1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 18 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A，B，A+B 以及 A-1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1= ( )（A）A -1+B-1（B） A(A+B)-1B（C） (A+B)-1（D）A+B2 设 A，B 为同阶对称矩阵，则 AB ( )（A）不一定是对称矩阵（B）一定是反对称矩阵（C）一定是非对称矩阵（D）一定是对称矩阵3 n 个未知量的齐次线性方程组 Ax=0 的系数矩阵 A 的秩为 r，则方程组有非零解的充要条件是
2、 ( )（A）rn（B） rn（C） r=n（D）rn4 1， 2 都是 n 阶矩阵 A 的特征值， 12，且 x1 与 x2 分别是对应于 1 与 2 的特征向量，当_时，x=k 1x1+k2x2 必是 A 的特征向量 ( )（A）k 10 且 k20（B） k10 而 k2=0（C） k1=0 且 k2=0（D）k 1.k2=05 已知 A 是 n 阶实对称阵且正交，则 ( )（A）A 2=In（B） A 相似于 In（C） A 合同于 In（D）A=I n二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设 1， 2， 3， 均为 4 维列向量，A=( 1， 2， 3，)，
3、B=( 1， 2， 3，) ，且|A|=2，|B|=3 ，则|A-3B|=_7 设 a，b 为实数，则当 a=_，且 b=_时,8 若对任意的 n 1 矩阵 x，均有 Ax=0，则 A=_9 在 n 阶行列式 D=|aij|中，当 ij 时，a ij=0(i，j=1，2，n)，则 D=_10 设 A 为 n 阶矩阵，则存在两个不相等的 n 阶矩阵 B，C，使 AB=AC 的充要条件为 Ax=0 有非零解，则 |A|=_11 设 A 为 4 4 矩阵，B 为 5 5 矩阵，且|A|=2，|B|=一 2，则|A|B|=_，|B|A|=_ 12 设 ，则(A+3E) -1(A2 一 9E)=_13
4、设 A 为 3 3 矩阵，|A|=一 2，把 A 按行分块为 A= 其中 Aj(j=1，2，3)是A 的第 j 行，则行列式14 设 n 阶方阵 A 满足 A2 一 A-2En=0，则 A-1=_，(A-E n)-1=_， (A+2En)-1=_15 设 A，B 均为 n 阶矩阵，|A|=2，|B|= 一 3，则|2A*B -1|=_三、计算题16 计算行列式17 设 ，求矩阵 X 使得 AX=B.18 设 =(0，k，k 2)T 可由 1=(1+k，1，1) T， 2=(1，1+k，1) T， 3=(1，1，1+k) T 唯一地线性表出，求 k 满足的条件19 已知二次型 f(x1，x 2，
5、x 3)=5x12+5x22+Cx32 一 2x1x2+6x1x36x2x3 的秩为 2，求参数 C 及此二次型对应矩阵的特征值20 已知三阶矩阵 B0 且 B 的每一个列向量都是方程组 的解(1)求 的值；(2) 求|B| 21 设 求 A 的特征值及其对应的特征向量22 设矩阵 ，且矩阵 B 满足 ABA-1=4A-1+BA-1，求矩阵 B四、证明题23 设 n 维列向量 ，=E+2 T，证明：B 是对称矩阵全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 18 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【
6、正确答案】 B【试题解析】 一一代入，可发现只有选项 B 满足条件 因(A -1+B-1)A(A+B)-1B=E(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B =B-1B(A+B)-1B+B-1A(A+B)-1B =B-1(B+A)(A+B)-1B =B-1.B=E2 【正确答案】 A【试题解析】 3 【正确答案】 B【试题解析】 当 rn 时，Ax=0 有 nr1 个自由未知量，因此有非零解；反之，Ax=0 有非零解，则 Ax=0 至少有一个自由未知量，因此 nr1，所以 nr4 【正确答案】 B【试题解析】 A 的特征向量不能是零向量，所以 k1，k 2 不同时为零，所以 C，D不对；x 1，
7、x 2 是两个不同的方程组的解，两个方程的两个非零向量解之和，不再是其中一个方程的解所以 A 的特征向量不是 A 选项选项 B，因为k2=0，k 10，x=k 1x2 仍然是 A 的特征向量5 【正确答案】 A【试题解析】 正交的对角矩阵不一定是单位矩阵(如一 In)，因此 D 不对因为和单位矩阵相似的矩阵只能是单位矩阵自己，因此 B 也不对，D 也不对，比如一 In是正交实对称矩阵但和单位矩阵不同，于是应该选 A，事实上由 ATA=In 及 A 是对称阵即得 A2=In二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 56【试题解析】 |A 一 3B|=|(一 2
8、1，一 22，一 23， 一 3) (一 21，一 22，一 23，)|+|( 一 21，一 22，一 23，一 3)|=一 8|A|+24|B|=一16+72=567 【正确答案】 0，0【试题解析】 将行列式按最后一列展开，得 =一(a2+b2)=0，得 a=0，b=08 【正确答案】 0【试题解析】 分别取i=1，2，n ，得 aij=0(i=1，2，m；j=1，2，n)，故 A=09 【正确答案】 a 11a32ann【试题解析】 该行列式为下三角形，故 D=a11a22ann10 【正确答案】 0【试题解析】 考虑 Ax=0 有非零解，即|A|=0设其一个解为 x*，则 2x*同样是
9、它的一个解，构造 B，C ，令 x*与 2x*分别为 B与 C 的一个列向量，其余元素都取 0，于是有 AB=AC=0，但 BC故所求答案即为|A|=011 【正确答案】 64，32【试题解析】 |A|B|=| 一 2B|=(一 2)5|B|=(一 2)6=26=64 |一|B|A|=|2A|=24|A|=25=3212 【正确答案】 【试题解析】 因 A2-9E=(A+3E)(A 一 3E)，故原式 =(A+3E)-1(A+3E)(A 一 3E) =A3E=13 【正确答案】 6【试题解析】 14 【正确答案】 【试题解析】 由 A(AEn)=2En，得15 【正确答案】 【试题解析】 AA
10、*=|A|E，即|A|.|A*|=|A| n|E“=2n得|A*|=2 n-1而 BB-1=E，得|B -1|=所以|2A*B -1|=2n|A*|.|B-1|=2n.2n-1.三、计算题16 【正确答案】 D=(1+a 1+a2+a3) =(1+a1+a2+a3)=1+a1+a2+a317 【正确答案】 18 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，方程组的系数矩阵 A=(1， 2， 3)为三阶方阵，所以 x11+x22+x3=3 有唯一解的充分必要条件是 r(A)=r(A，)=3，则|A|0，而|A|= =(k+3)k20，即 k一 3 且 k0，所以当 k-3 且 k0 时， 能由
11、1， 2， 3 唯一地线性表示19 【正确答案】 此二次型对应矩阵为 因秩(A)=2，故故所求特征值为1=0， 2=4， 3=920 【正确答案】 (1)对线性方程组的矩阵进行初等变换，因为非零矩阵 B 的每一个列向量都是方程组的解，所以 =5 一 5=0，所以 =1，方程组系数矩阵的秩为 2(2)因为方程组系数矩阵的秩为 2，所以方程组的基础解系只有 1 个解向量，3 个解向量必线性相关，而 B 的列向量都是方程组的解向量，所以 B 的列向量组线性相关，所以|B|=021 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为得特征值 1=2=3=1对于特征值 1=2=3=1，解齐次线性方程组(EA)x=0，即 求得基础解系 ，所以矩阵 A 属于特征值 1 的全部特征向量为 k11+k22=，其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数22 【正确答案】 由 ABA-1=4A-1+BA-1 得(AE)BA -1=4A-1，从而(A E)B=4E，四、证明题23 【正确答案】 B T=(E+2T)T=ET+(2T)T=ET+2(T)TT=E+2T=B所以 B 是对称矩阵
