1、全国自考公共课线性代数经管类（行列式）模拟试卷 1 及答案与解析一、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1 设 A 为 2 阶可逆矩阵，且已知(2A) -1= 则 A=_.2 设 3 阶矩阵 则(A T)1=_.3 设矩阵 则 A-1=_.4 设向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，1，0) T，=(1 ，0，0) T，=(0，1，1) T，则 由1,2,3 线性表示的表示式为 =_二、计算题5 计算下列行列式6 计算行列式7 计算行列式 的值8 设 2 阶矩阵 A 可逆，且 A-1= 对于矩阵令 B=P1AP2，求 B-19 判断矩阵 是否可逆，若可逆，求出它的逆矩阵
2、9 已知矩阵10 求 A 的逆矩阵 A-1；11 解矩阵方程 AX=B12 问 =(4，5，5) 能否表示成 1=(1，2，3)， 2=(一 1，1，4)， 3=(3，3，2)的线性组合?13 设向量组 1,2,3 线性无关，令 1=一 1+3，=2 223，=2 152+33试确定向量组 1， 2， 3 的线性相关性14 已知向量组 试讨论其线性相关性若线性相关，则求出一组不全为零的数 k1，k 2，k 3 使得 k11+k22+k33=0 15 设向量组 1=(1，一 1，2，4) T， 2=(0，3，1，2) T， 3=(3，0，7，14) T， 4=(1，一 1，2，0) T，求向量组
3、的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大线性无关组线性表示16 求 =(1,2,3)在基 S=(1，0，0)，(1，1，0)， (1，1，1)下的坐标，并将 用这个基线性表出17 求 R4 中由向量组生成的子空间的一个基和维数17 已知线性方程组18 讨论 为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解19 在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)19 已知线性方程组20 求当 a 为何值时，方程组无解、有解21 当方程组有解时。求出其全部解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)22 设 求出 A 的所有的特征值和特征向量23 求出 的特征值和
4、线性无关的特征向量23 设矩阵24 求矩阵 A 的特征值与对应的全部特征向量25 判定 A 是否可以与对角矩阵相似，若可以，求可逆矩阵 P 和对角矩阵 A，使得P-1AP=A。26 是否相似于对角矩阵?若是，则求出其相似标准形26 设向量 =(1，2，3，4)，=(1，一 1，2，0)，求：27 矩阵 T28 向量 与 的内积( ，) 29 已知矩阵 求正交矩阵 P 和对角矩阵 A，使 P-1AP=A。30 用配方法求 f(x1，x 2)=x12 一 4x1x2+x22 的标准形三、证明题31 任意一个实方阵 A 都可以惟一地表示为一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和32 任意奇数阶反对称矩阵的行
5、列式必为零全国自考公共课线性代数经管类（行列式）模拟试卷 1 答案与解析一、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。1 【正确答案】 根据可逆矩阵的基本性质 可知2 【正确答案】 3 【正确答案】 (A，E n)=，则 A-1=4 【正确答案】 设线性方程组 x11+x22+x33=，对它的增广矩阵施行初等行变换，得： 显然x11+x22+x33= 的同解方程组 Tx=d 就是 它的惟一解就是 x1=1 ;x2=0;x3=一 1 可以惟一表示成 1,2,3 的线性组合是 =1+02 一 3二、计算题5 【正确答案】 用对角线法展开D=3xy(x+y)一 x3 一 y3 一(x+
6、y) 3=一 2(x3+y3)6 【正确答案】 将行列式的第三列减去第二列，第四列减去第一列，就可以直接求出其值7 【正确答案】 解法一解法二8 【正确答案】 由于 B=P1AP2 故 B-1=(P1AP2)-1=P2-1A-1P1-19 【正确答案】 由于 故矩阵 A 可逆逐个求出代数余子式和伴随矩阵：于是.10 【正确答案】 由于A=一 10，所以 A 可逆，且11 【正确答案】 12 【正确答案】 考察线性方程组 x11T+x22T+x33T=T用矩阵的初等行变换化简方程组的增广矩阵：( 1T， 2T， 3T， T)13 【正确答案】 设有数 k1，k 2，k 3，使 k11+k22+k
7、33=0 即 k1(一 1+3)+k2(2223)+k3(21 一 52+33)=0 整理得(一 k1+2k3)1+(2k253)2+(k1 一 2k2+3k3)3=0 因为 1,2,3 线性无关，则 其系数矩阵初等变换 得到 r(A)=23，所以方程组有非零解从而 1， 2， 3 线性相关14 【正确答案】 构造矩阵 A=(1,2,3)，利用矩阵的初等行变换将 Ax=0 的系数矩阵化成简化行阶梯形矩阵因为r(A)=23，所以 Ax=0 有非零解，从而向量组线性相关方程x11+x22+x33=0的同解线性方程组为 令 x3=1，可得一组解为 x1=一 2， x2=1，x 3=1取 k1=一 2
8、，k 2=1，k 3=1，得一 21+2+3=015 【正确答案】 由于 A=(1,2,3， 4)=因此，阳嫩组的秩为 3，取 1,2,3 为向量组的一个极大线性无关组(答案不惟一， 1,3,4； 2,3,4也是极大线性无关组)， 3=31+216 【正确答案】 令 x1(1，0，0)+x 2(1，1，0)+x 3(1，1，1)=( 1,2,3)，即容易解得 x1=a1a2，x 2=a2 一 a3.x3=a3所以=(1,2,3)在基 S=(1，0 ，0)，(1，1，0)，(1，1，1)下的坐标为(a 1a2，a 2 一a3，a 3)，且有 (a1，a 2，a 3)=(a1a2)(1，0，0)+
9、(a 2 一 a3)(1，1，0)+a 3(1，1，1)17 【正确答案】 向量组 1,2,3,4 的一个极大无关组就是其生成子空间的一个基，1,2,3,4 的秩就是生成空问的维数因此 1,2,3 就是由 1,2,3,4 生成的子空间的一个基，生成子空间的维数为 318 【正确答案】 将线性方程组的增广矩阵 作初等行变换当 =一 2 时, 方程组无解;当 一 2 且 1 时方程组有惟一解；当 =1 时,方程组有无穷多个解19 【正确答案】 当 =1 时, 同解方程组为 x=一2 一 x2 一 x3对应齐次方程组的基础解系为 1=(一 1，1，0) T， 2=(一 1,0，1) T 非齐次方程组
10、的一个特解 =(一 2，0，0) T 所以原方程组的通解为x=k11+k22+(k1，k 2 为任意常数)20 【正确答案】 将线性方程组的增广矩阵做初等行变换，当a一 3 时， ，即 ，方程组无解当 a=一 3 时， ，方程组有无穷多个解21 【正确答案】 当 a=一 3 时, 同解方程组为得到方程组的一个特解为 *=(一 1，1，0) T，导出组的一个基础解系为 =(一 2，1，1) T，从而方程组的全部解为 =*+k(k 为任意常数)22 【正确答案】 A 的特征方阵为 A 的特征方程为 它的两个根是 1=0， 2=5，这就是 A 的两个特征值用来求特征向量的齐次线性方程组为 即属于 1
11、=0 的特征向量满足线性方程组可取解 属于 2=5 的特征向量满足线性方程组 可取解 p1，p 2 就是 A 的两个线性无关的特征向量容易验证属于1=0 的特征向量全体为 k1p1，k 1 为任意非零常数；属于 2=5 的特征向量全体为k2p2，k 2 为任意非零常数23 【正确答案】 先求出 A 的特征多项式因此 A 的特征值为 1=2=2， 3=11用来求特征向量的齐次线性方程组为属于1=2=2 的特征向量 满足：即 x2=一 2(x1+x3)据此可求出两个线性无关的特征向量 属于 3=11 的特征向量满足： 在前两个方程中消去 x3，可得 9x118x2=0，即 x1=2x2在后两个方程
12、中消去 x1，可得 18x29x3=0，即 x3=2x2于是可求出特征向量24 【正确答案】 由 A 的特征方程E 一 A=得 A 的特征值为1=9， 2=1对于 1=9，求解(9E 一 A)X=0 得基础解系 1=(7，1) T，从而 A 的属于特征值 1=9 的全部特征向量为 c11(c1 为任意非零常数)对于 2=1，求解(EA)r=0 得基础解系 2=(一 1，1) T。从而 A 的属于特征值 2=1 的全部特征向量为cTT(cT 为任意非零常数)25 【正确答案】 由于 2 阶矩阵 A 有两个互不相同的特征值，故 A 可与对角矩阵相似令 则 P 可逆，并且 P-1AP=A。26 【正
13、确答案】 属于 1=2=1 的特征向量满足：一 2x1+x2+2x3=0， 即 x2=2(x1x3)可取两个线性无关的解 属于 3=0 的特征向量满足：即 x1=x2=x3，可取 于是找到可逆矩阵 使得 P-1AP= 说明 因为=1 对应的特征矩阵 的秩为 1，使得 nr(E3 一 A)一 31=2，它与 =1 的重数相同，所以必有两个线性无关的特征向量所以这个三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量，它必相似于对角矩阵27 【正确答案】 28 【正确答案】 29 【正确答案】 由=2( 一 3)=0，得 A 的特征值 1=2=0， 3=3对于 1 一 2=0，对应的线性无关的特征向量为 1=(
14、一 1， 1，0) T， 2=(一 1，0，1) T，对于 3=3，对应的特征向量为3=(1， 1，1) T，将 1， 2 正交化，得1=1, ，再将 1， 2 单位化，有 1=， 2= 将 3 单位化，有 令 P=(1， 2， 3)=, 有 P-1AP=A。30 【正确答案】 用配方法把所给的二次型改写成 f(x1，x 2)=x12 一 4x1x2+x22=(x1x2)2 一 3x22，作可逆线性变换 即立刻得到标准形 f=y12 一 3y22需要注意的是，由于所用的是一般的可逆变换，不一定是正交变换，所以不能说所得到的标准形的系数 1，一 3 就是此二次型对应的对称矩阵的特征值事实上，它的特征值为1，1三、证明题31 【正确答案】 32 【正确答案】 设 A 为 2n 一 1 阶反对称矩阵，则有 AT=一 A、于是根据行列式性质 1 和性质 2，得到A=A T=A=(一 1)2n-1A=一A，因为A是数，所以必有A=0
