1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 21 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 行列式 = ( )（A）0（B） 21（C） 42（D）一 422 设 A、B 为 n 阶方阵，且 AB=O(零矩阵)，则 ( )（A）A=P 或 B=O（B） A+B=O（C） A+ B=0（D）A=0 或B=03 1=(1，2， 3)， 2=(2，1 ，3) ， 3=(一 1，1，0)， 4=(1，1，1)， 则 ( )（A） 1 线性相关（B） 1， 2 线性相关（C） 1， 2， 3 线性相关（D） 1，
2、 2， 4 线性相关4 方程组 的一组基础解系由_个向量组成 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）45 实二次型 f(x1，x n)=xTAx 为正定的充要条件是 ( )（A）f 的秩为 n（B） f 的正惯性指数为 n（C） f 的正惯性指数等于 f 的秩（D）f 的负惯性指数为 n二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知四阶行列式 D 的第一行元素依次为 1，3， 0，一 2，第三行元素对应的代数余子式依次为 8，k，一 7，10，则 k=_7 设 A= ，则(A+B) 2 一(A 2+AB+B2)=_8 设 A= ，则(A *)-1=_9 已知 =(2，
3、1，3) ，=(一 1，3，6)则 2+3=_10 当 k 为_时，向量组 1= 不能构成 R3 的一组基11 已知线性方程组 有解，则常数 a1，a 2，a 3，a 4 满足条件_12 已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 1、一 1、2，则 A 一 5E =_13 设 n 阶方阵 A 与 B 相似且 A2=A，则 B2=_14 设三阶矩阵 A 的特征值为 1，4，6，对应的特征向量分别为 p1=，则矩阵 A=_15 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定该二次型的正定性为_三、计算题16 计算 D= 17 计算行列式 18 设 A= ，求(2E+A)
4、-1(A2 一 4E)19 已知向量组 1= ，又 满足 3(1)+2(3+)一5(2+)，求 20 已知 =(1，1，1) T 是 A= 的特征向量，求 a，b21 设矩阵 A= 的三个特征值分别为 1， 2，5，求正常数 a 的值，及可逆矩阵 P，使 P-1AP= 22 二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+4x32+2Tx1x2+2x1x3+2Tx2x3 正定，求 t 的范围四、证明题23 设 n 阶实对称矩阵 A 为正定矩阵，B 为 n 阶实矩阵，证明： BTAB 为正定矩阵的充分必要条件是B0全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 21 答案与解析一、单项选择题在每
5、小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 行列式展开性质， =(一 1)1+4 =一42答案为 D。2 【正确答案】 D【试题解析】 由于AB=AB= 0=0，所以A =0或B =0 答案为 D。3 【正确答案】 C【试题解析】 单个非零向量是线性无关的，选项 A 不对，而( 1， 2， 3)因为含有零向量的向量组一定线性相关，所以 C 是正确答案为 C4 【正确答案】 B【试题解析】 该方程组的系数矩阵秩等于 1，有 3 个未知数，因此基础解系由 2个线性无关的向量组成答案为 B。5 【正确答案】
6、B【试题解析】 由正定的性质即得答案为 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 4【试题解析】 根据代数余子性质 8+3k 一 20=0k=47 【正确答案】 【试题解析】 (A+B) 2 一(A 2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A 2+AB+B2)=A2+B2+AB+BAA2 一 ABB2=BA8 【正确答案】 【试题解析】 由于 A-1= A*，所以 A*=AA -1，(A *)-1=(AA -1)-1= A，又A=1 ，所以(A *)-1=A9 【正确答案】 (1，11，24)【试题解析】 2+3=(4 ，2，6)+(一 3，9，18)
7、=(1，11，24) 10 【正确答案】 2【试题解析】 1， 2， 3 不能构成 R3 的一组基 1， 2， 3 线性相关 =0， k=211 【正确答案】 一 a1+a2a3+a4=0【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有由此可得一 a1+a2a3+a4=0 时线性方程组有解，而一 a1+a2a3+a40时线性方程组无解12 【正确答案】 一 72【试题解析】 A 的特征值分别为 1、一 1、2，则 A 一 5E 的特征值分别为一 4，一 6，一 3故A 一 5E=一 7213 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 B=P-1AP，所以
8、 B2=P-1APP -1AP=P-1A2P=P-1AP=B14 【正确答案】 【试题解析】 根据特征值和特征向量的定义，有 (Ap 1，Ap 2，Ap 3)=(p1，4p 2，6p 3)，即 A(p1，p 2，p 3)=(p1，4p 2，6p 3)，15 【正确答案】 半正定二次型【试题解析】 该题可利用特征值判定由二次型对应的对称矩阵A= 可知 A 的特征值为 0，2，2，故该二次型为半正定二次型三、计算题16 【正确答案】 直接按对角线法则展开，并整理化简得 4a2b2c217 【正确答案】 =一100(一 54)=540018 【正确答案】 (2E+A) -1(A2 一 4E) =(2
9、E+A)-1(A+2E)(A 一 2E) =A2E=19 【正确答案】 3 1 一 3+23+2=52+5，6=3 1 一 52+23，20 【正确答案】 设对应于特征向量 的特征值为 ，则有得 a=2 b=一 321 【正确答案】 由A=2(9 一 a2)=125，得 a=2 解方程组(E A)x=0 得基础解系 1=一(0，一 1，1) T； 解方程组(2EA)x=0 得基础解系 2=(1，0，0) T； 解方程组(5EA)x=0 得基础解系 3=(0，1，1) T； 所求的可逆矩阵 P 可取为P=(1， 2， 3)= 22 【正确答案】 四、证明题23 【正确答案】 如果B0则齐次线性方程组 BX=0 仅有零解，所以对一切非零向量 X 有 Y=BX 也是非零向量而 A 正定，因此 XT(BTAB)X=(BX)TA(BX)=YTAY0 即 BTAB 正定 反之，如果 BTAB 正定，则B TAB0 所以B TAB=AB T0，当然有B 0
