1、2012 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设行列式 则行列式( )（A）一 1（B） 0（C） 1（D）22 设 A 是 n 阶矩阵O 是 n 阶零矩阵，且 A2E=0，则必有( )（A）A=E（B） A=-E（C） A=A-1（D）A=13 为反对称矩阵，则必有 ( )（A）a=b=一 1，c=0（B） a=c=一 1,b=0（C） a=c=0,b=一 1（D）b=c=一 1a=04 设向量组 a1=(2，0，0) T，a 2=(0，0，
2、一 1)T，则下列向量中可以由 a1，a 2 线性表示的是 ( )（A）(一 1，一 l，一 1)T（B） (0，一 1，一 1)T（C） (一 1一 1，0) T（D）(一 1，0，一 1)T5 已知 43 矩阵 A 的列向量组线性无关，则 r(AT)=( )（A）1（B） 2（C） 3（D）46 设 a1，a 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个解向量，则下列向量中为方程组解的是 ( )（A）a 1 一 a2（B） a1+a2（C）（D）7 齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 若矩阵 A 与对角矩阵 相似，则 A2=( )（A）E
3、（B） A（C）一 E（D）2E9 设 3 阶矩阵 A 的一个特征值为一 3，则一 A2 必有一个特征值为 ( )（A）一 9（B）一 3（C） 3（D）910 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3 的规范形为 ( )（A）z 12 一 z22（B） z12+z22（C） z12（D）z 12+z22+z32二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11 行列式 的值为_12 设矩阵 ，则 PAP2_13 设向量 =(1，2，1) T， =(一 1，一 2，一 3)T，则 3 一 2_14 若 A 为 3 阶矩阵，且
4、，则(3A) -1_15 设 B 是 3 阶矩阵，O 是 3 阶零矩阵，r(B)=1，则分块矩阵的秩为_16 向量组 1=(k，一 2,2)T， 2=(4，8，一 8)T 线性相关则数 k=_17 若线性方程组 无解，则数 =_18 已知 A 为 3 阶矩阵， 1， 2 为齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系，则A=_ 19 设 A 为 3 阶实对称矩阵， 1=(0，1，1) T， 2=(1，2，x) T 分别为 A 的对应于不同特征值的特征向量，则数 x=_20 已知矩阵 则对应的二次型 f(x1，x 2，x 3)=_三、计算题21 计算行列式 的值22 设矩阵 求满足方程 AX=BT 的矩
5、阵 X23 设向量组 求该向量组的秩和一个极大线性无关组24 求解非齐次线性方程组 (要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)25 求矩阵 的全部特征值和特征向量26 确定 a，b 的值，使二次型 f(x1，x 2，x 3)=ax12+2x22 一 2x32+2x2x3 的矩阵 A 的特征值之和为 1，特征值之积为一 12四、证明题27 设 A，B 均为 n 阶(n2)可逆矩阵，证明(AB)*=B*A*2012 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。
6、1 【正确答案】 B【试题解析】 本题考察行列式的性质 5：行列式可按行(列)展开答案为 B2 【正确答案】 C【试题解析】 A -1A=AA-1=En，则 A=A-1 时，A 2E=0其他三项可举反例排除答案为 C.3 【正确答案】 B【试题解析】 本题是对反对称矩阵定义的考察，A T=一 A，易知各元素对应可求得 a=一 1，b=0，c=一 1答案为B4 【正确答案】 D【试题解析】 =k 11+k22，本题中 1,2 中间数均为 0，无论如何线性组合均不能得出一 1，故 A、B、C 均排除答案为 D5 【正确答案】 C【试题解析】 向量组的秩即为向量组的极大无关组所含向量个数，A T 为
7、 34 矩阵，其行向量组线性无关，所以 r(AT)为其行数 3答案为 C6 【正确答案】 D【试题解析】 A 1=b，A 2=b，A 项：A( 1 一 2)=A1 一 A2=bb=0，B 项：A(1+2)=A1+A2=2b，C 项： D 项：答案为 D7 【正确答案】 B【试题解析】 Ax=0 的任意 n 一 r 个线性无关的解向量都是它的基础解系。r故基础解系所含解向量的个数为 n 一 r=42=2答案为B.8 【正确答案】 A【试题解析】 本题考察相似矩阵的特点，题中 P-1AP=D，故 A2=PDP-1.PDP-1=PD2P-1=E答案为 A9 【正确答案】 A【试题解析】 本题是对特征
8、值定义的考察，一 3 为 A 的一个特征值，则 Ap=一3p，一 A2P=一 A.(一 3P)=3AP=3(一 3)P=一 9P答案为 A10 【正确答案】 C【试题解析】 本题宜用配方法得到 f(x1，x 2，x 3)=(x1，x 2，x 3)2，故令Z1=x1+x2+x3，得其规范形为 Z12答案为 C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11 【正确答案】 0【试题解析】 行列式的计算，12 【正确答案】 【试题解析】 本题是对矩阵计算的考察， ,PAP2=PA=13 【正确答案】 (5，10，9) T【试题解析】 本题为向量组的线性运算，3 一 3=3(1，2，1
9、) T 一 2(一 1，一 3，一 3)T=(5，10，9) T14 【正确答案】 【试题解析】 15 【正确答案】 4【试题解析】 16 【正确答案】 一 1【试题解析】 1 与 2 线性相关，则 易得 k=一 117 【正确答案】 一 1【试题解析】 导数矩阵为 由方程组无解可知故 =一 118 【正确答案】 0 【试题解析】 齐次方程组 Ax=0 有基础解系 ，故A =0 19 【正确答案】 一 2 【试题解析】 本题是对有关实对称矩阵的重要结论的考察，实对称矩阵属于不同特征值的特征向量一定正交，故 1 与 2 正交01+12+1x=0x=一 220 【正确答案】 x 23+2x33+2
10、x1x3 一 2x2x3【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=xTAx=x23+2x33+2x1x32x2x3三、计算题21 【正确答案】 22 【正确答案】 因A=20，故 A 可逆，23 【正确答案】 向量组的秩为 31,2,3 为一个极大线性无关组(答案不惟一)24 【正确答案】 由得到，故方程组有无穷多解通解为k1，k 2 为任意常数25 【正确答案】 由 得 A 的 3 个特征值为1=2=3=0 当 =0 时，由(OEA)x=0 得基础解系 p=(1，0，0) T 则 A 的属于特征值=0 的全部特征向量为 kp，k 不是为零的任意常数26 【正确答案】 二次型的矩阵 设 A 的特征值为 1， 2， 3，由已知条件 1+2+3=a+2+(一 2)=1解得 a=1，b=2四、证明题27 【正确答案】 由于 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则 AB 为 n 阶可逆矩阵且 A-1=所以(AB) *= AB(AB) -1= A. BB -1A-1=(BB -1)( A -1A)=B *A*
