1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 20 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 行列式 ( )（A）48（B）一 48（C）一 84（D）842 初等矩阵 相当于对 A ( )（A）交换 2，3 两行的变换（B）交换 2，3 两列的变换（C）交换 1，2 两行的变换（D）交换 1，3 两列的变换3 已知 A2+3A-5E=0，则矩阵 A-1= ( )（A）A+E（B） 5(A+3E)（C） A+3E（D）4 设 1， 2， 3，线性无关，向量 1 可由 1， 2， 3 线性表示，而向量 2
2、不可由1， 2， 3 线性表示，则对任意常数 k 必有 ( )（A） 1， 2， 3，k 1+2 线性相关（B） 1， 2， 3， 1+k2 线性无关（C） 1， 2， 3， 1+k2 线性相关（D） 1， 2， 3，k 1+2 线性无关5 实二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+2x2+2+k2x33+2kx1x2 正定，则 k 的取值范围为 ( )（A）k0 或 k0（B） -2k0 或 0k2（C）一 2k2（D）k-2 或 k-2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 设行列式7 若 A 为 3 阶方阵且|A -1|=5，则|5A|=_8 设方程组 无解
3、，则 的取值为_9 设 A 是 n 阶方阵，且|A|=5，则|(5A T)-1|=_10 若 =(1， k，1) T 与 =(1，一 2，1) T 正交，则 k=_。11 函数 f(x)= 中，x 3 的系数为_ 12 设矩阵 ，则 A+2B_13 设矩阵 ，则 ATB=_14 设向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，1，0) T， 3=(1，0，0) T，=(0，1，1) T，则 由1， 2， 3 线性表示的表示式为_15 设三元实二次型 f(x1，x 2，x 3)的秩为 3，正惯性指数为 2，则此二次型是_三、计算题16 计算行列式17 设 A，B 满足 ABA=2BAE，其中 求 B
4、.18 设 1=(1， 2，1，2) T， 2=(1，0，3，1) T， 3=(2，一 1，0，1) T，=(2，1，一2，2) T，判断 是否能由 1， 2， 3 线性表出?如能，判断表出的方法是否唯一19 问 a 取何值时，向量组 线性相关?20 用初等行变换法求解线性方程组21 设 A 是三阶实对称矩阵，且 A 的特征值为 1，2，3， 1=(一 1，一 1，1)T， 2=(1，一 2，一 1)T 分别是属于特征值 1，2 的特征向量 (1)求属于特征值 3 的一个特征向量； (2)求出相应的矩阵 A22 用配方法化二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+3x32+2x1x
5、2+4x2x3 为标准形，并判断是否正定四、证明题23 已知 m 个向量 1， 2， ， m 线性相关，但其中任意 m 一 1 个都线性无关证明：如果存在等式 k11+kmm=0，则这些系数 k1，k m 或者全为零，或者全不为零全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 20 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 2 【正确答案】 B【试题解析】 因右乘初等矩阵为列变换且右乘 为交换 2，3 两列3 【正确答案】 D【试题解析】 A 2+3A 一 5E=O;A(A+3E
6、)=5E，所以4 【正确答案】 D【试题解析】 由于 2 不可由 1 2， 3 线性表示，说明 1， 2， 3 2 线性无关 设 k11+k22+k33+k4(k1+2)=0，由已知可知 1=m11+m22+m33 代入上式整理得(k 1+k4m1k)1+(k2+k4m2k)2+(k3+k4m3k)3+k42=0 由 2 不可由1， 2， 3 线性表示得 k1+k4m1k=0，k 2+k4m2k=0，k 3+k4m3k=0，k 4=0, 显然k1=k2=k3=k4=0故选项 D 成立，至于 B，C 选项，当 k=0 时线性相关，当 k0 时线性无关5 【正确答案】 B【试题解析】 由于二次型的
7、矩阵为 ，A 正定，则顺序主子式大于零，即 =4 一 k20，一 2k 2， =k2(4 一 k2)0，k0 且-2k2，所以 k 的取值范围是一 2k0 或 0k2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 30【试题解析】 7 【正确答案】 25【试题解析】 8 【正确答案】 0 且 一 3【试题解析】 当 2+30 时，即 0 且 一 3 时，r(A)=3 而 方程组无解9 【正确答案】 5 -n-1【试题解析】 10 【正确答案】 1【试题解析】 由正交得 11+k(一 2)+11=0，则 k=111 【正确答案】 2【试题解析】 只有主对角线上都含有
8、 z 项，由行列式的性质得 2x(一 x)(一 x)=2x3， x3 的系数是 212 【正确答案】 【试题解析】 13 【正确答案】 【试题解析】 14 【正确答案】 = 1+02 一 3【试题解析】 设线性方程组为 x11+x22+x33=，对它的增广矩阵施行初等变换，得：(A，)=( 1， 2， 3，)=显然x11+x22+x33= 的同解方程组 Tx=d 就是 ，它的唯一解就是x1=1， x2=0， x3=一 1故 可以唯一表示成 1， 2， 3 的线性组合是 =1+02 一315 【正确答案】 f=z 12+z22 一 z32【试题解析】 因 f 为实二次型，所以 f 可经非退化线性
9、替换 x=cz 化为规范形，又r=n=3，正惯性指数为 2，则负惯性指数为 1，故 f 的规范型为 f=z12+z22 一 z32三、计算题16 【正确答案】 把第二行的(一 1)倍加到第一行，第四行的(一 1)倍加到第三行得把第一列的(一 1)倍加到第二列，第三列的(一 1)倍加到第四列得17 【正确答案】 将 ABA=2BAE 两端右乘 A-1 得 AB=2BA-1，所以(A 一 2E)B=一 A-1即有 B=一(A2E) -1A-118 【正确答案】 设 x11+x22+x33=，则增广矩阵为对增广矩阵进行初等行变换有所以方程组 x11+x22+x33= 有唯一解，x 1=-1，x 2=
10、一 1，x 3=1，即 能由1， 2， 3 线性表示，且表示的方法唯一，即 =12+319 【正确答案】 所以当或 a=1 时，向量组 1， 2， 3 线性相关20 【正确答案】 对增广矩阵进行初等行变换因为 r(A)r(A，)，故方程组无解21 【正确答案】 (1)设属于特征值 3 的特征向量为 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量两两正交，则有( 1，)=0 ，( 2，)=0，解得属于特征值 3 的一个特征向量为 =(1，0，1) T22 【正确答案】 f(x 1，x 2，x 3)=(x12+2x1x2+x22)+(x22+4x2x3+4x32)一 x32=(x1+x2)2+(x2+2x3)2 一 x32， 则二次型 f(x1，x 2，x 3)的标准形为 y12+y22-y32 由标准形可知 f 的正平方项个数即正惯性指数为 23，故 f 非正定四、证明题23 【正确答案】 证明：假设 k1，k m 中有一个为零，不妨设为 k1，则有k22+kmm=0，而 2， 3， m 线性无关，得 k2=km=0=k1，矛盾，故k1，k 2，k m 或者全为零，或者全不为零
