1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 1 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵(mn)，则下列运算结果是 n 阶方阵的是 ( )（A）A.B（B） AT.BT（C） B.AT（D）(A+B) T2 设 A 是 3 阶反对称矩阵，即 AT=一 A，则A= ( )（A）0（B） 1（C） 1（D）0 或 13 设 A 是 n 阶矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，则 ( )（A）AA *=A（B） AA*= A *（C） A*A= A（D）A *A=A
2、*I4 若齐次线性方程组 只有零解，则 应为( )（A）=一 1（B） 一 1（C） =1（D）15 二次型 f=xTAx 经过满秩线性变换 x=Py 可化为二次型 yTBy，则矩阵 A 与 B ( )（A）一定合同（B）一定相似（C）即相似又合同（D）即不相似也不合同二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 .7 当 k=_时， 仅有零解8 设 则(A 一 2E)-1=_9 齐次线性方程组 有非零解，则 a=_。10 向量 =_在基 下的坐标为(一 1，0，1)11 若线性方程组 有解，则 =_12 设 A 为 n 阶方阵，A0，若 A 有特征值 ，则 A*的特
3、征值_13 已知向量 方阵 A 满足 Ap1=p1，Ap 2=0，Ap 3=一 p3，则 A5=_14 设 1=1， 2=一 1 是实对称矩阵 A 的两个特征向量 1= 所对应的特征值，则 k=_15 已知 是正定矩阵，则 a 满足的条件是_三、计算题16 计算17 设 f(x)是二次多项式，已知 f(1)=1，f( 一 1)=9，f(2)=一 3，求出 f(3)18 设 A、B 为两个三阶矩阵，且A=一 1，B=5求2(A TB-1)219 设向量 ， ， 满足 5( 一 )+3(+)=0，其中 求+20 设向量 都是方阵 A 的属于特征值 =2 的特征向量，又向量 =1+22，求 A221
4、 将线性无关向量组 , 化为单位正交向量组22 用正交变换将二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+2x22+2x32 一 2x1x2 一 2x1x3 一 2x2x3 化为标准型并写出正交变换四、证明题23 设 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵B 为 n 阶实矩阵证明： BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是B0全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 1 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵乘法的运算定义和矩阵转置的定义可知 AT.BT 是 n 阶方阵答案
5、为 B.2 【正确答案】 A【试题解析】 由于A=A=A=(一 1)3A = 一A，所以A =0.答案为 A.3 【正确答案】 C【试题解析】 A.A *=AI答案为 C.4 【正确答案】 B【试题解析】 齐次线性方程组 Ax=0 只有零解 A 0故 一 1 时题中齐次线性方程组只有零解答案为 B.5 【正确答案】 A【试题解析】 x TAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y=yTBy，即 B=pTAp，所以矩阵 A 与 B一定合同只有当 P 是正交矩阵时，由于 PT=P-1，所以 A 与 B 既相似又合同答案为 A.二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正
6、确答案】 -24【试题解析】 7 【正确答案】 【试题解析】 仅有全解8 【正确答案】 【试题解析】 故9 【正确答案】 8【试题解析】 齐次线性方程组有非零解 即 a=810 【正确答案】 【试题解析】 11 【正确答案】 12【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有因此可见，r(A)=2，如果方程有解，必有 ，因此 ，所以 =1212 【正确答案】 【试题解析】 由于A0，因此 A 可逆并且 即 A*=A.A -1；如果 A=，则 A-1.A=A-1，所以所以 是 A*的特征值13 【正确答案】 【试题解析】 由特征值和特征向量的定义和已知条件知，3 阶方阵 A 有特征值1，0，一 1，对
7、应的特征向量分别为 P1，P 2，P 3，方阵 A 有不同的特征值，故 A相似于对角矩阵，令矩阵则有 P-1AP=D，故A=PDP-1 A5=(PDP-1)(PDP-1)(PDP-1)=PD5P-114 【正确答案】 2【试题解析】 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此 ( 1， 2)=一4+8k 一 12=0，所以 k=215 【正确答案】 a 1【试题解析】 3A 为正定矩阵，故 A 的顺序主子式均大于零，得 1=20，2=80 ， 故 a1三、计算题16 【正确答案】 17 【正确答案】 设 f(x)=ax2+bx+c，则有 解得 a=0，b=-4，c=5，从而 f(x)=一
8、 4x+5，f(3)=一 718 【正确答案】 2(ATB -1)2=2 3(ATB -1)2=2 3(A TB-1) 2=23A 2B -2=19 【正确答案】 由于 5 一 5+3+3=0，所以所以20 【正确答案】 因此 r(A)=3。21 【正确答案】 用施密特正交化方法，有则 1， 2， 3 是正交向量组，再单位化，有则1， 2， 3 是单位正交向量组22 【正确答案】 首先写出二次型的系数矩阵为 A 的特征多项式E A=( 一 3)2，所以 A 的特征值为 1=2=3， 3=0对于 1=2=3 解齐次线性方程组(3E-A)X=0，求出基础解系 1= 将 1， 2 标准正交化得 1= ,2= 对于 3=0，解齐次线性方程组(-A)X=0，求出基础解系 将 3 标准化得 令，则 P 为正交矩阵，经过正交变换X=PY，二次型化为标准型 f=3y32+3y32四、证明题23 【正确答案】 如果B0，则齐次线性方程组 BX=0 仅有零解，所以对一切非零向量 X 有 Y=BX 也是非零向量，而 A 正定，因此 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY0 即 BTAB 正定反之，如果 BTAB 正定，则B TAB0 所以B TAB=A.B 20，当然有B0
