+b22+bm2=0从而b1=b2=bm=0，即 A=0，所以()的解必是() 的解因此，()与()是同解方程组【试题解析】 所谓方程组同解即()的解全是()的解，()的解也全是( )的解，显然本题的难点是如何证()的解必是() 的解【知识模块】 线性方程组24 【正确答案】 因为 A1x=0 的解全是 A2x=0 的解，所以 A1x=0 与 同解那么 n-r(A1)=n-r 所以 A2 的行向量可以由 A1 的行向量线性表出因为 A1x=b1 的解全是 A2x=b2 的解，所以 A1x=b1 与 同解 如果 A1=b1，A 1=0，
29、则因 A1x=b1 的解全是 A2x=b2 的解，那么 和 + 都是A2x=b2 的解，而有 A2=b2 及 A2(+)=b2，从而 A2=0说明此时 A1x=0 的解全是A2x=0 的解，那么 所以(A 2，b 2)的行向量组可以由(A 1，b 1)的行向量组线性表出【知识模块】 线性方程组25 【正确答案】 由 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，知 n-r(A)=2，即 r(A)=2对于齐次方程组 =0，有 得基础解系(-2，-3，1，0) T，(-3，-5，0，1) T所以 为所求【试题解析】 由 A(1， 2)=0 有( 1， 2)TAT=0，可见 的解就是 AT 的列向量(即 A
30、的行向量) 【知识模块】 线性方程组26 【正确答案】 由 A(1+2)=A1+A2=0+0=0 知， 1+2 是齐次方程组 Ax=0 的解类似可知 2+3， 3+1 也是 Ax=0 的解 若 k1(1+2)+k2(2+3)+k3(3+1)=0，即 (k 1+k3)1+(k1+k2)2+(k2+k3)3=0，因为 1， 2， 3 是基础解系，它们是线性无关的，故 由于此方程组系数行列式 D= =20，故必有k1=k2=k3=0，所以 1+2， 2+3， 3+1 线性无关 根据题设，Ax=0 的基础解系含有 3 个线性无关的向量，所以 1+2， 2+3， 3+1 是方程组 Ax=0 的基础解系【
31、试题解析】 按基础解系的定义，要证三个方面： 1+2， 2+3， 3+1 是解；它们线性无关； 向量个数等于 n-r(A)【知识模块】 线性方程组27 【正确答案】 因为 A 是(n-1)n 矩阵，若 Mj 不全为 0，即 A 中有 n-1 阶子式非零，故 r(A)=n-1那么齐次方程组 Ax=0 的基础解系由 n-r(A)=1 个非零向量所构成 按第一行展开，有Di=ai1M21-ai2M2+ain(-1)1+nMn又因 Di 中第一行与第 i+1 行相同，知 Di=0因而 ai1M1-ai2M2+ain(-1)n-1Mn=0即(M 1，-M 2，(-1) n-1Mn)T 满足第 i 个方程(i=1，2，n-1)，从而它是 Ax=0 的非零解，也就是 Ax=0 的基础解系 【知识模块】 线性方程组
