1、2014 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 3 阶行列式 若元素 aij 的代数余子式为 Aij(i，j=1，2，3)，则A31+A32+A33= ( )（A）一 1（B） 0（C） 1（D）22 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 3 行乘以 得到单位矩阵 E，则|A|= ( )（A）一 2（B）（C）（D）23 设向量组 1， 2， 3 的秩为 2，则 1， 2， 3 中 ( )（A）必有一个零向量（B）任意两个向量都线性无关（C）
2、存在一个向量可由其余向量线性表出（D）每个向量均可由其余向量线性表出4 设 3 阶矩阵 ，则下列向量中是 A 的属于特征值一 2 的特征向量为( )5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2 的正惯性指数为 ( )（A）0（B） 1（C） 2（D）3二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 ，则方程 f(x)=0 的根是_ 7 设矩阵 ，则 A*=_8 设 A 为 3 阶矩阵， ，则行列式|(2A) -1|=_9 设矩阵 若矩阵 A 满足 PA=B，则 A=_10 设向量 1=(一 1，4) T， 2=(1，2) T， 3=(4，2)
3、T，则 3 由 1， 2 线性表出的表示式为_。11 设向量组 1=(3，1，1) T， 2=(4，1，0) T， 3=(1，0，k) T 线性相关，则数k=_12 3 元齐次线性方程组 的基础解系中所含解向量的个数为_13 设 3 阶矩阵 A 满足|3E+2A|=0，则 A 必有一个特征值为_14 设 2 阶实对称矩阵 A 的特征值分别为一 1 和 1，则 A2=_15 设二次型 f(x1，x 2)=tx12+x22+2tx1x2 正定，则实数 t 的取值范围是_三、计算题16 计算 4 阶行列式 的值17 已知矩阵 求 A-118 设矩阵 且矩阵 X 满足 AX+E=A3+X，求 X19
4、设向量 1=(1，1，1，1) T， 2=(1，2，1，1) T， 3=(k+1，1，k，k+1)T， =(k2+1，1，1，1) T，试确定当 k 取何值时 能由 1， 2， 3 线性表出，并写出表示式20 求线性方程组 的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)21 设矩阵 与对角矩阵 相似，求数 x 与可逆矩阵P，使得 P-1AP=B.22 用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+x32+2x1x3 化为标准形，写出标准形和所作的正交变换四、证明题23 设向量组 1， 2， 3 线性相关，且其中任意两个向量都线性无关证明：存在全不为零的常数 k1，k 2，
5、k 3 使得 k11+k22+k33=02014 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 由代数余子式的定义知 A31+A32+A33= =22 【正确答案】 A【试题解析】 由题意 得|A|=一23 【正确答案】 C【试题解析】 由于 1， 2， 3 的秩为 2，则其极大无关组所含向量个数为 2，所以有一个向量可由其它向量线性表出4 【正确答案】 B【试题解析】 因 =一 2 为 A 的一个特征值，所以(E 一 A)即
6、且 x11=x2-x3，将 A、B、C 、D 选项代入，只有 B 符合题意5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+x32+4x1x2=2(x1+x2)2+x32 一 x12 一 x22，令则 f=z12+z22z32 一 z42，所以正惯性指数为 2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 5【试题解析】 =(2-x)+3=5-x=0，得 x=57 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 【试题解析】 =20，所以 P 存在逆矩阵 P-1，且 p-1= 由PA=B，得 A=P-1B
7、=10 【正确答案】 3=一 1+32【试题解析】 由线性相关定义，设有实数 k1，k 2，使 3=k11+k22，则所以 3=一 1+3211 【正确答案】 一 1【试题解析】 因为 1， 2， 3 线性相关，即存在不全为零的数 m1，m 2，m 3 使m11+m22+m33=0，即 解之得 k=一 112 【正确答案】 1【试题解析】 所以其基础解系所含解向量的个数为 113 【正确答案】 【试题解析】 |3E+2A|=|3E-( 一 2)A|= 必为 A 的一个特征值14 【正确答案】 【试题解析】 A 为实对称矩阵，设 其特征值为一 1 和 1，则由特征值的性质知 a+b=1+(-1)
8、=0，|A|=ab-c2=1(一 1)=一 1，得 a=1，b= 一 1，c=0 ，或 a=一 1，b=1 ，c=0 则15 【正确答案】 0t1【试题解析】 f(x 1，x 2)=(x1，x 2) 。因二次型 f(x1，x 2)正定，则，即 0t1三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 |A|=一 14=10，知 A 可逆，18 【正确答案】 19 【正确答案】 令 x1，x 2，x 3 为表出系数，则 x11+x22+x33=，即由第一行和第四行知：k 2+1=1，解出 k=0，转化为求解方程组 Ax=b 的解 即：=11+02+0320 【正确答案】 对增广矩阵施行初等行变换，
9、(A，b)=同解方程组为 令得到一组特解： 导出组同解方程组得到基础解系方程组的通解为 (k 1，k 2 为任意实数)21 【正确答案】 A 与 B 相似，则|A|=|B|6-2x=4，解出 x=1，又因为 A与 B 的特征值一样，所以 A 的特征值有： 1=1， 2=3=2，22 【正确答案】 f(x 2，x 2，x 3)=x12+2x22+x32+2x1x3 求解特征方程解得 1=2， 2=3=1，利用施密特法对 a2，a 3 正交化： 化二次型为标准形 f=2y12+y22+y32四、证明题23 【正确答案】 1， 2， 3 线性相关，存在不全为零的数 k1，k 2，k 3 使得k11+k22+k33=0，假设 k1，k 2，k 3 中存在为零的数，可以假设 k1=0，则k22+k33=0 又 2， 3 线性无关，所以有 k2=k3=0，现在 k1=k2=k3=0 与 k1，k 2，k 3不全为零矛盾，所以 k1，k 2，k 3 是全不为零的常数，使得 k11+k22+k33=0，得证
