1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 12及答案与解析一、单项选择题1 的( )。（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件2 若正四棱柱 ABCDA1B1C1D1 的底面边长为 1，AB 1 与上底面 ABCD 成 60角，则 A1C1 到上底面 ABCD 的距离为( )。3 设 G 是正P 1P2P3 及其内部的点构成的集合，点 P0 是 P1P2P3 的中心，若集合S=PPG，PP 0PP i，i=1 ，2，3 ，则集合 S 表示的平面区域是( )。（A）三角形区域（B）四边形区域（C）五边形区域（D）六边形区域4 设
2、a，b，c 为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足 a 与 b 不共线，ac，a= c ，则 bc 的值一定等于 ( )。（A）以 a， b 为邻边的平行四边形的面积（B）以 b，c 为两边的三角形面积（C）以 a，b 为两边的三角形面积（D）以 b，c 为邻边的平行四边形的面积（E）D5 若函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 025，则 f(x)可以是( )。（A）f(x)=4x-1（B） f(x)=(x-1)2（C） f(x)=ex-1（D）f(x)=ln(x- )6 设 m，n 是平面 a 内的两条不同直线；l 1，l 2 是平面 内的
3、两条相交直线，则 的一个充分而不必要条件是( )。（A）m 且 l1（B） ml1 且 nl2（C） m 且 n（D）m 且 nl27 在平面直角坐标系中，若不等式组 (a 为常数)所表示的平面区域内的面积等于 2，则 a 的值为 ( )。（A）-5（B） 1（C） 2（D）38 教师不直接将学习内容提供给学生而是为学生创设问题情境，引导学生去探究和发现新知识和问题的方法是( )。（A）讲授法（B）发现法（C）掌握学习法（D）头脑风暴法二、简答题9 设函数 f(x)=x3- x2+6x-a，对于任意实数 x，f(x)m 恒成立，求 m 的最大值。10 在ABC 中，a ，b，c 分别为内角 A
4、，B，C 的对边， 2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC。求 A 的大小。10 已知数列a n满足： 是公差为 1 的等差数列；a n+1= an+1，(nN *)。11 求数列a n的通项式 an；12 设 Cn= (n2)，求证：C 1+C2+C3+Cn6。13 请简要谈谈你对引入参数思想在高中数学解题中的作用的认识。14 传统教育非常偏重数学的思维训练价值，而忽视了数学的应用价值。在新课程改革的今天，普通高中数学课程标准把培养学生的数学应用意识作为数学教育的主要目标。教师在实施教学中，应如何发展学生的数学应用意识?三、解答题14 设 为随机变量，从棱长为 1 的正方体
5、的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时，=0；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时， =1。15 求概率 P(=0)；16 求 的分布列，并求其数学期望 E()。四、论述题17 请你谈谈对数学归纳法这个概念的认知。五、案例分析题18 生：老师，书上例 2 中，y=x 2+1 与 y=x2-1 的图象会相交吗? 师：这个问题不是很简单吗?后面的图象是前面图象往上平移 2 个单位长度，怎么可能相交呢? 怎么看书的! 问题：你认为学生问的问题可能是因为学生在哪一方面不清楚?教师的回答是否妥当?六、教学设计题19 请对高中数学必修二第三章“直线与方程” 中“点到直线的距离”一课做
6、一教学设计，要求明确教学目标，同时预测教学中可能出现的问题并在教学设计中体现出解决方法。中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 12答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 当 =，故应选 A。2 【正确答案】 D【试题解析】 依题意，B 1AB=60，如图，BB 1=1tan60= ，故选 D。3 【正确答案】 D【试题解析】 如图，A、B、C、D、E、F 为各边三等分点，则集合 S 为六边形ABCDEF，其中，P 0A=P2APiA(i=1，3) 。即点 P 可以是点 A。4 【正确答案】 A【试题解析】 假设 a 与 b 的夹角为 ，则bc=b cco
7、sb，c=b1acos(90)= b asin，即为以 a，b 为邻边的平行四边形的面积，故选 A。5 【正确答案】 A【试题解析】 f(x)=4x-1 的零点为 x= ，f(x)=(x-1) 2 的零点为 x=1，f(x)=e x-1 的零点为 x=0，f(x)=ln(x- )的零点为 x= ，现在我们来估算 g(x)=4x+2x-2 的零点，因为，所以 g(x)的零点 x( )，又函数 f(x)的零点与 g(x)=4x+2x-2 的零点之差的绝对值不超过 025，只有 f(x)=4x-1 的零点适合，故选A。6 【正确答案】 B【试题解析】 要得到 ，必须是一个平面内的两条相交直线分别与另
8、外一个平面平行，若两个平面平行，则一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，对于选项A，不是同一平面的两直线，显然既不充分也不必要；对于选项 B，由于 l1 与 l2 是相交直线，而且由于 l1m 可得 l2，故可得 ，充分性成立，而 不一定能得到 l1m，它们也可以异面，故必要性不成立，故选 B。 对于选项 C，由于 m，n不一定是相交直线，故是必要非充分条件，对于选项 D，由 nl2 可转化为 C，故不符合题意。综上选 B。7 【正确答案】 D【试题解析】 如图可得满足 x-10 与 x+y-10 的可行域，而 ax-y+1=0 的直线恒过(0，1)，故看作直线绕点 (0，1) 旋转，当 a
9、=-5 时，则可行域不是一个封闭区域，当a=1 时，面积是 1；a=2 时，面积是 23；当 a=3 时，面积恰好为 2，故选 D。8 【正确答案】 B【试题解析】 教师不直接将学习内容提供给学生而是为学生创设问题情境，引导学生去探究和发现新知识和问题的方法是发现法，发现法的教学程序是：(1)创设情境，引导学生进入问题；(2)观察探究，引导学生发现目标；(3)推理证明，引导学生验证发现；(4)总结、巩固、提高。二、简答题9 【正确答案】 f(x)=3x 2-9x+6=3(x-1)(x-2)，因为 x(-，+)，f(x)m，即 3x2-9x+(6-m)0 恒成立，所以=81-12(6-m)0，得
10、 m- ，即 m 的最大值为-10 【正确答案】 根据正弦定理得 2a2=(2b+c)b+(2c+b)c，即 a2=b2+c2+b，c 由余弦定理得 a2=b2+c2-2bccosA，故 cosA=- ，A=120。11 【正确答案】 由条件 解得 a1=1，a 2=4。又 是公差为 1 的等差数列， =1+(n-1)。1，a n=n2。12 【正确答案】 13 【正确答案】 (1)引入参数可以恰到好处地沟通已知与未知之间的联系，参数提供的信息，为我们顺利地解答问题提供了线索，可以设而不求，巧妙地将问题转移；(2)引入参数可以把一些复杂的结构简单化，抽象的问题具体化，这样有利于我们思考和解决问
11、题；(3)参数可以改变原来问题的形式和要求，向我们熟悉而简单的方向转化，有利于我们解决问题。14 【正确答案】 发展数学的应用意识，教师可以在以下五方面进行设计问题情境：(1)鼓励学生运用所学过的数学知识解决数学自身的问题；(2)引导学生解决日常生活中与数学相关的问题；(3)启发学生思考其他学科与数学相关的问题；(4)鼓励学生用数学的眼光来审视周围的世界，学会数学地思考；(5)让学生从传媒的大量信息中找出明显的或隐含的数学问题，例如，从天气的变化，环境的保护，经济的增长，各种信贷等，都可以找到与数学相关的问题。三、解答题15 【正确答案】 若两条棱相交，则交点必为正方体 8 个顶点中的一个，过
12、任意 1个顶点恰有 3 条棱，共有 8C32 对相交棱，P(=0)=16 【正确答案】 若两条棱平行，则它们的距离为 1 或 ，其中距离为 的共有 6对， 随机变量 的分布列是：其数学期望 E()=1四、论述题17 【正确答案】 (1)数学归纳法作为归纳法的一种，它属于完全归纳。(2)数学归纳法的定义(或者解题步骤) 。(3)重难点突破：数学归纳法的重要性及注意点，在证明 P(k+1)时一定要用到归纳假设。(4)适用范围：可以证明与正整数相关的命题。(5)其他：数学归纳法从证明的方式来区分，可以有第一数学归纳法、第二数学归纳法、多重数学归纳法、跷跷板数学归纳法等。五、案例分析题18 【正确答案
13、】 (1)学生可能对两个函数图象的交点与解析式之间的关系缺乏理解；(2)教师的回答不够妥当，对于学生知识上的疑问，教师应耐心给予解答，帮助学生认识新知，而不能对学生的疑问给予简单粗暴对待，伤害学生的自尊心，使学生的学习积极性受到打击。六、教学设计题19 【正确答案】 一、内容和内容解析 1内容高中数学必修二第三章“直线与方程”，第三单元 “直线的交点与距离公式 ”第三节“点到直线的距离” ，点 P0(x0，y 0)到直线 l：Ax+By+C=0 的距离公式：d= 2内容解析求点到直线的距离是一个几何问题，在平面几何中从几何图形的角度进行过定性和定量的研究在解析几何中再次提出这个问题，体现了研究
14、同一个问题的不同方法，体现了坐标法的应用点到直线的距离公式作为一个重要工具广泛应用于今后很多解析几何问题的求解过程中此外，从本章的安排来看，点到直线的距离公式可以看作两点间距离公式的应用，由它还可以得到两条平行线间的距离，因此无论从知识结构还是从教材来看它都起着承上启下的作用，它是“直线的交点与距离公式” 这一单元的核心内容。本节课的重点为得到点到直线的距离公式并初步会用。点到直线距离公式的推导方法很多，为了达到本节课的教学目标，充分体现坐标法的应用，教学中应引导学生选择可行的、能够突出坐标法特点的方法进行推导，在推导过程中，引导学生合理变形，细心计算，从而得到点到直线的距离公式。二、目标及目
15、标解析1目标(1)探索并初步理解点到直线的距离公式；(2)进一步学习用代数方法解决几何问题。2目标解析(1)探索点到直线的距离公式就是找到合适的方法并且用这种方法得到点到直线的距离公式初步理解就是知道点到直线的距离公式是用已知点的坐标和直线方程一般式中的三个系数表示该点到直线的距离，记住公式并初步学会公式的使用。(2)在推导和使用公式的过程中，可以让学生有机会进一步学习解析法，体会其定量分析几何问题的优越性。三、教学问题诊断分析在教学中可能遇到的问题是，选择何种方法得到点到直线的距离公式?如何引导学生选择合适的方法得到公式? 点到直线的距离公式推导的方法很多，大致有两类，一类是容易想到的但不容
16、易计算推导，另一类是计算相对容易却不容易想到，教学要兼顾这两方面，更要从中选择能较好体现解析法思想的方法既不能为讲方法而讲方法，一味认为方法越多越好，也不能为了得到公式急于求成，将教师的方法强加给学生，因此，实际教学中既要给学生选择方法的机会，又要引导学生聚焦在既可行又能较好体现解析法思想的方法上。教学中还可能遇到的问题是即使采取了计算相对简便的方法，在推导公式的过程中，学生还是可能会在计算上遇到困难，教师应引导学生通过观察式子的特点，进行合理运算，鼓励学生耐心求解，帮助学生成功得到点到直线的距离公式。四、教学支持条件分析利用几何画板的作图功能，直观体现各种证明思路，提高课堂效率必要时，对有关
17、点、直线、线段长等进行代数表示，以启发学生的思考。五、教学过程设计 1公式引入及推导我们已经学过两点间的距离公式，今天我们一起来看一个新的问题，请看大屏幕给大家五分钟时间，看谁先做出来。问题 1：已知点 P0(x0，y 0)和直线 l 的方程：Ax+By+C=0，求点 P0 到直线 l 的距离。设计意图：由学生熟悉的两点间距离引入，直接提出本节课要讨论的问题。师生活动：教师给学生一定的时间进行思考并推导，之后共同交流解决问题的方案学生可能提出下面的方法：先过点 P0 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，则P 0Q就是点 P0到直线 Z 的距离 d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组
18、，此方程组的解就是点 Q 的坐标；最后利用两点间距离公式求出 P0Q。问题 2：这种方法计算量较大，能不能在此基础上进行改进使得方法简单些?设计意图：引导学生思考选择更好的方法得到点到直线的距离公式。师生活动：(1)根据学生情况，教师可以给予以下引导：上述方法中的难点在于求交点坐标，以及两点之间的距离，如果是一条平行于坐标轴的线段，是不是交点坐标和线段长度就都很好求了?根据上述思考以及借鉴两点间距离公式的推导，能否将P 0Q放到一个直角三角形中求解呢? 在教师引导下，共同探讨得到借助三角形求解的推导方法这里可能出现以下两种思路：思路一：在P 0RS 中借助面积求解思路二：在P0RQ 中，求 S
19、P0Q，用边角关系(也可以在P 0RQ 中解决，角的关系有所不同，直线位置的变化也对解题造成影响，布置成为课后思考)(2)在上述分析的基础上，完成用面积法推导公式的过程。教师巡视，并指导学生合理变形，耐心计算，帮助学生得到点到直线的距离公式，并请学生在黑板上进行板书。(3)教师对学生的推导进行点评，给予补充纠正，进一步完善证明并对推导过程进行总结。2公式结构分析及应用问题 3：公式有哪些结构特征?设计意图：通过对结构的分析，帮助学生准确记忆公式。师生活动：教师引导并具体指出公式特点：公式的分子：保留直线方程一般式的结构，体现了公式与直线方程关系。公式的分母：直线方程中两个未知数的系数的平方和再
20、开方。公式分子中的结构：Ax 0+By0+C就是将已知点的坐标带入到直线方程后取绝对值的结果，点到直线距离公式实际上也体现了这个值与该点到直线距离的关系。例 1 求点 P0(-1，2)到直线 3x=2 的距离。练习：求点P0(-1，2) 到下列直线的距离5y=3 2x+y=10y=-4x+1 设计意图：直接运用公式，熟悉公式。师生活动：在运用点到直线距离公式时，教师应强调公式结构，并强调先将直线方程化为一般式后，再将点的坐标带入到直线方程进行计算，并指出，当直线垂直于坐标轴时，可直接求解。例 2 已知点 A(4，2)到直线 y=kx+2 的距离为2，求 k 的值。设计意图：公式的逆用，已知点到
21、直线的距离，求解参数的值，进一步熟悉公式，并达到对公式的初步理解。师生活动：教师应关注学生是否能将直线方程化为一般式，以及学生是否能利用公式得到关于 k 的方程。3课堂小结本节课学习了点到直线距离公式在推导过程中，我们通过构造直角三角形将求两点间的距离转化为了求平行于坐标轴的线段的长度，这降低了运算难度可以看到点到直线的距离公式的分子是将已知点坐标带入直线方程等号左边的式子后再取绝对值的结果，分母则是直线方程中未知数系数的平方和再开方在应用公式的时候应当注意，应将直线方程化为一般式之后再用公式进行计算。六、目标检测设计预案一：课堂未完成例 2 求 P(=1，1)到直线 l：y=2x-1 的距离 d。预案二：课堂完成例2 若点 P0(m，2)到直线 y=-x+1 的距离为 ，求实数 m 的值。设计意图：点到直线距离公式的直接应用，考查学生对公式的记忆与简单应用。
