1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 17 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A 是一个 mn 矩阵，对 A 施行一次初等列变换得到矩阵 B，则 B 等于 ( )（A）一个 m 阶初等矩阵左乘 A（B）一个 n 阶初等矩阵右乘 A（C）一个 m 阶初等矩阵右乘 A（D）一个 n 阶初等矩阵左乘 A2 设 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，则必有 ( )（A）AB 可逆（B） BA 可逆（C） AB-BA 可逆（D）A+B 可逆3 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 A，B 相似，则以下错误的是
2、 ( )（A）A，B 有相同的特征值（B） r(A)=r(B)（C） A，B 有相同的特征向量（D）|A|=|B|4 设 A，B 是同阶正交矩阵，则下列命题不正确的是 ( )（A）AB 也是正交矩阵（B） A*也是正交矩阵（C） A+B 也是正交矩阵（D）A -1 也是正交矩阵5 设 A 的特征值为 1，一 1，向量 是属于 1 的特征向量， 是属于一 1 的特征向量，则下列论断正确的是 ( )（A） 与 线性相关（B） + 是 A 的特征向量（C） 与 必正交（D） 和 线性无关二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 A 为 3 阶矩阵，|A|= ，则|一 2AT
3、|=_7 设方阵 A 有特征值 ，且属于 的特征向量 ，若方阵 B=P-1AP，则 B 有特征向量_。8 设 ，则 Ax=0 的基础解系含有 _个解向量9 n 阶方阵 A 满足 A23A-E=0，则 A-1=_10 11 已知齐次线性方程组 有非零解，则 的值为_12 13 设 B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 t=_14 设向量组 I 的秩为 r1，向量组的秩为 r2，且 I 可由表示，则 r1，r 2 的关系为_15 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+3x22+tx32+2x1x2+2x1x3 是正定的，则 t 的取值范围是_三、计算题16 设 求：AB 一 BA； A2
4、一B2；B TAT17 设|A|= 计算 A41+A42+A43+A44，其中 A4j(j=1，2，3，4)是|A|中元素 a4j 的代数余子式18 已知三阶矩阵 A 满足 Ai=ii(i=1，2，3)， 1=(1，2，2) T， 2=(2，一 2，1)T， 3=(-2，一 1，2) T，试求矩阵 A.19 计算元素为 aij=|i 一 j|的 n 阶行列式20 设 B 为可逆矩阵，A 是与 B 同阶的方阵，且满足 A2+AB+B2=0，证明：A 和A+B 都是可逆矩阵21 设 A，B 是 n 阶方阵，已知|B|0，AE 可逆，且(AE) -1=(BE)T，求证：A可逆22 设 A，B，A+B
5、 为 n 阶正交矩阵，试证：(A+B) -1=A-1+B-1四、证明题23 设 A 是 n 阶方阵，E 是 n 阶单位矩阵，A+E 可逆，且 f(A)=(EA)(E+A)-1 证明：(1)E+f(A)(E+A)=2E； (2)ff(A)=A 全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 17 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 对矩阵施行一次初等列变换，相当于右乘一个初等矩阵，义根据乘法的定义，右乘矩阵的行数等于矩阵 A 的列数，因此 B 是正确的2 【正确答案】 B【试
6、题解析】 因 A，B 均为 n 阶可逆矩阵，故|A|0 ，|B|0 因此|B|A|=|BA|0，所以 BA 可逆；当 A=B 时 AB=O，AB 一 BA=O，当 A=一 B 时 A+B=O3 【正确答案】 C【试题解析】 相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的秩，有相同的行列式值，但不一定有相同的特征向量，选 C4 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=E，B= 一 E，则 A，B 均为正交矩阵，但 A+B 为零矩阵，不是正交矩阵5 【正确答案】 D【试题解析】 属于不同特征值的特征向量必线性无关，因此选择 D二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正
7、确答案】 一 4【试题解析】 因为 A 为 3 阶矩阵，故|2A T|=(一 2)3|AT|=(一 2)3|A|=(一 2)37 【正确答案】 P -1【试题解析】 由于 A=，因此 B(P-1)=P-1AP(P-1)=P-1(A)=P-1.=P-1，所以P-1 是 B 的特征向量8 【正确答案】 1【试题解析】 由于 r(A)=2，所以基础解系含有 42=2 个解向量9 【正确答案】 A 一 3E【试题解析】 由题知 A2 一 3A=E，得 A(A 一 3E)=E，则 A-1=A 一 3E10 【正确答案】 3【试题解析】 11 【正确答案】 =1 或 =一 2【试题解析】 由于齐次线性方程
8、组有非零解因此系数行列式=(+2)( 一 1)2=0，所以 =1 或 =一 212 【正确答案】 【试题解析】 |A|=1，利用公式13 【正确答案】 一 3【试题解析】 AB=0 ，故 r(A)+r(B)3，又因 B 为三阶非零矩阵，故 r(B)1 所以r(A)3，则|A|=0 =7(t 一 8)+77=7t+21=0， 故 t=一 314 【正确答案】 r 1r2【试题解析】 由向量组 I 可由表示，故向量组 I 的秩向量组的秩，即 r1r215 【正确答案】 【试题解析】 二次型的矩阵 正定矩阵的行列式大于 0，即=5t 一 30，即三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 A
9、41+A42+A43+A44=18 【正确答案】 A( 1， 2， 3)=(A1，A 2，A 3)=(1，2 2，3 3)，其中1， 2， 3 分别为 A 的特征值 1，2，3 的特征向量，故线性无关，于是(1， 2， 3)可逆，得 A=(1，2 2，3 3)(1， 2， 3)-1=19 【正确答案】 20 【正确答案】 证明：由 A2+AB+B2=O,A(A+B)=-B2，两边取行列式，由于 B 可逆，即|B|0，有 |A|.|A+B|=(一 1)n|B|20，故|A|与|A+B| 也都不为 0即 A 与 A+B 都是可逆矩阵21 【正确答案】 证明：由(AE) -1=(BE)T,(AE)(BT-E)=E,A(BT-E)-BT=O，即A(BT-E)=BT，B 可逆，|B|0，|B T|=|B|0上式两边取行列式即可得 |A|0，即 A 可逆22 【正确答案】 证明：A+B 为正交矩阵，故(A+B) -1=(A+B)T=AT+BT，而 A，B 也为正交矩阵，即 AT=A-1，B T=B-1故(A+B) -1=A-1+B-1四、证明题23 【正确答案】 (1) E+f(A)(E+A) =E+(E A)(E+A)-1(E+A) =(E+A)+(EA)(E+A)-1(E+A) =E+A+EA =2E
