1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷15（无答案）一、单项选择题1 设 f(x)= +k，若已知 f(x)=0，则 k=( )。（A）1（B） 2（C） 0（D）32 设函数 y=f(x)在点 x0 处可导，当自变量 x 由 x0 增加到 x0+x 时，记y 为 f(x)的增量，dy 为 f(x)的微分， 等于( )。（A）-1（B） 0（C） 1（D）1 或-13 设 f(x)和 (x)在(-，+)内有定义，f(x)为连续函数，且 f(x)0，(x)有间断点，则( )。（A）f(x)必有间断点（B） (x)2 必有间断点（C） f(x)必有间断点（D） 必有间断点4 设
2、 ab 且 ab，则必有( )。（A）a+b=0（B） a=0，b0（C） b=0，a 0（D）a b=05 设 f(x0)=f“(x0)=0，f“(x 0)0，则下列选项正确的是( )。（A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x)的极大值（C） f(x0)是 f(x)的极小值（D）(x 0，f(x 0)是曲线 y=f(x)的拐点6 设矩阵 A，B 均为 n 阶方阵，且 AB 不可逆，则( )（A）A，B 中至少有一个不可逆（B） A，B 均可逆（C） A，B 中至少有一个可逆（D）A，B 均不可逆7 下列命题中，等值式复合命题是( )。（A）四边形为平行四边形，当且仅
3、当它的一组对边平行且相等（B）棱形是平行四边形（C）若两个角是对顶角，则此两角相等（D）三角形两边之和大于第三边8 由教师对所授教材作重点、系统的讲述与分析，学生集中注意力倾听的教学方法是( )。（A）谈话法（B）讲授法（C）练习法（D）引导发现法二、简答题9 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知。10 已知复数 z1 满足(z 1-2)(1+i)=1-i(i 为虚数单位)，复数 z2 的虚部为 2，z 1z 2 是实数，求 z2。10 曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A= (a0) 对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1。11 求实数 a， b 的值。1
4、2 求 A2 的逆矩阵。13 数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题，用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优点，请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决。14 请结合例子简要谈谈“生活中处处有数学” 。三、解答题14 如图，平面 ABEF平面 ABCD，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形，BAD=FAB=90，BC AF，G，H 分别为 FA，FD 的中点。15 证明：四边形 BCHG 是平行四边形；16 C， D，F ，E 四点是否共面 ?为什么?17 设 AB
5、=BE，证明：平面 ADE平面 CDE。四、论述题18 函数是非常重要的“ 数学建模 ”工具，现实中的许多问题都是通过建立函数模型而得到解决的，请设计一道利用建立函数模型来解决现实问题的试题。19 函数是中学数学的核心内容，试分析函数在高中数学知识中的地位。五、案例分析题20 课题：等比数列的前 n 项和(导入 )师：在古印度，有个名叫西塔的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求西塔说：请给我棋盘的 64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第 64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃
6、一惊为什么呢?问题 1：同学们，你们知道西塔要的是多少粒小麦吗?引导学生写出麦粒总数。问题 2：是什么数列? 有何特征 ?应归结为什么数学问题呢 ?探讨 1：设_，记为(1)式，注意观察每一项的特征，有何联系?(学生会发现，后一项都是前一项的 2 倍)探讨 2：如果我们把每一项都乘 2，就变成了它的后一项，(1)式两边同乘 2 则有_，记为(2)式，比较(1)(2)两式，你有什么发现?经过比较、研究，学生发现：(1)、(2) 两式有许多相同的项，把两式相减，相同的项就消去了，得到：_。问题：请运用相关理论分析上述案例。六、教学设计题20 下面是一位教师对指数函数及其性质一课的教学设计。 一、教
7、学内容 本节课是普通高中课程标准实验教科书数学(1)(人教 A 版)第二章第一节第二课(21 2)指数函数及其性质，指数函数是重要的基本初等函数之一，作为常见函数，它不仅是今后学习对数函数和幂函数的基础，同时在生活及生产实际中有着广泛的应用，所以指数函数应重点研究。 二、教学过程 (一)创设情景、提出问题 师：如果让 1 号同学准备 2 粒米，2 号同学准备 4 粒米，3 号同学准备 6 粒米，4 号同学准备 8 粒米，5 号同学准备 10 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备多少粒米? 学生回答后，教师公布事先估算的数据：51 号同学该准备 102 粒米，大约 5 克重。 师：如果改成让
8、1 号同学准备 2 粒米，2 号同学准备 4 粒米，3 号同学准备 8 粒米，4 号同学准备 16 粒米，5 号同学准备 32 粒米，按这样的规律，51 号同学该准备多少粒米? 学情预设：学生可能说很多或可能算出具体数目 师：大家能否估计一下，51 号同学该准备的米有多重? 教师公布事先估算的数据：51号同学所需准备的大米约重 12 亿吨。 师：12 亿吨是一个什么概念?根据 2007年 9 月 13 日美国农业部发布的最新数据显示，20072008 年度我国大米产量预计为 127 亿吨，这就是说 51 号同学所需准 备的大米相当于 20072008 年度我国全年的大米产量! 设计意图：用一个
9、看似简单的实例，为引出指数函数的概念做准备；同时通过与一次函数的对比让学生感受指数函数的爆炸式增长，激发学生学习新知的兴趣和欲望。 在以上两个问题中，每位同学所需准备的米粒数用 y 表示，每位同学的座号数用 x 表示，y 与 x 之间的关系分别是什么? 学生很容易得出y=2x(xN*)和 y=2x(xN*)。 学情预设：学生可能会漏掉 x 的取值范围，教师要引导学生思考具体问题中 x 的范围。 (二)师生互动、探究新知 1指数函数的定义 师：其实，在本章开头的问题 2 中，也有一个与 y=2x 类似的关系式y=1073 x(xN*，x20) (1)让学生思考讨论以下问题 (问题逐个给出) y=
10、2x(xN*)和 y=1073 x(xN*，x20)这两个解析式有什么共同特征? 它们能否构成函数? 它们是我们学过的哪个函数? 如果不是，你能否根据该函数的特征给它起个恰当的名字? 设计意图：引导学生从具体问题、实际问题中抽象出数学模型学生对比已经学过一次函数、反比例函数、二次函数，发现 y=2x，y=1073 x 是一个新的函数模型，再让学生给这个新的函数命名，由此激发学生的学习兴趣。 引导学生观察，两个函数中，底数是常数，指数是自变量。 师：如果可以用字母口代替其中的底数，那么上述两式就可以表示成 y=ax 的形式自变量在指数位置，所以我们把它称作指数函数。 (2)让学生讨论并给出指数函
11、数的定义 对于底数的分类，可将问题分解为： 若 a 0 会有什么问题?(如 a=-2，x= ，则在实数范围内相应的函数值不存在) 若 a=0 会有什么问题?(对于 x0，a x 都无意义) 若 a=1 又会怎么样?(1 x 无论 z 取何值，它总是 1，对它没有研究的必要) 师：为了避免上述各种情况的发生，所以规定 a0 且 a1。 在这里要注意生生之间、师生之间的对话。 学情预设：若学生从教科书中已经看到指数函数的定义，教师可以问，为什么要求 a0，且 a1；a=1 为什么不行? 若学生只给出 y=ax，教师可以引导学生通过类比一次函数(y=kx+b，k0)、反比例函数(y= ，k0)、二次
12、函数(y=ax2+bx+c， a0)中的限制条件，思考指数函数中底数的限制条件。 设计意图：对指数函数中底数限制条件的讨论可以引导学生研究一个函数应注意它的实际意义和研究价值； 讨论出 a0，且 a1 也为下面研究性质时对底数的分类做准备。 接下来教师可以问学生是否明确了指数函数的定义，能否写出 12 个指数函数?教师也在黑板上写出一些解析式让学生判断，如 y=23x， y=3 2x，y=-2 x。 学情预设：学生可能只是关注指数是否是变量，而不考虑其他的。 设计意图：加深学生对指数函数定义和呈现形式的理解。 2指数函数的性质 (1)提出两个问题 目前研究函数一般可以包括哪些方面? 设计意图：
13、让学生在研究指数函数时有明确的目标：函数三个要素(对应法则、定义域、值域)和函数的基本性质(单调性、奇偶性)。 研究函数(比如今天的指数函数)可以怎么研究?用什么方法、从什么角度研究? 可以从图象和解析式这两个不同的角度进行研究；可以从具体的函数入手(即底数取一些数值) ；当然也可以用列表法研究函数，只是今天我们所学的函数用列表法不易得出此函数的性质，可见具体问题要选择适当的方法来研究才能事半功倍!还可以借助一些数学思想方法来思考。 设计意图：让学生知道图象法不是研究函数的唯一方法，由此引导学生可以从不同的角度对函数进行研究； 对学生进行数学思想方法(从一般到特殊再到一般、数形结合、分类讨论)
14、的有机渗透。 (2)分组活动，合作学习 师：好，下面我们就从图象和解析式这两个不同的角度对指数函数进行研究。 让学生分为两大组，一组从解析式的角度入手(不画图)研究指数函数，一组借助电脑通过几何画板的操作从图象的角度入手研究指数函数； 每一大组再分为若干合作小组(建议 4 人一小组)； 每组都将研究所得到的结论或成果写出来以便交流。 学情预设：考虑到各组的水平可能有所不同，教师应巡视，对个别组可做适当的指导。 设计意图：通过自主探索、合作学习不仅让学生充当学习的主人更可加深对所得到结论的理解。 (3)交流、总结 师：下面我们开一个成果展示会! 教师在巡视过程中应关注各组的研究情况，此时可选一些
15、有代表性的小组上台展示研究成果，并对比从两个角度入手研究的结果。 教师可根据上课的实际情况对学生发现、得出的结论进行适当的点评或要求学生分析这里除了研究定义域、值域、单调性、奇偶性外，再引导学生注意是否还有其他性质? 师：各组在研究过程中除了定义域、值域、单调性、奇偶性外是否还得到一些有价值的副产品呢?如过定点 (0，1)，y=a x 与 y=(1a) x 的图象关于 y 轴对称等。 学情预设：首先选一从解析式的角度研究的小组上台汇报； 对于从图象的角度研究的，可先选没对底数进行分类的小组上台汇报； 问其他小组有没有不同的看法，上台补充，让学生对底数进行分类，引导学生思考哪个量决定着指数函数的
16、单调性，以什么为分界，教师可以马上通过操作电脑看函数图象的变化。 设计意图：函数的表示法有三种：列表法、图象法、解析法，通过这个活动，让学生知道研究一个具体的函数可以从多个角度入手，从图象角度研究只是能直观地看出函数的一些性质，而具体的性质还是要通过对解析式的论证；特别是定义域、值域更是可以直接从解析式中得到的； 让学生上台汇报研究成果，让学生有种成就感，同时还可训练其对数学问题的分析和表达能力，培养其数学素养； 对指数函数的底数进行分类是本课的一个难点，让学生在讨论中自己解决分类问题使该难点的突破显得自然。 师：从图象入手我们很容易看出函数的单调性、奇偶性以及过定点(0，1)，但定义域、值域
17、却不可确定；从解析式(结合列表)可以很容易得出函数的定义域、值域，但对底数的分类却很难想到。 教师通过几何画板中改变参数 a 的值，追踪 y=ax 的图象，在变化过程中，让全体学生进一步观察指数函数的变化规律。 师生共同总结指数函数的图象和性质，教师可以边总结边板书。(三)巩固训练、提升总结 1例：已知指数函数 f(x)=ax(a0，且 a1)的图象经过点(3，)，求f(0)，f(1)，f(-3)的值。 解因为 f(x)=ax 的图象经过点(3，)，所以 f(3)=。 即a3=，解得 a= ，于是 f(x)= 所以 f(0)=1， 设计意图：通过本题加深学生对指数函数的理解。 师：根据本题，你
18、能说出确定一个指数函数需要什么务件吗? 师：从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，因此只要一个条件，即只列一个方程就可以了。 设计意图：让学生明确底数是确定指数函数的要素，同时向学生渗透方程的思想。 2练习：(1)在同一平面直角坐标系中画出 y=3x 和 y=( )x 的大致图象，并说出这两个函数的性质； (2) 求下列函数的定义域： 3师：通过本节课的学习，你对指数函数有什么认识 ?你有什么收获? 学情预设：学生可能只是把指数函数的性质总结一下，教师要引导学生谈谈对函数研究的学习，即怎么研究一个函数。 设计意图：让学生再一次复习对函数的研究方法(可以从也应该从多个角度进行)，让学生体会本课的研究方法，以便能将其迁移到其他函数的研究中去。 总结本节课中所用到的数学思想方法。 强调各种研究数学的方法之间既有区别又有联系，相互作用，才能融会贯通。 4作业：课本 59 页习题 21A 组第 5 题。 请回答以下问题：21 说明该节课的教学重难点。22 请对该设计进行点评。23 请说明该教学设计的设计意图。
