1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 43及答案与解析一、单项选择题1 当 x0 时，下列哪一个无穷小是 x 的三阶无穷小？( )2 曲线 x=t， y=t2，z=t 3 在点(1，1，1) 处的法平面方程是( )。（A）（B） x+2y+3z 一 6=0（C）（D）x+y+z 一 3=03 已知 2n 阶行列式 D 的某一列元素及其余子式都等于 a，则 D 等于( )。（A）1（B） 0（C） a2（D）一 a24 设函数 f(x)在 x=0 处连续，且 =2，则( )。（A）f(0)=1 且 f(0)=2（B） f(0)=0 且 f(0)=2（C） f(0)=1 且
2、f+(x)=2（D）f(0)=0 且 f+(0)=25 已知矩阵 ，那么矩阵 A 与矩阵 B( )。（A）既不相似也不合同（B）合同但不相似（C）相似但不合同（D）合同且相似6 设随机变量 X，Y 不相关，且 E(X)=2，E(Y)=1，D(X)=3，则 E(X(X+Y 一 2)=( )。（A）一 3（B） 3（C）一 5（D）57 被誉为中国人工智能之父，在几何定理的机器证实取得重大突破，并获得首届国家最高科学技术奖的数学家是( )。（A）张景中（B）吴文俊（C）华罗庚（D）陈景润8 下列说法中不正确的是( )。（A）教学活动是教师单方面的活动，教师是学习的领导者（B）评价既要关注学生学习的
3、结果，也要重视学习的过程（C）为了适应时代发展对人才培养的需要，新课程标准指出：义务教育阶段的数学教育要特别注重发展学生的应用意识和创新意识（D）总体目标是义务教育阶段数学课程的终极目标，而学段目标则是总体目标的细化和学段化二、简答题9 求两个平行平面 1：2x 一 y 一 3z+2=0， 2：2x 一 y 一 3z 一 5=0 之间的距离。10 应用拉格朗日中值定理证明下列不等式： 其中 0m n。10 甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从 6 道备选题中一次性抽取 3 道题独立作答，然后由乙回答剩余 3 道题，每人答对其中 2 道题就停止作答，即闯关成功。已知在 6
4、道备选题中，甲能答对其中的 4 道题，乙答对每道题的概率都是 。11 求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；12 设甲答对题目的个数为 ，求 的分布列及数学期望。13 义务教育数学课程标准(2011 年版)指出教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。教学中应该注意的几个关系是什么？14 怎么理解学生主体地位和教师主导作用的关系，如何让学生成为学习的主体？三、解答题15 求矩阵 的特征值和特征向量。四、论述题16 “巩固与发展相结合 ”是数学教学的基本原则。谈谈“巩固”与“ 发展”的关系，教师在教学过程中怎样做到在发展的过程中进行巩固。五、案例分析题16 下面是数学教师王老师在一节习题课上
5、的教学片段：师：下面大家看这道题。(黑板上出示题目：化简 )大家思考一分钟。(学生思考后)师：谁来说一下怎么化简？学生 A：老师，我的想法是分母有理化，分子分母同时乘以，分母就化成了 a 一 b。师：很好，说明你已经熟练掌握分母有理化的一般方法。把你的化简过程写在黑板上。师：大家想想有没有其他做法。学生 B：老师，这道题也可以这样做：将分子因式分解， 然后再约分。师：你的思维已经转向了分子，又联想到因式分解，很好！把你的化简过程也写在黑板上。师：好的，两位同学的解法都写在黑板上了，大家比较两种解法，给大家一分钟思考时间，看这两种解法都正确吗？问题：17 判断学生 A 和学生 B 的解法正确吗？
6、并说明理由。18 如果你是王老师，请完成后续的教学。六、教学设计题18 “圆周角”是初中九年级的上册的内容，是在圆的基本概念和性质以及圆心角概念和性质的基础上对圆周角的性质的探索，圆周角的性质在圆的有关证明、作图、计算中有着广泛的应用。回答下列问题：19 确定“圆周角 ”一课的教学目标和教学重难点；20 根据教材，设计“ 圆周角 ”一课引入的教学片段。要求：引导学生经历从实际背景抽象概念的过程。21 分析圆周角与圆心角的不同。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 43答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 B【试题解析】 函数 (x)只要满足 即满足题意。经计算，只有
7、B 选项中， 其余选项求得相应的极限均为无穷大。2 【正确答案】 B【试题解析】 曲线 x=t，y=t 2，z=t 3 在点(1，1，1)处的切向量为(1，2，3)，所以曲线在点(1 ，1，1) 处的法平面方程为 1(x 一 1)+2 (y 一 1)+3(z 一 1)=0，化简得x+2y+3z 一 6=0。3 【正确答案】 B【试题解析】 以行列式第 k 列展开 D=a1kA1k+a2kA2k+a2nk A2nk =一na2+na2=0(k2n)，故答案为 B。4 【正确答案】 D【试题解析】 根据题意首先得 f(0)=0，由导数的定义，=f+(0)=2(其中 t=x2)。5 【正确答案】 B
8、【试题解析】 =(+1)2( 一 5)，由此可得矩阵 A 的特征值为一 1，一 1，5，矩阵 B 的特征值为2，2，一 1，所以矩阵 A 与矩阵 B 不相似；又因为矩阵 A 是对称矩阵，矩阵 B 是对角矩阵，所以矩阵 A 与矩阵 B 一定合同。6 【正确答案】 D【试题解析】 E(X(X+Y 一 2)=E(X2)+E(XY)一 2E(X)=D(X)+(EX)2+E(X)E(Y)一2E(X)=5。7 【正确答案】 B8 【正确答案】 A【试题解析】 新课程标准明确指出，数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者
9、、引导者与合作者，认为教学活动是教师单方面的活动是完全错误的，故选 A。二、简答题9 【正确答案】 在平面 1 上任取一点，例如 P0(一 1，0，0)，P 0 到 2 的距离就是1， 2 之间的距离，代入 d=10 【正确答案】 设 f(x)=lnx，f(x)= ，因为函数 f(x)在m，n上满足拉格朗日中值定理，则在(m，n) 上存在一点 ，使得结论得证。11 【正确答案】 先求甲乙两人都没有闯关成功的概率 P1，甲没有成功即甲抽取的3 道题里只有一道能答对，P 甲 = ，乙没有闯关成功的概率为 P 乙 =这两个事件是相互独立事件，所以甲乙两人都没有闯关成功的概率 P1=P 甲 P 乙 =
10、 ，最后得到甲乙至少有一人闯关成功的概率 P=1 一 P1=。12 【正确答案】 的可能取值为 1，2。=1 ，即甲答对一题，说明甲抽到的三道题只有一道能答对，P(=1)= =2，即甲答对两题，说明甲抽到的三道题至少有两道能答对，P(=2)= 所以分布列是：13 【正确答案】 (1)“预设”与“生成”的关系；(2)面向全体学生与关注学生个体差异的关系；(3)合情推理与演绎推理的关系；(4)使用现代信息技术与教学手段多样化的关系。14 【正确答案】 好的教学活动，应是学生主体地位和教师主导作用的和谐统一。一方面，学生主体地位的真正落实，依赖教师主导作用的有效发挥；另一方面，有效发挥教师主导作用的
11、标志，使学生能够真正成为学习的主体，得到全面的发展。启发式教学是处理好学生主体和教师主导作用的有效途径。教师富有启发性的讲授，创设情境、设计问题，引导学生自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，都能有效地启发学生的思考，使学生成为学习的主体。三、解答题15 【正确答案】 因为特征多项式为所以特征值是一 1(二重)和 5。把特征值一 1 代入齐次方程组 得到 它的基础解系是 因此属于特征值一 1 的全部特征向量是 k1，其中 k1，k 2 是不同时为零的任意实数对。再用特征值 5 代入，得到 它的基础解系是 因此属于特征值 5 的全部特征向量是 其中 k 是不等于零
12、的任意实数。四、论述题16 【正确答案】 数学学习过程是巩固与获取有关知识技能的不断向前发展的过程，巩固与发展不能截然分开，应在发展的过程中进行巩固，在巩固的基础上向前发展。即所谓“温故而知新 ”。因此在教学中应很好地调节这两方面的进程，以便获得更好的教学效果。教师在教学中处理好新知识与旧知识的关系，知识传播与能力发展的关系，要求教师做到：将学习新知识、复习巩固旧知识贯穿于教学的全过程，既要重视阶段性复习、总结性复习，更要重视日常课堂的复习巩固，将复习巩固作为一个重要的教学环节；要重视对学生所学知识，技能和方法进行复习巩固工作的研究；在复习巩固过程中，要指导学生记忆，提高记忆能力，并通过适当途
13、径予以检查，对数学中一些基本的概念、定理、公式、法则都必须在理解的基础上熟记。在学习新知识时，要深刻理解这些知识，必须调动学生学习知识的自觉性。学习过程必须是学生积极开展思维活动的过程，用积极态度学到的知识是获得巩固知识的必要条件。因此，在教学时要引起学生对学习知识的强烈兴趣，把原来以为枯燥无味的数学课上成生动活泼的数学课，注意防止学生产生学习的逆反心理，充分发挥学生的主体作用。零碎的、杂乱的、无系统的知识是不可能巩固的。因此，学生获得有系统的知识是知识巩固的又一必要条件，它要求教师在教学时注意概念形成过程，讲清命题间的逻辑关系等。教学必须条理清晰、前后联系、层次分明，给学生系统知识，使其深刻
14、理解知识，达到巩固的目的。五、案例分析题17 【正确答案】 虽然两位学生的计算结果都是 ，但学生 A 在分母有理化的时候分子分母同时乘以 ，如果 a=b，这一步就不符合分式的运算性质，即学生 A 的解法有逻辑错误。学生 B 的解法是正确的。18 【正确答案】 师：两种解法的计算结果一样，都是 ，大家觉得有什么问题吗？可以大胆地说出来。生：(一脸茫然)师：学生 A 和学生 B 你们都想想自己的解法，过程中有没有不合理的地方。(学生们在相互讨论着，但都说不上来)师：两种解法的计算都是只有两步，大家一步一步地看，细细琢磨琢磨。(这时，学生 A 突然有了灵感)学生 A：老师，我知道我哪里错了。在我的解
15、法中，分母有理化的时候分子分母同时乘以 ，问题就出现在这里，如果 a=b 的时候，=0。而分式运算性质是，分子分母同时乘以一个不为零的数分式的值不变。这一步错了，没有考虑 a=b 的时候。(学生 A 说完，大家都恍然大悟)师：太棒了，自己发现了自己的问题。是的，问题就在这。学生 B 的解法是正确的。师：大家都明白了吧，在计算的过程中很多时候看着正确，细细探究却是有问题的，这个时候就不能相信直觉，而是有严密的逻辑思维。在数学的推理计算过程中，每一步都要有理有据合情合理即使再简单的过程都是有依据的，大家要养成多问自己“为什么可以这样做 ”的习惯，培养严谨的思维习惯。六、教学设计题19 【正确答案】
16、 教学目标知识与技能：理解圆周角的概念，掌握圆周角定理及其推论，并能够运用它们进行论证和计算；过程与方法：经历圆周角定理的证明，了解分情况证明命题的思想和方法，体会类比、分类的数学思想；情感态度与价值观：通过圆周角定理的证明向学生渗透由“特殊到一般” ，由“一般到特殊”的数学思想方法体现了辩证唯物主义从未知到已知的认识规律。教学重点、难点重点：圆周角的概念和圆周角定理。难点：认识圆周角定理需要分三种情况逐一证明的必要性。20 【正确答案】 导入过程：导入出示图例：如图是一个圆柱形的海洋馆的截面示意图，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗弧 AB 观看窗内的海洋动物，同学们甲站在圆心 O 的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置 C，他们的视角( AOB和 ACB)有什么关系？如果同学丙、丁分别站乙的其他靠墙的位置 D 和 E，他们的视角( BDA 和 AEB)和同学乙的视角相同吗？21 【正确答案】 圆心角与圆周角的不同点为：圆心角的顶点在圆心，圆周角的顶点在圆周上。圆心角的度数等于它所对弧的度数，圆周角的度数等于它所对弧的度数一半，即为圆心角的一半。一段圆弧对应的圆心角只有一个，对应的圆周角有很多个。
