1、教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 24 及答案与解析一、选择题1 计算一 32 的结果是( ) 。（A）一 9（B） 9（C）一 6（D）62 因数分解(x 一 1)2 一 9 的结果是( ) 。（A）(x 一 8)(x+1)（B） (x 一 2)(x-4)（C） (x 一 2)(x+4)（D）(x+2)(x-4)3 点 A、B、C 、D 、E 在正方形网格中的位置如图所示，则 sin 等于( )。4 不等式组 的解集是( )。（A）x 一 1x2（B） x-1x2（C） xv 一 1x2（D）x -1x25 如图在ABC 中，DE BC，若 AD：DB=1：3，DE=2，则 BC 等于(
2、 )。（A）8（B） 6（C） 4（D）26 ABO 的顶点坐标为 A(1，4) ，B(2，1)，若将ABO 绕点 0 逆时针方向旋转 90，得到ABO ，那么对应点 A和 B的坐标( )。（A）(一 4，2)(一 1，1)（B） (一 4，1)(一 1，2)（C） (一 4，1)(一 1，1)（D）(一 4，2)(-1，2)7 在半径为 r 的圆中，内接正方形与外接正六边形的边长之比为( )。8 若关于 x 的一元二次方程(k 一 1)x2+2x 一 2=0 有两个不相等实根，则 k 的取值范围( )。9 如图所示的物体左视图是( )。10 一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象
3、如图，则下列结论：k0； a0；当 x3 时，y 1y 2 中正确的个数是( )（A）0（B） 1（C） 2（D）311 将抛物线 y=x2 向下平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位后，所得新的抛物线的表达式是( ) 。（A）y=(x 一 1)2+2（B） y=(x-2)2+1（C） y=(x+1)2+1（D）y=(x+2) 2 一 112 某篮球队 12 名队员的年龄如下表所示，则这 12 名队员年龄的众数和中位数分别是( )。（A）2，19（B） 18，19（C） 2，195（D）18，19513 相交两圆的圆心距是 5，如果其中一个圆的半径是 3，那么另一个圆的半径可以是( )。（A
4、）2（B） 5（C） 8（D）1014 关于二次函数 y=2-(x+1)2 的图象，下列说法正确的是( )。（A）图象开口向上（B）图象的对称轴为直线 x=1（C）图象有最低点（D）图象的顶点坐标(-1,2)15 当 a0 时，函数 y=ax+l 与 在同一坐标中图象可能是( )。16 一张扇形纸片，圆心角AOB=120 ，AB= cm，用它围成一个锥形侧面，圆锥底面半径为( ) 。17 在矩形 ABCD 中，AB=16cm ，AD=6cm，动点 P、Q 分别从 A、C 两处出发，点 P 以 3cms 的速度向点 B 移动，一直到点 B，点 Q 以 2cms 向 D 移动，当P、Q 距离为 1
5、0cm 时，P、Q 两点从出发开始经过时间为( )s。18 在二行三列的方格棋盘上沿骰子的某一条棱翻滚(向对面分别为 1 和 6，2 和5，3 和 4)。在每一种翻动方式中，骰子不能后退，开始如图 1 所示，2 朝上，最后到图 2 形式，此时向上的点数不可能是( )。（A）5（B） 4（C） 3（D）119 已知矩形 ABCD，AD=5cm ，AB=7cm，点 E 为 DC 边上一点，将 RtAADE 沿AE 折叠。 D 点恰好落在 LABC 平分线上 F 点上，则 DE 的长为( )。（A）2cm（B） 2 或 3cm（C）（D）20 已知 BD 为正方形 A BCD 对角线，M 为 BD
6、上不同于 B、D 的一个动点，以AB 为边在 ABCD 侧边作等边三角形 ABE，以 BM 为边在 BD 左侧作等边三角形BMF，连接 EF、AM 、CM，当 AM+BM+CM 最短时，BCM=( ) 。（A）15（B） 45（C） 30（D）6021 设a n是公比为 g 的等比数列，则 “q1”是“a n为递增数列”的( )。（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件22 设 a=log36，b=log 02 01，c=log 714，则 a、b、c 大小关系是( )。（A）cb a（B） bca（C） ac b（D）ab c23 若复数 z 满足 ，
7、则 z 的虚部为 ( )。24 在 R 上定义运算 对任意实数 x 成立，则 a 为( ) 。（A）一 1a 3（B）一 3a1（C）（D）25 已知 m、n 是两条不同直线，、 是不同平面，给出下面四个命题若 m，n ，m n，则 ；若 m，n ，mn则 若 m，n ，mn，则 若 m，n ， ，则 mn真命题有( ) 。（A）（B） （C） （D）26 某几何体的三视图如图所示，则它的体积为( )。27 若函数 f(x)=(k 一 1)ax 一 ax(a0 且 a1)在 R 上既是奇函数，又是减函数，则g(x)=loga(x+k)的图象是( )。28 下列命题中假命题是( )。（A）过点(
8、一 1，2) 且与直线 垂直的直线方程是 2x-y+4=0（B）点 P(一 1，2) 在 的外部（C）离心率为 的双曲线的两渐近线互相垂直（D）抛物线 y2=3x 的焦点到准线的距离为29 现有 2 位男生和 3 位女生站成一排，若男生甲不站在两端，3 位女生中仅有 2位女生相邻，则不同的站法总数有( )。（A）36（B） 48（C） 72（D）7830 在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1 中，M 为 AC 与 BD 的交点，若，则下列向量中与 B1M 相等的向量是( ) 。31 设 a，b， c，x，yR ，令 xy0，x 是 a，b 的等差中项， y 是 b，C 的等差中项，若 a，
9、b，c 成等比数列，那么 的值为( )。（A）1（B） 2（C） 3（D）432 已知 f(x)=Asin(x+) 的部分图象如图所示，则 y=f(x)的图象向右平移 个单位后得到的图象解析式为( )。（A）y=sin2x（B） y=cos2x（C）（D）33 设点 B 为关于 B1 =( )。34 已知抛物线 C1 的准线为 l：x=一 4，焦点是双曲线 C2： 的右焦点 F2，若 C1 与 C2 一个交点为 P，则PF 2的值为( )。（A）（B）（C） 4（D）1035 设 F1，F 1 为椭圆的最大值和最小值的和是( ) 。36 已知 f(x)=sin(2x+)，其中 02 ，若f()
10、，则 的一个可能取值可以是( )。37 设数列a n)的前 n 项和为 Sn，令 称 Tn 为数列 a1，a 2，a n 的“理想数”，已知数列 a1，a 2，a 100 的理想数是 505，那么数列2，a 1，a 2，a 100 的理想数是( )。（A）501（B） 502（C） 503（D）50438 已知a n)，b n)均为等差数列，其前 n 项和分别为 Sn，T n。若等于( ) 。39 已知 P 为直线 A B 外一点，满足过 A 作 AMPC于 M，O 为 AB 中点，则OM=( )。（A）1（B） 2（C）（D）40 设指数函数 f(X)=ax(a0 且 a1)满足 f(1)f
11、(2)，且 f(1)+f(一 1)= 在有穷数列f(n)(n=1， 2，10) 中，任取前 k 项相加，则前 k 项和大于 的概率是( )。41 数列a n满足 a1=1， 则 a10=( )。42 曲线 上的点到直线 x+2y=15 的最小距离是( )。43 若 则 k=( )。（A）一 1（B） 0（C） 1（D）244 设随机变量 x 的分布密度为 则 a 的值为( )。（A）2（B） 0（C）一 1（D）一 345 设 f(x)在 x=0 的某个邻域内连续，f(0)=0， 则 f(x)在 x=x 处( )。（A）可导（B）可导且 f(0)0（C）取得极大值（D）取得极小值46 函数 f
12、(x)在1，2有连续导数，且 f(1)=1，f(2)=1， 12)f(x)dx=一 1，则 12xf(x)dx的结果是( ) 。（A）2（B） 1（C）一 l（D）一 247 设级数（A）绝对收敛（B）条件收敛（C）发散（D）收敛性不确定48 函数 y=y(x)在点 x 处增量满足 且 y(0)=，则 y(1)的值为( )。（A）2（B） （C）（D）49 线性方程组的增广矩阵为 则线性方程组有无穷多解时 的值为( )。（A）1（B） 4（C） 2（D）50 在过点 P(1，3，6)的所有平面中，有一平面，使之与三个坐标平面所围四面体的体积最小值是( ) 。（A）18（B） 48（C） 72（
13、D）81二、填空题51 记 M=-12014+(-3)0-( )-1+sin210+i6(i 为虚数单位 )，则 M 的值为_。52 曲线 在(1，1)处的切线方程为_。53 一组数据一 4，一 1，0，2，8 的方差等于_。54 过抛物线 y2=4x 的焦点，倾斜角为 45的直线方程为 _。55 设正数 a， b 满足 a+b=3，则 最大值为_。56 由函数 y=ex 的图象与 y=-2x，x=1，x=3 所围成的封闭面积为 _。三、解答题57 设数列a n的前 n 项和为 Sn，满足 Sn+1=3Sn 一 2n+1 一 1，(nN +)，且 a3-5，a 2+2，a 1 一 1 成等差数
14、列。 问题：(1)求 a1，a 2 的值； (2)求数列a n的通项公式。58 如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AB= AA1，点 D 是 A1B1 的中点，点 E在 A1C1 上，且 DE 垂直于 AE。 (1)证明：平面 ADE 垂直于平面 ACC1A1； (2) 求直线 AD 和平面 ABC1 所成角(用反三角函数表示 )。59 已知向量 m=(sinx，cosx)，n=(cosx ，cosx) ，f(x)=m.n，(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)若 f(x)1，求 x 的取值范围。60 已知椭圆 的一个顶点为 B(0，3)，椭圆的右焦点到右顶点的距离为 ，直线 l
15、 交椭圆于 M，N 两点。 问题： (1)求椭圆的方程： (2)如果BMN 的重心恰好为椭圆的左焦点 F，求直线 l 的方程。61 已知函数 f(x)=x3 一 x2+6x+c，(1) 若函数 f(x)的图象上有与直线 平行的切线，求 b 的取值范围；(2)若 f(c)在 x=1 处取得极值，且 x一 1，2时 f(x)c 2 恒成立，求 c 的取值范围。四、案例分析62 反比例函数的图象与性质的教学片段 老师：请同学画一次函数 y=2x-3 的图象。 学生 1：(走上黑板) 取两点(1，一 1)( ，0)，然后画出一条直线。 老师( 接着要求)：画反比例函数 的图象。 学生 2(自信地走到黑
16、板前)：类似取两点(1，2)(2，1)，也画出来了一条直线。 注：此时教室里出现了同学们的窃窃私语，有认为画得对，也有认为画得不对的，有一部分学生傻傻地盯着老师看，想从他这里得到答案。 学生 3(大胆地站起来对学生 2 说)：从解析式上看 y 不能等于 0，即 与 x 轴不会有交点，你怎么有交点了，我想你可能错了。 老师(及时肯定学生 3)能用函数解析式来分析问题，不简单啊! 学生 4：若 x0，从解析式上看，无论 x 取多大，函数值 y 均是一个正数，而从画出的图象看，此时有些函数值是负数这不可能啊! 老师：有的同学不光会看解析式，并且还会看图象了，有进步。 老师：函数 y=2x一 3 为什
17、么只要找到两点就可以画出图象? 学生 5：因为以前画一次函数的图象前。找到好多点画在坐标系中，发现这些点都在一条线上，所以得出一次函数的图象是一直线而两点可以确定一直线。 老师：好!讲得好!同学们应该知道下面怎么办了吧。 问题： (1)分析上述教学片段，教学过程中师生哪些教学行为值得肯定? (2)分析上述教学过程中存在的问题，并进行改进。五、简答题63 抽象是数学的本质特征，数学的抽象性表现在哪些方面?请举例。教师公开招聘考试（中学数学）模拟试卷 24 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 实数运算先算乘方(开根)，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的，同一级运算一
18、样，按照从左到右的顺序依次进行。2 【正确答案】 D【试题解析】 原式=(x 一 1+3)(xl 一 3)=(x+2)(x 一 4)。因式分解中常用的公式有：完全平方公式：(a+6) 2=a2+2ab+b2；(a-b) 2=a2 一 2ab+b2；平方差公式：(a+b)(a-b)=a2 一 b2； 十字相乘法公式：x 2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b)等。3 【正确答案】 D【试题解析】 由角的正弦值定义可得，正确选项为 D。4 【正确答案】 A【试题解析】 分别解两个不等式，得到的解集是xx2和xx一 1，取交集得x一 1x2 。5 【正确答案】 A【试题解析】 由于 DEBC，所
19、以 DE：BC=AD： AB，又由 AD：DB=1：3，所以 AD：AB=1：4，由 DE=2 得 BC=8。6 【正确答案】 B【试题解析】 如图所示， 分别过 A、A做 x 轴的垂线，垂足为 C、C，由于ABO 是将 AABO 绕点 D 逆时针方向旋转 90得到的，所以 AO=AO，1=2，所以 所以 AC=CO=1，CO=AC=4，所以 A的坐标为(-4，1)。同理可得，B坐标为(一 1，2)。7 【正确答案】 D【试题解析】 圆内接正方形的边长等于。8 【正确答案】 C【试题解析】 由于该方程是关于 X 的一元二次方程，所以有二次项系数不为 0，即 k1，再由方程有两个不等实根，即0，
20、解得 故答案为 C。9 【正确答案】 D10 【正确答案】 B【试题解析】 由一次函数 y1=kx+b 的图象可知，该函数在 R 上单调递减且与 y 轴的正半轴相交，由此可得 k0，b 0。同理，由一次函数 y2=x+a 的图象可知，该函数与 Y 轴的负半轴相交，可得 a0。当 x3 时， y1=kx+b 的图象始终在y2=x+a 图象的上方，所以 y1y 2。所以题中结论正确的只有 。11 【正确答案】 D【试题解析】 平移规律为“左加右减，上加下减”，故此题选 D。12 【正确答案】 B【试题解析】 众数是一组数据中出现次数最多的数值，本题中是 18；当数据个数N 为奇数时，处于中间位置的
21、数值即为中位数；当 N 为偶数时，中位数则为处于中间位置的 2 个数的平均数，本题中 N=12，中位数为 19。13 【正确答案】 B【试题解析】 设两圆的半径分别为 r1 和 r2，圆心距为 d，其中 r1=3，d=5 ，则存在以 r1，r 2，d 为三边的三角形，即满足 dr1r 2d+r 1，即 222 可能取的值为5，选 B。14 【正确答案】 D【试题解析】 由一次函数图象的性质可知，其开口方向向下，有最大值 2，对称轴为 x=一 1，顶点坐标(一 1，2)。二次函数 y=a(x+h)2+k(a0)中，a 决定了二次函数图象的开口方向，顶点坐标为(一 h，k)。15 【正确答案】 C
22、【试题解析】 函数 y=ax+1 过顶点(0，1)，排除 B、D；当 a0 时，函数 y=ax+l单调递增，函数 的图像在一、三象限分别单调递减，可得正确选项为 C。16 【正确答案】 A【试题解析】 在AOB 中解三角形得 AO=BO=2 cm。又由弧长公式得17 【正确答案】 C【试题解析】 设 P、Q 两点从出发开始经过时间为 t，则AP=3t，CQ=2t，PQ=10，由勾股定理得 PQ2=AD2+(AB-AP-CQ)2，代入得102=62+(165t)2，经计算得到 ，选择 C。18 【正确答案】 D【试题解析】 如图所示，第一种路径：滚动到位置 1 处，1 在下，则 6 在上；滚动到
23、位置 2 处，2 在下，5 在上：滚动到 3 处，3 存下，则 4 在上；第二种路径：滚动到位置 1 处，1 在下，则 6 在上；滚动到 4 处，3 号在下，4 在上；滚动到 3 处，2 在下，5 在上；第三种路径：滚动到 5 处，3 在下，4 在上；滚动到 4 处，1 在下，6 在上，滚动到 3 处，4 在下，3 在上；所以最后朝上的可能性有 3，4，5，而不会出现 1，2。故选 D。19 【正确答案】 C【试题解析】 根据题意，将 RtADE 沿 AE 折叠，D 点恰好落在 ABC 的角平分线上(点 F 处 )，则 F 为以点 A 为圆心，线段 AD 长为半径的圆与ABC 的角平分线的交点
24、。如图 1，过 A 作ABC 的角平分线的垂线，垂足为 H。在 RtABH 中，所以 AHAD，则ABC 的角平分线上存在两个点 (图 1 中F1，F 2 所示)，经过翻折后，D 点恰好落在上面。下面计算 DE 的长度。如图 2，过点 F 作 AB，BC 的垂线，交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，交 BC于点 P。设 MF=x则 PF=BM=x，AM=7-x 。又 AF=AD=5，所以有 x2(7-x)2=52,解得 x=3 或 4。在 RtENF 中，设 EF=a，当 MF=3 时，AM=7-3=4，FN=5 3=2，EN=4-a，a 2=22+(4-A)2，解得 当 MF=4 时,A
25、M=7-4=3，FN=5-4=1，EN=3-a， A2=12+(3-A)2，解得20 【正确答案】 A【试题解析】 AM+BM+CM 最短时，点 E，M，C 共线，且最短值等于线段 EC的长度。证明：连接 EC 与 BD 交于点 M，则BCE= (180一EBC)=15 ，VBME=DBC+BCE=45+15=60，所以在 ME 上取点 F 使得 FM=BM 就得到题目中所说的等边BMF 。又BEF BAM(SAS)，所以 AM=EF。于是有AM+BM+CM=EF+FM+CM=EC。可以验证，此时的线段和是最短的。 21 【正确答案】 D【试题解析】 等比数列a n递增有且只有下面两种情形：
26、a10 且0q1；a 10 且 ql。所以“q 1”不能推出“等比数列a n为递增数列”，“等比数列a n)为递增数列 ”也不能推出 “q1”。22 【正确答案】 D【试题解析】 a=log 36=log3(23)=log32+1，b=log 02 01=log 510=log5(25)=log52+l，c=log 714=log7(27)=log72+1，因为 log32log 22log 72，所以 abc。23 【正确答案】 C【试题解析】 由24 【正确答案】 A【试题解析】 根据题目定义的运算，得不等式(x 一 a) (x+a)=(x 一 a)2-(x+a)4，即-x 2+2x+a2
27、 一 2a 一 40 对任意实数 x 恒成立，即=4+4(a 2-2a-4)0，解得一 1a3。25 【正确答案】 A【试题解析】 中 和 可以相交。26 【正确答案】 B【试题解析】 根据题意由几何体的三视图知几何体是如图所示的四棱台ABCDA1B1C1D1， 它是四棱锥 P-BCD 的一部分其中PD底面 ABCD，PD=2DD 1=4，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形，点A1，B 1，C 1，D 1 分别是 PA，PB，PC，PD 的中点。所以27 【正确答案】 A【试题解析】 函数 f(x)是奇函数，则有 F(0)=(k 一 1)一 1=0，得 k=2。f(x)=a x 一 a-x
28、。又 f(x)在 R 上是减函数，则有 0a1。所以 g(x)=loga(x+2)是减函数，且过点(一 1， 0)，A 项正确。28 【正确答案】 B【试题解析】 A 项，由直线 可得出所求直线的斜率为 2，再代入点(一 1， 2)验证即可知 A 项所述命题为真命题； B 项，将点 P(一 1，2)代入方程的内部，B 项所述命题为假命题；C 项，双曲线离心率为两渐近线相互垂直，C 项所述命题为真命题；D 项，由抛物线D 项所述命题为真命题。29 【正确答案】 B【试题解析】 选择 2 位女生相邻并进行排列，有 A32=6 种情况，将选好的 2 位女生看作一个整体，另一位女生位于她们的左边或右边
29、，有 A22=2 种情况。男生甲位于上述两者之间，对另一位男生进行插空，有 41=4 种情况。所以，共有A32A22A41=48 种情况。30 【正确答案】 A【试题解析】 31 【正确答案】 B【试题解析】 由题意，2x=a+b，2y=b+c，b 2=ac，则本题还可用特殊值法，根据题意，设 a=2，b=4，c=8 ，则 x=3，y=6，所以32 【正确答案】 D【试题解析】 由图可知该正弦函数最大值为 1，故33 【正确答案】 A【试题解析】 如图点 B 关于34 【正确答案】 D【试题解析】 抛物线 C1 的焦点足双曲线 C2 的右焦点，抛物线 C1 的准线为 L：x=-4，抛物线的焦点
30、为(4，0)，所以F 1F2=8 ，如图，设PF 2=m，则 MP=m，F 1，F 2 为双曲线的焦点，PF 2=PF 2+4=m+4，所以 可构造等式MF 1 2+(MPF 1F2) 2=PF 2 2，即 8m+16+(m 一 8)2=m2，解得 m=10。35 【正确答案】 C【试题解析】 是对勾函数，在区间1，2上为单调递减，故最大值和最小值在 f(1)和 f(2)处取得，和为36 【正确答案】 C【试题解析】 答案为 C。37 【正确答案】 B【试题解析】 由于数列 a1，a 2，a 100 的理想数是 505 可知，38 【正确答案】 B【试题解析】 由已知，39 【正确答案】 A【
31、试题解析】 由 即 PC 是APB 的角平分线。如图， 延长 AM 交 PB 延长线于点 A，因为AMPM，则有 PA=PA，M 是 AA中点。AAB 中，O 是 AB 中点，所以 OM是中位线，即40 【正确答案】 B【试题解析】 指数函数 f(x)=ax 单调，由于 f(1)f(2)，则 f(x)为单调递减函数，则0a1。f(1)+f(一 1)=41 【正确答案】 A【试题解析】 42 【正确答案】 C【试题解析】 设与直线 x+2y=15 平行的曲线 的切线方程为 x+2y=m，代入曲线方程得 4(m 一 2y)2+9y2=144，化简得 25y2 一 16my+4m2144=0，由=(
32、一 16m)2-425(4m2-144)=0，得 m=10，所以曲线 上的点到直线x+2y=15 的最小距离是直线 x+2y=15 到直线 x+2y=10 的距离，为43 【正确答案】 D【试题解析】 当 k=0 时， 0+e-kxdx=+；当 k0 时，故 k=2。44 【正确答案】 A【试题解析】 -+f(x)dx=01xdx+12(a-x)dx+0=a-1=1，所以 a=2。45 【正确答案】 A【试题解析】 由导数的定义有即 f(x)在 x=0 处可导且 f(0)=0。另外，题设条件无法判断，函数 f(x)在 x=0 处是否取到极值。46 【正确答案】 A【试题解析】 12xf(x)d
33、x=12xdf(x)=xf(x) 12-12f(x)dx=2f(2)1f(1)一(一 1)=2。47 【正确答案】 A【试题解析】 因为48 【正确答案】 D【试题解析】 因为 此方程为可分离变量的微分方程，求得 lny=arctanx+C，因为 y(0)=，故 C=ln，易得49 【正确答案】 D【试题解析】 线性方程组有无穷多解，则方程组系数矩阵的秩 r(A)应小于于方程组未知数的个数 n，n=2 ，则 r(A)=1，则50 【正确答案】 D【试题解析】 应用拉格朗日乘数法。设平面方程 Ax+By+Cz=1，其中 A，B，C 为正数，则它与三个坐标平面围成的四面体体积为 且 A+3B+6C
34、=1，令F(A，B ，C，)=ABC+(A+3B+6C 1)，则由二、填空题51 【正确答案】 【试题解析】 1 的任何次方都等于 1，任何非 0 数的 0 次方都等于 1，52 【正确答案】 x+y 一 2=0。【试题解析】 设 则 f(1)一 1，所以在点(1 ，1) 处的切线方程为 y 一 1=一(x 一 1)，即 x+y 一 2=0。53 【正确答案】 16。【试题解析】 这组数据的平均数为 1，方差为 S2= (一 41)2+(一 11)2+(0 一 1) 2+(2 一 1)2+(81)2=16。54 【正确答案】 x-y-1=0。【试题解析】 抛物线 y2=4x 的焦点为(1，0)，倾斜角为 45的直线斜率为 1，则直线方程为 x-y-1=0。55 【正确答案】 。【试题解析】 根据不等式的性质有：56 【正确答案】 e 3-e+8。
