1、2013 年 4 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 行列式 中 a22 的代数余子式为 ( )（A）（B）（C）（D）2 设 A，B 均为 n 阶矩阵，(A+B)(AB)=A 2 一 B2 的充分必要条件是 ( )（A）A=B（B） B=O（C） A=B（D）AB=BA3 设向量组 1,2,3 线性无关，则下列向量组中线性无关的是 ( )（A） 1， 2， 1+2 （B） 1 一 2， 2 一 3， 2 一 3（C） 1， 2，2 1 一 32（D）
2、2，2 3，2 2+34 4 元齐次线性方程组 的基础解系所含解向量的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 设一 2 是 3 阶矩阵 A 的一个特征值，则 A2 必有一个特征值为 ( )（A）一 8（B）一 4（C） 4（D）8二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知行列式 则 =_.7 A 是 3 阶矩阵，若A *=4，且A0，则A=_8 设矩阵 则 ATA=_9 设 1=(1，一 2，5) ， 2=(4，7，一 2)，则一 21+32=_.10 3 元齐次线性方程组 的一个基础解系为_.11 设 A 为 3 阶矩阵，r(A)=2，若存在可逆矩阵
3、P，使 P-1AP=B，则 r(B)=_12 已知向量组 1=(1，2，一 1，1)， 2=(2，0，t，0)， 3=(一 1，2，一 4，1)的秩为 2，则数 t=_13 设 A 为 3 阶矩阵，2 是 A 的一个 2 重特征值，一 1 为它的另一个特征值，则A=_ 14 设向量 1=(1，2，一 1)， 2=(3，2，1) ，则内积( 1， 2)=_.15 设矩阵 则二次型 xTAX=_三、计算题16 计算行列式 其中 a，b，c ，d 为常数17 已知 求矩阵 X18 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵 B，再将 B 的第 2 列加到第 3 列得到矩阵
4、C，求满足关系式 AQ=C 的矩阵 Q19 设向量组 判定 4 是否可以由 1,2,3 线性表出，若可以，求出其表示式19 已知 4 元线性方程组20 确定 a 的值，使方程组有解；21 在有解时，求出其通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)22 求正交变换 x=Py，将二次型 f(x1，x 2)=3x12 一 2x1x2+3x22 化为标准型，并指出 f是否为正定二次型23 求矩阵 的特征值，并判定 A 能否与对角矩阵相似(需说明理由)四、证明题24 设 A 为 n 阶矩阵，k 为正整数，且 Ak=0，证明 A 的特征值均为 02013 年 4 月全国自考公共课线性代数（经管类）真
5、题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题考察代数余子式的定义， 答案为 C2 【正确答案】 D【试题解析】 (A+B)(AB)=A 2 一 AB+BAB2，要使等式 =A2 一 B2，则AB+BA=0答案为 D3 【正确答案】 A【试题解析】 本题考察向量组线性无关的概念，存在 m 个不全为零的数k1，k 2，k m，使得 k11+k22+kmm=0 则称向量组 1， 2， m 线性相关，否则线性无关答案为 A4 【正确答案】 B【试题解析】 本题考察齐次方程组
6、基础解系与系数矩阵车秩的关系。本题中系数矩阵可化为 易知基础解系的个数为 n 一 r=2答案为B5 【正确答案】 C【试题解析】 本题考察特征值的概念，Ap=Ap.Ap= 2p=2p所以 A2 与 A 有一个相同的特征向量 P，特征值为 2=4答案为 C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 6【试题解析】 本题考察行列式的性质 2 和 5，而行列式有相同行(列)则值为 07 【正确答案】 2【试题解析】 本题要求时伴随矩阵 A*的理解和掌握AA *=AE，AA *=A.A *=A 3，所以A 2=A *=4 ，A=28 【正确答案】 【试题解析】 本题考
7、察转置矩阵及运算9 【正确答案】 (10，25，一 16)【试题解析】 本题为向量的运算10 【正确答案】 【试题解析】 本题为齐次线性方程组的求解， 易知基础解系为11 【正确答案】 2【试题解析】 相似矩阵的秩相同12 【正确答案】 3【试题解析】 要使秩为 2，则 t=313 【正确答案】 -4【试题解析】 本题考察特征值的相关结论定理 5、1、2,.22(一 1)=一 414 【正确答案】 6【试题解析】 本题考察内积的定义，( 1， 2)=13+22+(一 1)1=615 【正确答案】 x 12+2x224x 2x3【试题解析】 本题考察二次型与矩阵的互换，应熟练掌握三、计算题16
8、【正确答案】 17 【正确答案】 18 【正确答案】 对矩阵 A 施行列变换相当于用对应的初等方阵右乘 A，将 A 的第一列与第 2 列互换相当于 A 右乘 将 B 的第二列加到第 3 列一相当于 B 右乘19 【正确答案】 设 x11+x22+x33=3则 所以 4 可以由 1,2,3 线性表出， 4=21+2+320 【正确答案】 Ax=b 有解 r(A，b)=r(A)21 【正确答案】 时，方程组有解可得两个特解 从而该方程组的通解为：22 【正确答案】 先求其特征值=( 一 3)2 一 1=( 一 2)( 一 4)=0，得1=0， 2=2， 3=4 1=0 时，满足 可取得 2=2 时，满足 可取得 3=4 时，满足 x1+x2=0，可取得经正交变换 x=Py 后，原二次型化为标准形，2y 22+4y32，其不是正定二次型，因A =0.23 【正确答案】 =1当 =1 时， 此时(A)x=0 的根中所含向量数不等于重根数 3，故 A 矩阵不能对角化.四、证明题24 【正确答案】 设 A 的特征值为 ，则 Ap=p AkP=P Ak=0， kP=0 由于P0， =0 即 A 的特征值均为 0
