1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 8及答案与解析一、单项选择题1 半圆形闸门半径为 R(米)，将其垂直放入水中，且直径与水面齐，设水密度=1。若坐标原点取在圆心，x 轴正向朝下，则闸门所受压力 p 为( ) 。2 已知 sin+cosm，tan+cot=n，则 m 与 n 的大小关系为( )。（A）m 2=n （B） m2=（C） m2= +1 （D）m 2= 13 有四个三角函数命题： 其中假命题个数为( )。（A）0 （B） 1（C） 2 （D）34 设 A，B，A+B，A 1+B1 均为 n 阶可逆矩阵，则 (A1+B1)1=( )。（A）A 1+B1 （B）
2、A+B（C） A(A+B)1B （D）(A+B) 15 等比数列a n，1=2，S 4=1，求 S8 为( )。（A）14 （B） 15（C） 16 （D）176 袋中有 5 个黑球，3 个白球，大小相同，一次随机地摸出 4 个球，其中恰有 3 个白球的概率为( ) 。7 数列极限 =( )。8 下列不属于义务教育数学课程标准(2011 年版)中“数与代数” 领域学习内容的是( )。（A）有理数、无理数的概念、性质与运算（B）代数式的概念、性质和基本运算（C）反比例函数 （D）一元三次不等式的解法二、简答题9 一圆与 y 轴相切，圆心在 x 一 3y=0 上，在 y=x 上截得的弦长为 ，求圆
3、的方程。10 一商家销售某种商品的价格满足关系 P=70 2x(万元吨)，其中戈 x 销售量，该商品的成本函数为 C=3x+1(万元)。(1)若每销售一吨商品，政府要征税 t 万元，求该商家获最大利润时的销售量；(2)t 为何值时，政府税收总额最大?11 已知函数 f(x)= x3+2ax2+3x。 (1)当 a=98*时，求函数 f(x)在一 2，2上的最大值、最小值； (2)令 g(x)=ln(1+x)+3f(x)，若 g(x)在(一 ，+)上单调递增，求实数 a 的取值范围。12 课堂教学应树立哪四个基本观念?13 怎么认识数学?三、解答题14 设 f(x)，g(x) 在0 ，1上的导数
4、连续，且 f(0)=0，f(x)0，g(x)0。 证明：对任何 a0，1，有 0ag(x)f(x)dx+01f(x)g(x)f(a)g(1) 请说明初中函数内容教学的要求，并结合自己的教学，谈谈利用函数思想解决问题时，重点要注意的问题是什么?并举出两个你印象最为深刻的利用函数思想解题的例子。四、论述题15 在一些初中数学教材中，“函数” 内容被安排于方程、不等式等内容之后集中学习。谈谈你对这种设计的看法。五、案例分析题16 案例：阅读下列教学片段。 呈现向题情境：某股民在上星期五以每股 27 元的价格买进某股票 1000 股。该股票的涨跌情况如下表(单位：元)。师：星期四收盘时，每股多少元?
5、提问生 1、2(疑惑不解状 )。 生 3：2725=25 5(元)。 师：星期四收盘价实际上就是求有理数的和，应该为：27+4+45125=32( )。 师：周二收盘价最高为 355 元；周五最低为 26 元。师：已知该股民买进股票时付了 3的交易税，卖出股票时需付成效额 3的手续费和 2的交易税，如果该股民在星期五收盘前将全部股票卖出，他的收益情况如何? 提问生 4、5(困惑状)。 生 6：买入：271000(1+3)=27 081(元)； 卖出：261 000(1+3+2)=26 130(元)； 收益：26 130 一 27 081=一 951(元)。 师：生6 的解答错了，正确解答为：
6、买入股票所花费的资金总额为：271 000(1+3)=27 081(元)； 卖出股票时所得资金总额为： 261 000(13一 2)=25 870(元)；上周交易的收益为：25 87027 081=一 1 211(元)，实际亏损了 1 211 元。 师：请听明白的同学举手。 此时课堂上约有三、四个学生举起了手，绝大部分学生眼中闪烁着疑惑之意。有些学生在窃窃私语，有一学生轻声道：“老师，我听不懂!”少部分学生烦燥之意露于言表。 问题：(1) 案例中老师犯了什么错误? (2)该案例中学生的数学困惑是什么? (3) 该案例的启示是什么?六、教学设计题17 初中“反比例函数及其图象” 设定的教学目标如
7、下：理解反比例函数，并能从实际问题中抽象出反比例关系的函数解析式；会画出反比例函数的图象，并结合图象分析总结出反比例函数的性质：渗透数形结合的数学思想及普遍联系的辨证唯物主义思想：体会数学从实践中来又到实际中去的研究、应用过程：培养学生的观察能力，及数学地发现问题，解决问题的能力。完成下列任务：(1)根据教学目标，给出至少两个实例，并说明设计意图；(2)本节课的教学重点是什么?(3)作为初中阶段的基础内容，其难点是什么?(4)请设计一个教学导入。(5)请设计本节课小结。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 8答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 C【试题解析】 如图所
8、示，任取x，x+dx0，R，相应的小横条所受压力微元 dp=x.2ydx= 于是，闸门所受压力 。故选 C。2 【正确答案】 C【试题解析】 ，选择 C 选项。3 【正确答案】 D【试题解析】 p 1： 所以 p1 是假命题； p2：当 x=y=0 时，sin(xy)=0， sinxsiny=0，此时 sin(xy)=sinxsiny。显然存在这样的 x 和 y 使得 p2 成立，所以 p2 是真命题； p3：由二倍角公式得： ，但当x(+2k，2+2k)(k 为正整数)时，sinx0，此时 sinx= ，故并不是全部 xR 使得 =sinx，故 p3 是假命题；p 4：sinx=一 x=y+
9、2k(kZ)，则 x+y+2k= (kZ)，故 P4 是假命题。 故假命题的个数是 3 个，选择 D 选项。4 【正确答案】 C【试题解析】 (A 1+B1)1=(A1+B1E)1 =(A1+B1AA1)1 =(E+B1A)A11 =(B1B+B1A)A11 =B1(B+A)A11 =A(A+B)1B5 【正确答案】 D【试题解析】 由等比数列前 n 项和的公式得：。故选择。6 【正确答案】 D【试题解析】 8 个球随机摸出 4 个球有 C84 种情况，摸出的 4 个球中恰好有 3 个白球，则另一个球是从 5 个黑球里任取一个，有 5 种情况。7 【正确答案】 B【试题解析】 8 【正确答案】
10、 D【试题解析】 一元三次不等式的解法不属于初中“数与代数”领域的学习内容，故选 D。二、简答题9 【正确答案】 设该圆的标准方程为(x 一 a)2+(yb)2=r2，则由题意知 ，故所求圆的标准方程为：(x3) 2+(y1)2=9 或(x+3) 2+(y+1)2=9。10 【正确答案】 (1)设政府税收总额为 T，商品销售收入为 R，则 T=tx，R=xP=7x一 02x 2， 令 L=0，得 ，又 L“=一 040，所以当销售量为10 (吨) 时，该商家可获得最大利润。 (2)T=tx= ，T=10 5t，令 T=0，得 t=2，又 T“=一 50， 所以当 t 为 2 万元时，政府税收总
11、额最大。11 【正确答案】 (1)f(x)=2x 2+4ax+3，当 a= 时 f(x)=2x+x+3=(一 2x+3)(x+1)，令 f(x)=0 得 x1= ，x 2=1，当 x 变化时 f(x)和 f(x)的变化情况如下表：12 【正确答案】 (1)全面发展的质量观。(2)以人为本的学生观。(3)民主合作的教学观。(4)优质高效的效益观。13 【正确答案】 义务教育数学课程标准(201 1 年版)指出，数学是人类生活的工具；数学是人类用于交流的语言；数学能赋予人创造性；数学是一种人类文化。标准对数学没有采取简单定义的方法。因为数学不仅是一门知识，更是人类实践活动创造的产物，是由诸多元素构
12、成的多元结构；社会与文化不仅推动着数学的发展，同时数学对推动社会与文化发展也起关键的作用；对数学的认识不仅要从数学家关于数学本质的观点中领悟，更要从数学活动的亲身实践中去体验。从课堂教学的眼光看待数学：大众数学、生活数学、活动数学、探索数学。三、解答题14 【正确答案】 设 F(x)= 0xg(t)f(t)dt+01f(t)g(t)dtf(x)g(1)， 则 F(x)在0，1上的导数连续，并且 F“(x)=g(x)f(x)f(x)g(1)=f(x)g(x) g(1) 由于 x0，1，f(x)0，g(x)0 ，因此 F(x)0，即 F(x)在0 ，1上单调递减。 注意到 F(1)= 01g(t)
13、f(t)dt+01f(t)g(t)dtf(1)g(1)， 而 01g(t)f(t)dt=01g(t)df(t)=g(t)f(t) 0101f(t)g(t)dt =f(1)g(1)01f(t)g(t)dt， 故 F(1)=0。 因此 z0，1时，F(z)0 ，由此可得对任何a0，1，有 01g(x)f(x)dt+01f(x)g(x)dxf(t)g(1)。四、论述题15 【正确答案】 这种设计是不合理的。函数内容学习的主要目标不仅仅是掌握知识本身，还包括认识有关现象、学会应用相关知识解决问题的方法等；函数知识本身的内涵不单纯是定义、公式、定理，还有函数内部不同部分之间的联系；代数式、方程、不等式与
14、函数相关部分的联系应当与学习这些知识的过程相联系，有助于学生理解它们和函数本身；学生认识函数的主要认知过程要从感性到理性，而不能仅仅是抽象符号的运算等。五、案例分析题16 【正确答案】 (1)新课程标准要求教师在教学时更关注学生的体验，要求问题的创设揭示数学与生活实际密切相关，让学生认识到数学就在自己身边，数学与人们的生活密不可分，从而激发学生学习数学的兴趣。本案例教师力图贯彻新课程理念，试图联系生活，尝试在逐步深入的提出问题的基础上培养学生用数学的意识，但实际上是“东施效颦 ”，形式上的一串串问题及解答让新课程理念远离了课堂教学实际，教师虽对本题求解准确，但学生的接受与沟通的效率低下，仅仅是
15、教师用了自己在生活实践经验体会去审视数学问题。教师感觉容易理解，而事实恰好相反，教师的讲述没有激化学生的思维活动，一些在教师眼里显而易见的问题，对于学生来说很难。新课程理念倡导的是改变教学内容机械化的呈现方式，应放手让学生自主探求，真正让学生在课堂上的主体地位得到落实，教师的主导作用表现为组织者和引导者。(2)学生没有感知现实生活中的股票买进卖出，对教师在处理数学信息时认为“自然”和“显然”的合情合理的推断存在的“症结”如下： 表格中有理数正负号的实际意义如：+4 表示每股涨了 4 元；1 表示每股跌了 1 元。教师没有交待分析，学生理解较为困难。周四收盘时的股价是(元) ，如何理解 27 元
16、的概念? 为什么不能理解为：2725?股票卖出时的 26 元数据是哪里来的 ?买人交易时交易税是付出 3，卖出时付出的成交额的 3和手续费 2，同是“付出了”，为什么理解的数学意义截然相反 ?(9)如何理解一周股票收益的一 1211 元的实际意义? (3)关注课堂，走近学生教师在授课时，不能照本宣科，每个学生的家庭背景、生活经验、数学思维方式各不相同，要深入了解学生，细致入微地观察学生的内在思想和学习中可能出现的问题和困难。本案例中，学生到底需多长时间停留在“毫无希望” 的数学抽象思维境地?教师“操之过急”会使多少学生丧失学习数学的信心?课堂是活的，在深人研究本班学生的基础上，面对有思想的学生
17、，教师要随机应变，及时调整教学设计方案及教学思路，教师不能以我对知识的理解方式来作为学生接受的理由，不能忽视学生对新知识也有一个分析、理解和吸收的学习过程。教师只有将学生已有的知识、经验作为教学的出发点，教学才能做到以人的发展为本。关注学法，重学习过程新课程提倡在数学学习过程中，以具体问题为载体，创设一种类似于科学研究的情境和途经，引导学生自己去探究，通过学生的亲身实践获得体验，让学生逐步形成善于质疑、乐于探究、努力求知的积极态度。数学教学是数学活动的教学，是师生之间、生庄之间交往互动及共同的发展。本案例可以策划一个“股票交易中的数学问题”课题，引导学生运用数学知识去搜索、分析和处理有关股票买
18、进卖出信息，让学生体验提出问题，设计解决方案，调查收集数据(信息)，分析解决问题，教师适时关注学生在数学活动中的体验、认识和差异，引导学生有效进行探究、交流、总结等，形成有效的信息通道相，掌握感悟相应的方法和经验，营造一个学生乐于探索交流和相互学习的良好氛围，这远比课堂上教师机械的“一问一答” 效果好。关注教法，培育学习共同体整个数学教学的课堂上存在一个“学习共同体” ，这个数学学习共同体需要交流、多向互动、有效调控。我们经常讲“培养学生分析问题和解决问题的能力。” ，但本案例中基本上由教师包办代替了，教师没有营造一个适合学生思维发展的空间，而“由学生主动地提出问题 ”基本上没做到，学生在学习
19、过程中遇到困难时，请先把机会交给学生。只有师生之间、生生之间体验交流彼此的想法、存在的问题及其原因，才能使分析透彻、思想清晰、思路明确、因果分明、逻辑清楚，真正实现教学中心由教师变为学生，教学形式由“灌输” 变为“主动建构”，真正体现了学生学习的主体地位，也体现“ 道而弗牵，开而弗达 ”的数学教学思想。六、教学设计题17 【正确答案】 (1)实例 1： 我们在小学学过反比例关系，例如：当路程 S 一定时，时间 t 与速度 v 成反比例即 vt=S(S 是常数) ；当矩形面积 S 一定时，长 a 与宽 b 成反比例，即 ab=S(S 是常数) 从函数的观点看，在运动变化的过程中，有两个变量可以分
20、别看成自变量与函数，写成： (设计意图：从实际引出反比例函数的概念，方便学生了解) 实例 2：列表、描点画出反比例函数的图象 (设计意图：由于学生第一次接触反比例函数，无法推测出它的大致图象，取点描图有助于学生深刻的了解反函数图象。) (2)教学重点：结合图象分析总结出反比例函数的性质； (3)教学难点；描点画出反比例函数的图象 (4)教学导入： 引出反比例函数的概念： 一般地，函数 (k 是常数，k0)叫做反比例函数。 如上例，当路程 S 是常数时，时间 t 就是 v 的反比例函数。当矩形面积S 是常数时，长 a 是宽 b 的反比例函数。 在现实生活中，也有许多反比例关系的例子。可以组织学生
21、进行讨论。 一般地反比例函数 (k 是常数，k0)的图象由两条曲线组成，叫做双曲线。 观察图象，归纳、总结出反比例函数的性质 前面学习了三类基本的初等函数，有了一定的基础，这里可视学生的程度或展开全面的讨论，或在老师的引导下完成知识的学习。 显示这两个函数的图象提出问题：你能从图象上发现有关反比例函数的什么性质呢?并能从解析式或列表中得到论证。 (5)小结： 本节课我们学习了反比例函数的概念及其图象的性质，大家展开了充分的讨论，对函数的概念、函数的图象的性质有了进一步的认识。数学学习要求我们要深刻地理解，找出事物间的普遍联系和发展规律，能数学地发现问题，并能运用已有的数学知识。给以一定的解释。即数学是世界的一个部分，同时又隐藏在世界中。
