1、中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 20及答案与解析一、单项选择题1 函数 y=ln 的图像为 ( )2 i 是虚数单位， 等于( )（A）i（B） i（C） 1（D）13 ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB 若=a， =b，a=1 ，b=2，则 =( )4 已知各项均为正数的等比数列a n 中，a 1a2a3=5，a 7a8a9=10，则 a4a5a6=( )（A）5（B） 7（C） 6（D）45 一个空间几何体的主视图、侧视图均是长为 2、高为 3 的矩形，俯视图是直径为2 的圆(如图)，则这个几何体的表面积为( ) （A）12+（B） 7（C）
2、8（D）206 向量 a=(1，2)，b=(x，1)，c=a+b，d=a b，若 Cd，则实数 x 的值等于( )7 如图，矩形 ABCD 中，点 E 为边 CD 的中点，若在矩形 ABCD 内部随机取一个点 Q，则点 Q 取自ABE 内部的概率等于( )8 课程标准中提出妻发展学生的“数感” ，下列不属于课程标准要求的表现的是 ( )（A）能进行繁杂的运算（B）能理解数的意义（C）能用多种方法表示数（D）能用数来表达和交流二、简答题9 在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知 ，求 的值10 已知复数 z1 满足(z 12)(1+i)=1i(i 为虚数单位)，复数 z2
3、的虚部为 2，z 1z2 是实数，求 z211 曲线 2x2+2xy+y2=1 在矩阵 A= (a0) 对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1(1)求实数 a，b 的值(2) 求 A2 的逆矩阵12 数形结合思想是一种重要的数学思想，它的实质就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题用数形结合思想解题能简化推理和运算，具有直观、快捷的优点请简要谈谈数形结合思想在解哪些类型的问题时可以发挥作用，使问题得到更好的解决13 请结合例子简要谈谈“生活中处处有数学” 三、解答题14 设数列 a1， a2，a n，中的每一项都不为 0证明a n为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN
4、*都有 .四、论述题15 请结合实际，简要谈谈你对数学素质的看法五、案例分析题16 【教学片段】1片断 1：数学 2 第三章中直线与方程的章头语通过代数运算研究几何图形性质的方法，它是解析几何中最基本的研究方法建立直线方程然后通过方程，研究直线的有关性质片断 2：第四章圆与方程的章头语建立圆的方程通过圆的方程，研究直线与圆、圆与圆的位置关系片断3：数学 2 中第 97 页的思考栏目(1)平面直角系中的每一条直线都可以用一个关于x、y 的二元一次方程来表示吗?(2)每一个关于 x、y 的二元一次方程都能表示一条直线吗?2请同学们结合对上述片断的观察回答从中可以得出哪些主要信息?3(1)写出表示下
5、列图形 (实线部分) 的方程：(2)作下列方程所表示的图形：(i)y=x 1(0x2)；(ii)y= 4结合对前面问题的观察分析，请你来给曲线的方程下个定义问题：请对案例中的教学片断进行评价六、教学设计题17 请对高中数学必修二第三章“直线与方程” 中“点到直线的距离”一课做一教学设计，要求明确教学目标，同时预测教学中可能出现的问题并在教学设计中体现出解决方法中学教师资格认定考试（高级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 20答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 由题易知 2x30，即 x ，排除 C、D 项当 x 时，函数为减函数，当 x 时，函数为增函数，所以选 A2 【正
6、确答案】 C【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 由角平分线的性质得4 【正确答案】 A【试题解析】 a n是等比数列， ，故(a 4a5a6)2=(a1a2a2)(a7a8a9)=50，又 an4a5a6=5 .5 【正确答案】 C【试题解析】 由图知，此几何体是一个圆柱，其高为 3，半径为 1，它的表面积为212+213=8故选 C6 【正确答案】 A7 【正确答案】 C【试题解析】 由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P= 故选 C8 【正确答案】 A【试题解析】 数感主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和
7、交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估计运算的结果，并对结果的合理性作出解释A 选项的描述不符合提高学生能力的范畴，属于应试教育的表现，故错误二、简答题9 【正确答案】 由正弦定理，设 ，即(cosA2cosC)sinB=(2sinC sinA)cosB，化简可得 sin(A+B)=2sin(B+C)又 A+B+C=，所以 sinC=2sinA因此=2.10 【正确答案】 (z 12)(1+i)=1i z1=2i设 z2=a+2i，a R，则 z1z2=(2i)(a+2i)=(2a+2)+(4a)i，z 1z2R，4a=0，a=4 ，z 2=4+2i11 【正确答案】 (1)设曲线 2x
8、2+2xy+y2=1 上的点(x，y)在矩阵 A= (a0)对应的变换作用下得到点(x，y) 则x2+y2=1，(ax) 2+(bx+y)2=1.(a2+b2)x2+2bxy+y2=1.2x2+2xy+y2=1，a 2+b2=2，2b=2 a=1，b=1 A= (2)A2=A2 的逆矩阵为 .12 【正确答案】 (1)在解方程或解不等式的问题中，若方程或不等式中的代数式能拆分成一次函数、二次函数、对数函数、指数函数和三角函数等形式，则一般可利用函数的图像直观地使问题获得解决；(2)复数与三角函数概念的建立离不开直角坐标系，因此这些概念含有明显的几何意义，采用数形结合解决此类问题非常直观清晰；(
9、3)二元一次方程，二元二次方程能与直线、二次曲线相对应，用数形结合法解决此类问题，能在解题过程中充分利用平面几何和解析几何的知识，使解题思路更加开阔13 【正确答案】 (1)数学来源于生活，生活中又处处存在着数学(举例说明，如大街上随处可见的标志设计、招牌设计等，无不体现出某种数学的美，对称和不对称、如何选取比例的分割，都要涉及数学等)；(2)合理有效地利用数学可以给我们的生活提供更大的便利(举例说明，如舞台上主持人不站在舞台正中央，就用到了“黄金分割” ；存钱时计算利息等 )总之，数学来源于生活，又服务于生活三、解答题14 【正确答案】 证明：先证必要性设数列a n的公差为 d，若 d=0，
10、则所述等式显然成立若 d0则将代入，得 ，在该式两端同乘 a1akak+1 得，(k1)ak+1+a1=kak将 ak=a1+(k 1)d 代入其中，整理，得 ak+1=a1+kd由数学归纳法原理知，对一切 nN*，都有 an=a1+(n1)d所以a n是公差为 d 的等差数列综上所述，a n为等差数列的充分必要条件是：对任何 nN*，都有四、论述题15 【正确答案】 (1)数学素质是在热爱数学、欣赏数学的基础上产生的对数学的理解能力和应用能力；(2)评价一个人的数学素质的高低，不仅仅是从他数学考试成绩上推断，更重要的衡量标准应该是他是否能够在日常生活中准确、灵活地运用数学知识；(3)真正对数
11、学知识准确灵活的应用，需要有对数学的敏感性；(4)要提高数学素质，绝不是多做题就可以解决的，更要有对数学的热爱五、案例分析题16 【正确答案】 一般来说，一个概念的学习并不能在一节课内完成，这就需要我们在教学设计时做到“ 瞻前顾后 ”，既注意到学生的已有知识基础，又注意到学生面对新问题时的思维过程，体察学生所思所想，站在学生的角度设计问题在这个教学设计中，教师站在学生的角度设计了一个较合理的问题系列，从直线与方程、圆与方程的概念逐步过渡到曲线与方程的概念，然后通过实例帮助学生进一步厘清概念，这种设计是在教学中应该坚持和追求的六、教学设计题17 【正确答案】 一、内容和内容解析 1内容高中数学必
12、修二第三章“直线与方程”，第三单元 “直线的交点与距离公式 ”第三节“点到直线的距离” 点 P0(x0，y 0)到直线 l：Ax+By+C=0 的距离公式：d= 2内容解析求点到直线的距离是一个几何问题，在平面几何中从几何图形的角度进行过定性和定量的研究在解析几何中再次提出这个问题，体现了研究同一个问题的不同方法，体现了坐标法的应用点到直线的距离公式作为一个重要工具广泛应用于今后很多解析几何问题的求解过程中此外，从本章的安排来看，点到直线的距离公式可以看作两点间距离公式的应用，由它还可以得到两条平行线间的距离，因此无论从知识结构还是从教材来看它都起着承上启下的作用，它是“直线的交点与距离公式”
13、 这一单元的核心内容本节课的重点为得到点到直线的距离公式并初步会用点到直线距离公式的推导方法很多，为了达到本节课的教学目标，充分体现坐标法的应用，教学中应引导学生选择可行的、能够突出坐标法特点的方法进行推导，在推导过程中，引导学生合理变形，细心计算，从而得到点到直线的距离公式二、目标及目标解析 1目标(1)探索并初步理解点到直线的距离公式；(2)进一步学习用代数方法解决几何问题2目标解析(1)探索点到直线的距离公式就是找到合适的方法并且用这种方法得到点到直线的距离公式初步理解就是知道点到直线的距离公式是用已知点的坐标和直线方程一般式中的三个系数表示该点到直线的距离，记住公式并初步学会公式的使用
14、(2)在推导和使用公式的过程中，可以让学生有机会进一步学习解析法，体会其定量分析几何问题的优越性三、教学问题诊断分析在教学中可能遇到的问题是，选择何种方法得到点到直线的距离公式?如何引导学生选择合适的方法得到公式? 点到直线的距离公式推导的方法很多，大致有两类，一类是容易想到的但不容易计算推导，另一类是计算相对容易却不容易想到教学要兼顾这两方面，更要从中选择能较好体现解析法思想的方法既不能为讲方法而讲方法，一味认为方法越多越好，也不能为了得到公式急于求成，将教师的方法强加给学生因此，实际教学中既要给学生选择方法的机会，又要引导学生聚焦在既可行又能较好体现解析法思想的方法上教学中还可能遇到的问题
15、是即使采取了计算相对简便的方法，在推导公式的过程中，学生还是可能会在计算上遇到困难教师应引导学生通过观察式子的特点，进行合理运算，鼓励学生耐心求解，帮助学生成功得到点到直线的距离公式四、教学支持条件分析利用几何画板的作图功能，直观体现各种证明思路，提高课堂效率必要时，对有关点、直线、线段长等进行代数表示，以启发学生的思考五、教学过程设计 1公式引入及推导我们已经学过两点间的距离公式，今天我们一起来看一个新的问题，请看大屏幕给大家五分钟时间，看谁先做出来问题 1：已知点 P0(x0，y 0)和直线 l 的方程：Ax+By+C=0，求点 P0到直线 l 的距离设计意图：由学生熟悉的两点间距离引入，
16、直接提出本节课要讨论的问题师生活动：教师给学生一定的时间进行思考并推导，之后共同交流解决问题的方案学生可能提出下面的方法：先过点 P0 作直线 l 的垂线，垂足为 Q，则P 0Q就是点 P0 到直线 l 的距离 d；然后用点斜式写出垂线方程，并与原直线方程联立方程组，此方程组的解就是点 Q 的坐标；最后利用两点间距离公式求出P 0Q问题 2：这种方法计算量较大，能不能在此基础上进行改进使得方法简单些?设计意图：引导学生思考选择更好的方法得到点到直线的距离公式师生活动：(1)根据学生情况，教师可以给予以下引导：上述方法中的难点在于求交点坐标，以及两点之间的距离，如果是一条平行于坐标轴的线段，是不
17、是交点坐标和线段长度就都很好求了? 根据上述思考以及借鉴两点间距离公式的推导，能否将P 0Q放到一个直角三角形中求解呢? 在教师引导下，共同探讨得到借助三角形求解的推导方法这里可能出现以下两种思路：思路一：在P0RS 中借助面积求解思路二：在P 0RQ 中，求SP 0Q，用边角关系( 也可以在P0RQ 中解决，角的关系有所不同，直线位置的变化也对解题造成影响，布置成为课后思考)(2)在上述分析的基础上，完成用面积法推导公式的过程教师巡视，并指导学生合理变形，耐心计算，帮助学生得到点到直线的距离公式，并请学生在黑板上进行板书(3)教师对学生的推导进行点评，给予补充纠正，进一步完善证明并对推导过程
18、进行总结2公式结构分析及应用问题 3：公式有哪些结构特征?设计意图：通过对结构的分析，帮助学生准确记忆公式师生活动：教师引导并具体指出公式特点：公式的分子：保留直线方程一般式的结构，体现了公式与直线方程关系公式的分母：直线方程中两个未知数的系数的平方和再开方公式分子中的结构：Ax 0+By0+C就是将已知点的坐标带入到直线方程后取绝对值的结果，点到直线距离公式实际上也体现了这个值与该点到直线距离的关系例 1 求点 P0 (1， 2)到直线 3x=2 的距离练习：求点 P0(1，2)到下列直线的距离 5y=3 2x+y=10 y=4x+l 设计意图：直接运用公式，熟悉公式师生活动：在运用点到直线
19、距离公式时，教师应强调公式结构，并强调先将直线方程化为一般式后，再将点的坐标带入到直线方程进行计算，并指出，当直线垂直于坐标轴时，可直接求解例 2 已知点 A(4，2)到直线 y=kx+2 的距离为 2，求 k 的值设计意图：公式的逆用，已知点到直线的距离，求解参数的值，进一步熟悉公式，并达到对公式的初步理解师生活动：教师应关注学生是否能将直线方程化为一般式，以及学生是否能利用公式得到关于 k 的方程3课堂小结本节课学习了点到直线距离公式在推导过程中，我们通过构造直角三角形将求两点间的距离转化为了求平行于坐标轴的线段的长度，这降低了运算难度可以看到点到直线的距离公式的分子是将已知点坐标带入直线方程等号左边的式子后再取绝对值的结果，分母则是直线方程中未知数系数的平方和再开方在应用公式的时候应当注意，应将直线方程化为一般式之后再用公式进行计算六、目标检测设计预案一：课堂未完成例 2 求P(1，1)到直线 l：y=2x1 的距离 d预案二：课堂完成例 2 若点 P0(m，2)到直线 y= x+1 的距离为 ，求实数 m 的值设计意图：点到直线距离公式的直接应用，考查学生对公式的记忆与简单应用
