1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 45及答案与解析一、单项选择题1 计算极限：（A）0（B） 1（C） e（D）e 22 已知曲面方程为 x2+y2+z2 一 2x+8y+6z=10，则过点(5，一 2，1)的切平面方程为( )。（A）2x+y+2z=0（B） 2x+y+2z=10（C） x 一 2y+6z=15（D）x 一 2y+6z=03 已知 x 的多项式 则该多项式的常数项为( )。（A）一 4（B） 0（C） 1（D）44 设 f(x)= ，则 x=0 是函数 f(x)的( )。（A）连续点（B）跳跃间断点（C）第二类间断点（D）可去间断点5 设二次型 f(
2、x1，x 2，x 3)在正交变换为 x=Py 下的标准形为 2y12+y22 一 y32，其中P=(e1，e 2，e 3)，若 Q=(e1，一 e2，e 3)，则 f(x1，x 2，x 3)在正交变换 x=Qy 下的标准型为( )。（A）2y 12 一 y22+y32（B） 2y12+y22 一 y32（C） 2y12 一 y22 一 y32（D）2y 12+y22+y326 设事件 A，B 相互独立，P(B)=05，P(A 一 B)=03，则 P(BA)=( )。（A）01（B） 02（C） 03（D）047 刘徽在注释九章算术的过程中，提出了许多创造性的见解，值得一提的是，他创造性的发展了
3、根限思想并加以灵活运用，其例子是( )。（A）割圆术（B）解体用图（C）盈不足术（D）齐同变换8 下列划分正确的是( )。（A）有理数包括整数、分数和零（B）角分为直角、象限角、对顶角和同位角（C）数列分为等比数列、等差数列、无限数列和递减数列（D）平行四边形分为对角线互相垂直的平行四边形和对角线不互相垂直的平行四边形二、简答题9 求椭球面 处的切平面和法线。10 把向量 表示成 1， 2， 3， 4 的线性组合，其中 =(i，2，1，1)，1=(1， 1，1， 1)， 2=(1， 1，一 1，一 1)， 3=(1，一 1，1，一 1)， 4=(1，一 1，一 1，1) 。10 从某企业的某种
4、产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：11 求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2(同一组数据用该区间的中点值作代表)；12 由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(， 2)，其中 近似为样本平均数 ， 2 近似为样本方差 s2。利用正态分布，求P(187822122)；某用户从该企业买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100件产品中质量指标值位于区间(1878，2122)的产品件数，利用的结果，求EX。附： 122。若 ZN(， 2)，则 P(一 Z +)=06826，P( 一2Z+2)
5、=09544。13 义务教育数学课程标准(2011 年版)指出：“数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等。”请简述，怎样让学生在学习过程中感悟数学思想。14 分别解释学习心理学中“同化” 与“顺应”的含义，并举例说明 “同化”在数学概念学习中的作用。三、解答题15 试分别叙述罗尔中值定理和拉格朗日申值定理。若以 S(x)记由(a ，f(a)，(b，f(b)，(x，f(x)三点组成的三角形面积，试对 S(x)应用罗尔中值定理证明拉格朗日中值定理。四、论述题16 给出中学几何研究图形的几个主要方法，并试以其中一种为
6、例，说明该种方法的基本特点。五、案例分析题16 案例：“一元一次方程” 的教学片段：师：如何解方程 3x 一 3=一 6(x 一 1)?生 1：老师，我还没有开始计算，就看出来了，x=1。师：光看不行，要按要求算出来才算对。生 2：先两边同时除以 3，再(被老师打断了)师：你的想法是对的，但以后要注意，刚学新知识时，记住一定要按课本的格式和要求来解，这样才能打好基础。问题：17 你对这位老师的课堂行为怎么评价？18 课堂提问时应该注意哪些问题？六、教学设计题18 “三角形的中位线 ”是初中学习三角形知识点中必不可少的内容。对学生的要求是必须了解三角形中位线的概念，熟练掌握三角形中位线定理的证明
7、和有关应用。19 该课程设定需要使学生达到什么能力目标？20 本课程的教学重点与难点。21 教学过程(只要求写出新课导入和新知识探究、巩固、应用等)及设计意图。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 45答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 D【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 方法一，设球面方程为 x2+y2+z2+2px+2qy+2rz+d=0，则过球面上点(x0，y 0，z 0)的切平面方程为：x 0x+y0y+z0z+p(x+x0)+q(y+y0)+r(z+z0)+d=0由曲面方程为 x2+y2+z2 一 2x+8y+6z=10 可知 p=一 l，q
8、=4，r=3，d=一 10，则过点(5，一2，1)(点在球面上 )的切平面为 5x 一 2y+z 一(x+5)+4(y 一 2)+3(z+1)一 10=0 整理得：2x+y+2z=10。故选 B。方法二：曲面 x2+y2+z2 一 2x+8y+6z=10 为球面，标准方程为：(x 一 1)2+(y+4)2+(z+3)2=36 球心为(1，一 4，一 3)，半径为 6。由A，B，C，D 四个选项中，只有选项 B、C 过点(5，一 2，1)。故 A，D 排除。同时球心到切平面的距离应该等于球的半径，选项 B，球心到平面的距离为等于球半径，满足题意。故选 B。3 【正确答案】 A【试题解析】 根据行
9、列式展开定理，所以该多项式的常数项为4 【正确答案】 D【试题解析】 =1，存在极限值，且在该点无定义，所以为可去间断点。5 【正确答案】 A【试题解析】 由 x=Py，故 f=xTAx=yT(PTAP)y=2y12+y22 一 y32，且 PTAP=QTAQ=CT(PTAP)C= 所以f=xTAx=yT(QTAQ)y=2y12 一 y22+y32。6 【正确答案】 B【试题解析】 P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)=P(A)一 P(A)P(B)=P(A)一 05P(A)=0 5P(A)=03，所以 P(A)=06，P(B 一 A)=P(B)一 P(AB)=P(B)P(A)P(B)=0
10、2。7 【正确答案】 A【试题解析】 “割圆术”是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，是对极限思想的灵活运用。8 【正确答案】 D【试题解析】 分类的各个子项应相互排斥，故可排斥 A、C 选项，分类应按照统一标准进行，则可排除 B 选项。二、简答题9 【正确答案】 10 【正确答案】 设有线性关系 =k11+k22+k33+k44，代入所给向量，可得线性方程组 解之，得 因此11 【正确答案】 =0 02170+009180+022190+033200+024210+008220+002230=200，s 2=002(170 一 200)2+009(180 一 200
11、)2+022(190 一 200)2+033(200 一 200)2+0 24(210 一 200)2+008(220 一 200)2+002(230 一200)2=150。12 【正确答案】 由(1)知，= =200， 2=s2=150，所以 = 122， P(1878Z2122)=P(200 一 122Z200+122)=0 6826。 100 件产品中质量指标值位于区间(1878，2122)的产品件数 X 服从二项分布 B-(100， 06826)，所以 EX=10006826=6826。13 【正确答案】 数学思想的形成需要在过程中实现，只有经历问题解决的过程，才能体会到数学思想的作用
12、，才能理解数学思想的精髓，才能进行知识的有效迁移。凸显知识的形成过程，让学生感悟数学思想和方法，关键是应让学生经历和体验一些数学知识的获取过程，让学生“读理解”“疑提问”“做解决问题”“说表达交流” ，并在其中获得对数学思想方法的感悟。无论是数学概念的概括与形成，还是公式、法则、定理的发现与推导，教师都应通过创设情境，激发学生探索问题的需要，通过观察、实验、分析、综合、归纳、概括等过程，获得对问题的认识、理解和解决的同时，也获得对数学思想方法的认识与感悟，教学的设计要以学生的数学思想形成为目标。14 【正确答案】 同化是指有机体面对一个新的刺激情景时，把刺激整合到已有的图式或认知结构中。顺应是
13、指当有机体不能利用原有图式接受和解释新刺激时，其认知结构发生改变来适应刺激的影响。同化论，强调新旧知识的相互作用涉及上位学习、下位学习、并列结合学习三种形式；强调概念和命题的不断分化和综合贯通；强调原有知识的巩固及教材由一般到个别的循序组织。实际应用中，要了解学生对新旧知识的掌握程度及接受能力，用耳熟能详的“已知” 内容去教导“未知”内容。比如我们在学习椭圆的时候，可以从“圆” 类比着来学习。三、解答题15 【正确答案】 罗尔中值定理：若函数 f(x)满足如下条件：(1)f(x) 在闭区间a ，b上连续；(2)f(x) 在开区间(a，b)内可导；(3)f(a)=f(b) ，则在(a ，b)内至
14、少存在一点，使得 f()=0。拉格朗日中值定理：若函数 f(x)满足如下条件： (1)f(x)在闭区间a， b上连续；(2)f(x) 在开区间(a ，b)内可导，则在(a，b)内至少存在一点 ，使得在 xOy 面上考虑，记由 A(a，f(a) ，0)，B(b，f(b)，0)，C(x，f(x)，0)三点组成的三角形面积 S(x)，则由向量矢量积的几何意义得 若 f(x)在a，b上连续，在(a， b)内可导，又 S(a)=S(b)=0，所以由罗尔中值定理知：在(a ，b)内至少存在一点，使得 f()=0。四、论述题16 【正确答案】 中学几何研究图形的方法主要有：综合几何的方法，解析几何的方法，向
15、量几何的方法，函数的方法等。综合几何的方法是利用几何的方法研究图形的性质，即用已知的基本图形的性质去研究组合图形的性质。这种方法的基本特点就是把复杂的图形转化为简单的图形，把空间的图形转化为平面图形。例如，把两条线段相等问题转化为两个三角形全等关系或一个三角形内两边的相等关系，空间两直线的垂直问题转化为平面两直线垂直(如三垂线定理)，利用三视图研究空间几何体等。在综合几何方法中，平移、旋转、对称等是研究综合图形性质的基本方法。五、案例分析题17 【正确答案】 这位教师提问时，把学生新颖的回答中途打断，只满足单一的标准答案，一味强调机械套用解题的一般步骤和“通法” 。殊不知，这两名学生的回答的确
16、富有创造性，可惜，这种偶尔闪现的创造性思维的火花不仅没有被呵护，反而被教师“标准的格式 ”轻易否定而窒息扼杀了。其实，学生的回答即使是错的，教师也要耐心倾听，并给与激励性评析，这样既可以帮助学生纠正错误认识，又可以激励学生积极思考，激发学生的求异思维，从而培养学生思维能力。18 【正确答案】 课堂提问要注意以下问题：提问要关注全体学生。提问内容设计要由易到难，由浅入深，要富有层次性，不同的问题要提问不同层次的学生；提问要有思考的价值，课堂提问要选择一个“ 最佳的智能高度”进行设问，使大多数学生“跳一跳，够得着” ；提问的形式和方法要灵活多样。注意提问的角度转换，引导学生经历尝试、概括的过程，充
17、分披露灵性，展示个性，让学生得到的是自己探究的成果，体验的是成功的快乐，使“ 冰冷的，无言的 ”数学知识通过“过程”变成“ 火热的思考”。六、教学设计题19 【正确答案】 该课程设定需要使学生达到：经历“探索一发现一猜想一证明 ”的过程，进一步发展推理论证能力。能够用多种方法证明三角形的中位线定理，体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法。能够应用三角形的中位线定理进行有关的论证和计算，逐步提高学生分析问题和解决问题的能力。20 【正确答案】 教学重点与难点教学重点：三角形中位线的概念与三角形中位线定理的证明。教学难点：三角形中位线定理的多种证明。21 【正确答案】 教学过程一道
18、趣题 课堂因你而和谐问题：你能将任意一个三角形分成四个全等的三角形吗？这四个全等三角形能拼凑成一个平行四边形吗？(板书)(这一问题激发了学生的学习兴趣，学生积极主动地加入到课堂教学中，课堂气氛变得较为和谐，课堂也鲜活起来了。)学生想出了这样的方法：顺次连接三角形每两边的中点，看上去就得到了四个全等的三角形。将ADE 绕 E 点沿顺(逆)时针方向旋转 180可得平行四边形 ADFE。问题：你有办法验证吗？一种实验 课堂因你而生动学生的验证方法较多，其中较为典型的方法如下：生 1：沿 DE、DF、EF 将画在纸上的ABC 剪开，看四个三角形能否重合。生 2：分别测量四个三角形的三边长度，判断是否可
19、利用“SSS”来判定三角形全等。生 3：分别测量四个三角形对应的边及角，判断是否可用“SAS、ASA 或 AAS”判定全等。引导：上述同学都采用了实验法，存在误差，那么如何利用推理论证的方法验证呢？一种探索 课堂因你而鲜活师：把连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线。(板书)问题：三角形的中位线与第三边有怎样的关系呢？在前面图 1 中你能发现什么结论呢？(学生的思维开始活跃起来，同学之间开始互相讨论，积极发言)学生的结果如下：DE/BC，DF/AC，EF/AB，AE=EC，BF=FC ，BD=AD ，ADEDBFEFCDEF，DE=05BC，DF=AC，EF=05AB猜想：三角形的中位线平
20、行于第三边，且等于第三边的一半。(板书)师：如何证明这个猜想的命题呢？生：先将文字问题转化为几何问题然后证明。已知：DE 是 ABC 的中位线，求证：DE/BC、DE=05BC 。学生思考后教师启发：要证明两条直线平行，可以利用“三线八角” 的有关内容进行转化，而要证明一条线段的长等于另一条线段长度的一半，可采用将较短的线段延长一倍，或者截取较长线段的一半等方法进行转化归纳。(学生积极讨论，得出几种常用方法，大致思路如下)生 1：延长 DE 到 F 使 EF=DE，连接 CF由AD_ECFE(SAS)得 AD=FC 从而 BD=FC所以，四边形 DBCF 为平行四边形得 DF=BC，可得 DE
21、=05BC(板书)生 2：将 ADE 绕 E 点沿顺(逆) 时针方向旋转 180，使得点 A 与点 C 重合，即ADECFE，可得 BD=CF，得 DBCF 为平行四边形。得 DF=BC 可得 DE=05BC生 3：延长 DE 到 F 使 DE=EF，连接 AF、CF、CD，可得 AD=CF得 DB=CF得 DF=BC可得 DE=05BC生 4：利用ADEABC 且相似比为 1：2可得 DE=05BC师：很好，好极了！一种思考 课堂因你而添彩问题：三角形的中位线与中线有什么区别与联系呢？容易得出如下事实：都是三角形内部与边的中点有关的线段。但中位线平行于第三边，且等于第三边的一半，三角形的一条
22、中位线与第三边上的中线互相平分。(学生交流、探索、思考、验证)一种照应 课堂因你而完整问题：你能利用三角形中位线定理说明本节课开始提出的趣题的合理性吗？(学生争先恐后地回答，课堂气氛活跃)一句总结 课堂因你而彰显无穷魅力学生总结本节内容：三角形的中位线和三角形中位线定理。(另附作业)课后反思本节课以“如何将一个任意三角形分为四个全等的三角形” 这一问题为出发点，以平行四边形的性质定理和判定定理为桥梁，探究了三角形中位线的基本性质和应用。在本节课中，学生亲身经历了“探索一发现一猜想一证明” 的探究过程，体会了证明的必要性和证明方法的多样性。在此过程中，笔者注重新旧知识的联系，同时强调转化、类比、归纳等数学思想方法的恰当应用，达到了预期的目的。
