1、2012 年湖北大学专升本（高等数学）真题试卷及答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 函数 f(x)=ln(1-x)+ 的定义域为( )（A）-2，-1（B） -2，1（C） -2，1)（D）(-2，1)2 3 点 x=0 是函数 y= 的( )（A）连续点（B）跳跃间断点（C）可去间断点（D）第二类间断点4 下列极限存在的有( )5 当 x0 时，ln(1+x 2)是比 1-cosx 的( )（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但不等价无穷小6 设函数 f(x)= 则( )（A）f(x)在 x=-1 处连续，在 x=0 处不连续（B
2、） f(x)在 x=0 处连续，在 x=-1 处不连续（C） f(x)在 x=-1，0 处均连续（D）f(x)在 x=-1，0 处均不连续7 过曲线 y=arctanx+ex 上的点(0，1)处的法线方程为( )（A）2x-y+1=0（B） x-2y+x=0（C） 2x-y-1=0（D）x+2y-2=08 设函数 f(x)在 x=1 处可导，且 f(x)=f(1)-3x+a(x)，且 =0，则 f(1)=( )（A）-1（B） 1（C） -3（D）39 若函数 f(x)=(lnx)x(x1)，则 f(x)=( )（A）(lnx) x-1（B） (lnx)x-1+(lnx)ln(lnx)（C）
3、(lnx)xln(lnx)（D）x(lnx) x10 设函数 y=y(x)由参数方程 =( )（A）-2（B） -1（C） -（D）11 下列函数中，在区间-1，1上满足罗你定理条件的是( )（A）y=e（B） y=ln|x|（C） y=1-x2（D）y=12 曲线 y=x3+5x-2 的拐点是( )（A）x=0（B） (0，-2)（C） x=0，y=-2（D）无拐点13 曲线 y= ( )（A）只有水平渐近线（B）既有水平渐近线，又有垂直渐近线（C）只有垂直渐近线（D）既无水平渐近线，又无垂直渐近线14 如果 f(x)的一个原函数是 xlnx，那么x 2f“(x)dx=( )（A）lnx+C
4、（B） x2+C（C） x2lnx+C（D）C-x15 16 设 I=01 dx，则 I 的取值范围为( )（A）0I1（B） 19I1（C） 0I4（D）12I117 下列广义积分收敛的是( )18 -33|1-x|dx=( )（A）2 03|1-x|dx（B） -31(x-1)x+13(1-x)dx（C） -31(1-x)dx-13(x-1)dx（D） -31(x-1)dx+13(x-1)dx19 若 f(x)为可导函数，f(x)0，且满足 f“(x)=ln2-20x dt，则 f(x)=( )（A）ln(1+cosx)（B） -ln(1+cosx)（C） 2ln(1+cosx)（D）ln
5、(1+cosx)+C20 若函数 f(x)满足 f(x)=x+1- -11(x)dx，则 f(x)=( )21 若 I=0ex3f(x2)dx，则( )（A）I= xf(x)dx（B） I=0exf(x)dx（C） I= xf(x)dx（D）I=12 0exf(x)dx22 直线 与平面 4x-3y+7z=5 的位置关系为( )（A）直线与平面斜交（B）直线与平面垂直（C）直线在平面内（D）直线与平面平行23 （A）2（B） 3（C） 1（D）不存在24 曲面 z=x2+y2 在点(1，2，5)处的切平面方程为( )（A）2x+4y-z=5（B） 4x+2y-z=5（C） x+2y-4z=5（
6、D）2x-4y+z=525 设函数 z=x3y-xy3，则 的值为( )（A）6xy（B） 3x2-3y2（C） -6xy（D）3y 2-3x226 如果区域 D 被分成两个子区域 D1 和 D2，且 f(x，y)dxdy=5， f(x，y)dxdy=1，则 f(x，y)dxdy 的值为( )（A）5（B） 4（C） 6（D）127 如果 L 是摆线 从点 A(2，0)到点 B(0，0)的一段弧，则 t(x2y+3xex)dx+( x3-ysiny)dy 的值为 ( )（A）e 2(1-2)-1（B） 2e2(1-2)-1（C） 3e2(1-2)-1（D）4e 2(1-2)-128 通解为 y
7、=Cex(C 为任意常数 )的微分方程为( )（A）y+y=0（B） y-y=0（C） yy=1（D）y-y+1=029 微分方程 y“+y=xe-x 的特解形式应设为 y*=( )（A）x(ax+b)e -x（B） x2(ax+b)e-x（C） (ax+b)e-x（D）ax+b30 下列四个级数中，发散的级数是( )二、二、填空题31 32 函数 y=x-sinx 在区间(0 ，2)上单调_，其曲线在区间(0， )的凹凸性为_的33 设方程 3x2+2y2+z2=a(a 常数)所确定的隐函数为 z=f(x，y)，则 =_34 35 36 在空间直角坐标系中，以点 A(0，-4，1)，B(-1
8、，-3，1)，C(2，-4，0)为顶点的ABC 的面积为_37 方程 在空间直角坐标系下的图形为_38 函数 f(x， y)=x3+y3-3xy 的驻点为_39 若 z=x2y+e1-x |(1，0) =_40 41 直角坐标系下二重积分 f(x，y)dxdy( 其中 D 为环域 1x2+y29)化为极坐标形式为_42 以 y=C1e-3x+C2xe-3x 为通解的二阶常系数线性齐次微分方程为_43 等比级数 aqn(a0)，当 _时级数收敛，当 _时级数发散44 函数 f(x)= 展开为 x 的幂级数为_ 45 是敛散性为_的级数三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 47 48 已
9、知 y=lnsin(1-2x)，求 dydx49 计算不定积分xarctanxdx 50 求 z=excos(x+y)的全微分51 计算 d，其中 D 由 y=2，y=x，xy=1 围成52 求微分方程 y+ycosx=e-sinx 满足初始条件 y(0)=-1 的特解53 求级数 xn 的收敛半径和收敛区间(考虑区间端点)四、综合题54 过曲线 y=x2(x0)上一点 M(1，1)作切线 L，平面图形 D 由曲线 y=x2，切线 L及 x 轴围成 求： (1)平面图形 D 的面积； (2) 平面图形 D 绕 x 轴旋转一周所成的旋转体的体积55 一块铁皮守则 24 厘米，把它的两边折上去，做
10、成一个正截面为等腰梯形的糟(如下图) ，要使等腰梯形的面积 A 最大，求腰长 x 和它对底边的倾斜角 五、证明题56 证明方程 lnx= dx 在区间(e ，e)内仅有一个实根2012 年湖北大学专升本（高等数学）真题试卷答案与解析一、一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 C【试题解析】 2 【正确答案】 D【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 4 【正确答案】 B【试题解析】 显然只有 =2，其他三个都不存在，应选 B5 【正确答案】 D【试题解析】 ln(1+x 2)x 2，1-cosx=2sin 2 D6 【正确答案】 A【试题解析】 f(
11、x)在 x=0 处不连续；应选 A7 【正确答案】 D【试题解析】 8 【正确答案】 C【试题解析】 9 【正确答案】 B【试题解析】 f(x)=(lnx) x=exln(ln)xln(ln)x y=(lnx)xxln(lnx)=(lnx)x-1+(lnx)xln(lnx)10 【正确答案】 D【试题解析】 应选 D11 【正确答案】 C【试题解析】 验证罗尔定理的条件，只有 y=1-x2 满足，应选 C12 【正确答案】 B【试题解析】 y“=6x=0 (0，-2)，应选 B13 【正确答案】 B【试题解析】 14 【正确答案】 D【试题解析】 f(x)=(xlnx)=1+lnx x2f“(
12、x)dx=dx=-x+C15 【正确答案】 A【试题解析】 16 【正确答案】 B【试题解析】 此题有问题，定积分是一个常数，有 1，根据定积分的估值性质，有 12I1 ，但这个常数也在其他三个区间，都应该正确，但真题中答案是 B17 【正确答案】 D18 【正确答案】 D【试题解析】 -33|1-x|dx=-31|1-x|dx+13|1-x|dx=-31(1-x)dx+13(x-1)dx19 【正确答案】 A【试题解析】 对 f2(x)=ln22-20x dt 两边求导有：2f(x)f(x)=-2 ，即有 f(x)=- -ln(1+cosx)+C，由初始条件 f(0)=ln2，代入得 C=0
13、，应选 A20 【正确答案】 C【试题解析】 令 a=-11f(x)dx，则 f(x)=x+1- a，故有 a=-11f(x)dx=-11(x+1-，应选 C21 【正确答案】 C【试题解析】 I= xf(x)dx，应选 C22 【正确答案】 D【试题解析】 s=5，9，1，n=4，-3，7 sn，而点 (-2，4，0)不在平面内，为平行，应选 D23 【正确答案】 A【试题解析】 24 【正确答案】 A【试题解析】 令 F(x，y， z)=x2+y2-z，F x(1，2，5)=2，F y(1，2，5)=4， Fz(1，2，5)=-1 2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0 2x+4y-z
14、=5，也可以把点(1，2，5) 代入方程验证，应选 A25 【正确答案】 B【试题解析】 =3x2-3y2，应选 B26 【正确答案】 C【试题解析】 根据二重积分的可加性， f(x，y)dxdy=6，应选 C27 【正确答案】 C【试题解析】 此积分与路径无关，取直线段 ，x 从 2 变成 0，则 L(x2y+3xe2)dx+( x3-ysiny)dx=203xexdx=320xd(ex)=3(xex-ex)|20=3e3(1-2)-1，应选 C28 【正确答案】 B【试题解析】 y=Ce x y-y=0，应选 B29 【正确答案】 A【试题解析】 -1 是单特征方程的根，x 是一次多项式，
15、应设 y*=x(ax+b)e-x，应选 A30 【正确答案】 B【试题解析】 级数 的极限为 15000，是发散的，应选B二、二、填空题31 【正确答案】 充分必要(或充要)【试题解析】 显然为充要(充分且必要)32 【正确答案】 增加(或递增)，凹【试题解析】 y=1-cosx0 在(0，2) 内单调增加， y“=sinx 在(0，2)内大于零，应为凹的33 【正确答案】 【试题解析】 F=3x 2+2y2+z2-a34 【正确答案】 【试题解析】 35 【正确答案】 0【试题解析】 36 【正确答案】 【试题解析】 =-1，-1， -2，所以ABC 的面积为37 【正确答案】 两条平行直线
16、【试题解析】 是椭圆柱与平面 x=-2 的交线，为两条平行直线38 【正确答案】 (0，0) ，(1，1)【试题解析】 (0，0)，(1，1)39 【正确答案】 0【试题解析】 f(x，0)=0 |(1，0) =040 【正确答案】 【试题解析】 41 【正确答案】 02xd13f(rcos，rsin)rdr【试题解析】 f(x，y)dxdy= 02d13f(rcos，rsin)rdr42 【正确答案】 y“+6y+9y=0【试题解析】 由 y=C1e-3x+C2xe-3x 为通解知，有二重特征根-3，从而 p=6，q=9 微分方程为 y“+6y+9y=043 【正确答案】 |q|1，|q|1
17、【试题解析】 级数 aqn 是等比级数，当|q|=1 时，级数收敛，当 |q|1 时，级数发散44 【正确答案】 【试题解析】 45 【正确答案】 发散【试题解析】 =e-20，级数发散三、三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。46 【正确答案】 47 【正确答案】 48 【正确答案】 49 【正确答案】 50 【正确答案】 51 【正确答案】 交点坐标为(2，2)，(1，1)，(12， 2)积分次序为先积 y 后积 x，积分区域 D 被分成 D1，D 2，其中52 【正确答案】 P(x)=cosx，Q(x)=e -sinx y=e-cosxdxe-sinxecosxdx+C=e-sinxe-
18、sinxesinxdx+c=e-sinxx+C 又 y=(0)=-1，所以 C=-1 特解为 y=e-sinx(x+1)；53 【正确答案】 四、综合题54 【正确答案】 曲线 y=x2(x0) 在 M(1，1)处切线斜率为 2，过 M 点的切线方程为 y=2x-1，切线与 x 轴的交点为 12平面图形 D 的面积平面图形 D 绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V=01(x2)xdx-55 【正确答案】 由题间知梯形的上、下底分另为 24-2x+2xcos，24-2x，(x 0，0) 所以A= (24-2x+2xcos+24-2x)xsinx=24xsin-2x 2sin+2xsinacos =24sin-4xsin+2xsinacos 24xcos-2x2cos+x2(cos2-sin2)显然方程组的解 =0，x=0 不合题意，在定义域内得唯一驻点：x=8，cos=12，所以当 =3，x=8cm 时正截面积 A 最大五、证明题56 【正确答案】 令 f(x)=lnx- dx，显然 f(x)在e，e 3上连续由根的存在定理得，在(e，e 3)内至少存在一个根 ，使得 f()=0又 f(x)= ，在(e，e 3)内 f(x)0，所以 f(x)在(e，e 3)内单调减少综上所述，方程 lnx=dx 在区间(e，e 3)内仅有一个实根
