1、2016 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 多项式 f(x)= 的常数项是 ( )（A）一 14（B）一 7（C） 7（D）142 设 A 为 n 阶矩阵，如果 A= E，则A= ( )（A）（B）（C）（D）23 设 A 为 3 阶矩阵，且A=a0，将 A 按列分块为 A=(1， 2， 3)，若矩阵B=(12，2 2， 3)，则B= ( )（A）0（B） a（C） 2a（D）3a4 若向量组 1， 2， s 可由向量组 1， 2， ， s
2、线性表出，则必有 ( )（A）st（B） st（C）秩 (1， 2， s)秩( 1， 2， t)（D）秩( 1， 2， s)秩( 1， 2， t)5 与矩阵 A= 合同的矩阵是 ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 =_7 若行列式 =_ 8 设矩阵 A= ，则 ABT=_9 设矩阵 ，则(AE) -1=_10 设矩阵 A= ，则 A*=_11 若向量 =(一 1，1，k)可由向量 1=(1，0，一 1)， 2=(1，一 2，一 1)线性表示，则数 k=_12 齐次线性方程组 的基础解系中解向量的个数为_13 设 A 为 3 阶矩阵， i 为 3 维非零
3、列向量，且满足 Ai=ii(i=1，2，3)，则 r(A)= _14 设 0=一 2 是 n 阶矩阵 A 的一个特征值，则 A2+E 的一个特征值是_15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=x122x1x3+x2x3 的矩阵为_三、计算题16 计算行列式 D=17 设矩阵 A，B，C 满足关系式 AC=CB，其中 B=，求矩阵 A 与 AT。18 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 1 列与第 2 列互换得到矩阵 B，再将 B 的第 2 列加到第 3 列得到单位矩阵 E，求矩阵 A19 求向量组 1=(1，1，2，4) T， 2=(0，1，1，2) T， 3=(2，1，3，6)T， 4=(
4、1，2，3，6) T 的一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出20 求线性方程组 的通解(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)21 设 2 阶实对称矩阵 A= ，求正交矩阵 Q，使得 Q-1AQ 为对角矩阵22 菪向量 = 的一个特征向量，求数 k 的值。四、证明题23 设 A 为 3 阶可逆矩阵，证明(2A) *=4A*2016 年 10 月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 将多项式 f(
5、x)的行列式按第一行展开得到 f(x)=(一 1)(1+1)x(24 35)+(一 1)(1+2)(一 1).243(一 2)=一 7x+14答案为 D2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 A= 答案为 A。3 【正确答案】 C【试题解析】 由行列式性质可知，B =1(1，2 2， 3)+( 2，2 2， 3)=2 ( 1， 2， 3)=2A=2a答案为 C。4 【正确答案】 C【试题解析】 n 维向量组 R=1， 2， r和 S=1， 2， s，若 S 可由 R线性表出，则有 r(s)r(R)答案为 C。5 【正确答案】 C【试题解析】 对于实对称矩阵 A，必有 A=P-1AP，P 为正交
6、矩阵，P T=P-1即，特征方程EA=( 一 1)2(+1)， 1=1， 2=3=一 1答案为C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0【试题解析】 行列式由第一行展开得：0(一 1)2.00 一 a.(一 a)+(c)(一 1)3.c0一(a)b+(b)(一 1)4.(a.c 一 0.b)=07 【正确答案】 一 1【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 AB T= 9 【正确答案】 【试题解析】 令 B=AE=10 【正确答案】 【试题解析】 A *= ，A 11=0，A 12=(一 1)33=一 3，A 21=(一 1)32=一2，A 22
7、=0，A *=11 【正确答案】 1【试题解析】 可设 =k11+k22，即12 【正确答案】 2【试题解析】 A= ，r(A)=2 ，n=4，基础解系向量个数为 nr=213 【正确答案】 3【试题解析】 A=i i(i=1，2，3)，则 A 有 3 个不同特征值，r(A)=314 【正确答案】 5【试题解析】 A= 一 2，左乘 A 得 A2=一 2A=4，(A 2+E)=5，A 2+E 的一个特征值为 515 【正确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=xTAx，A=(a ij)33，f(x 1，x 2，x 3)= aijxixj，由f(x1，x 2，x 3)=x12x1x
8、3x2x3 的各项系数可得出 A= 三、计算题16 【正确答案】 D=a 2 =(a2b2 一 c2d2)(a1b1 一c1d1)17 【正确答案】 由C=一 10，故 C 可逆，且 C-1= 又AC=CB，得 A=CBC-1A3=CB3C-1=CBC-1=A18 【正确答案】 设初等矩阵 P1= 则有 AP 1P2=E 从而 A=P 2-1P1-1=19 【正确答案】 设 A=(1， 2， 3， 4)=则 1， 2 为向量组的一个极大线性无关组，且 3=21+2， 4=1+2注：极大线性无关组不惟一20 【正确答案】 方程组的增广矩阵方程组的一个特解*=(1，0，0) T 导出组的一个基础解
9、系 1=(1，1，1) T 方程组的通解为 *+c11(其中c1 为任意常数 )21 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为EA = =(一 4)(+1)故A 的特征值为 1=4， 2=一 1对于 1=4，求解方程组(4E 一 A)x=0，基础解系为1=(一 2，1) T，单位化后得 1= (一 2，1) T对于 2=一 1，求解方程组(一 EA)x=0，基础解系为 2=(1，2) T，单位化后得 2= (1，2) T令 Q=(1， 2)=，则 Q 为正交矩阵，且 Q-1AQ= 。22 【正确答案】 设 是矩阵 A 的对应于特征向量 的特征值，则 A=，即解得 k=0四、证明题23 【正确答案】 由于 A 为 3 阶可逆矩阵故 2A 也为 3 阶可逆矩阵 又 A*一AA -1，从而 (2A) *=2A(2A) -1 =22A A-1 =22A A -1=4A*
