1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 26 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 行列式 = ( )（A）48（B） 84（C）一 48（D）一 842 设矩阵 ，则 ( )（A）a=3 ，b=一 1，c=1， d=3（B） a=一 1，b=3，c=1， d=3（C） a=3，b=一 1，c=0， d=3（D）a= 一 1，b=3，c=0， d=33 设 2 阶矩阵 A= ，则 A*= ( )4 设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=n 一 3(n3)， ， ， 是齐次线性方程组 Ax=0 的三
2、个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为 ( )（A），+（B） ， ， 一 （C） 一 ， 一 ， 一 （D），+，+5 设 1， 2， 3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 1+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x= ( )二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 =_7 当 k=_时，仅有零解8 设 A= ，则(A 一 2E)-1=_9 齐次线性方程组 有非零解，则 a=_10 向量 =_在基 1= 下的坐标为(一 1，0，1)11 若线
3、性方程组 有解，则 =_12 设 A 为 n 阶方阵，A0，若 A 有特征值 ，则 A*的特征值_13 已知向量 p1= ，方阵 A 满足 Ap1=p1，Ap 2=0，Ap 3=一 p3，则 A5=_14 设 1=1， 2=一 1 是实对称矩阵 A 的两个特征向量 1= 所对应的特征值，则 k=_15 已知 A= 是正定矩阵，则 a 满足的条件是_三、计算题16 计算 n+1 阶行列式 D= 17 设方阵 A、B 满足 AB+E=A2+B，且 A= ，求 B18 设 A 为 n 阶方阵(n3)，秩 r(A)=r，求 A 的伴随矩阵 A*的秩19 设 3 维列向量 1， 2， 3， 1， 2，
4、3，满足： 1+3+212=0，3 12+13=0，一 2+32+3=0，且 1， 2， 3=4 ，求 1， 2， 320 设 1， 2， 3 是 4 元非齐线性方程组 AX=B 的三个解向量，并且 r(A)=3， 1=，求方程组 AX=B 的通解21 设三阶实对称矩阵 A 的特征值为 1，2，3， 1= 是分别属于 1和 2 的特征向量，求属于 3 的特征向量，并求 A22 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x2+x32+x32+2ax1x2+2x1x3+2bx2x3 经过正交变换 x=Py化成 f=y22+2y32，其中 x=(x1，x 2，x 3)T，y=(y 1，y 2，y
5、 3)T 是三维列向量，P 是三阶正交矩阵，求常数 a，b 的值四、证明题23 设 A 满足条件 AA=E，求证：A 的实特征向量所刘应的特征值的绝对值等于1全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 26 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 =623=48答案为 A。2 【正确答案】 C【试题解析】 。答案为 C。3 【正确答案】 A【试题解析】 由伴随矩阵的定义即得答案为 A。4 【正确答案】 D【试题解析】 基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有 D 中三
6、个向量线性无关答案为 D。5 【正确答案】 C【试题解析】 因 r(A)=3，未知量个数为 4，故与 Ax=b 相应的齐次线性方程组Ax=0 的解空间是一维的，又因 1 是 Ax=b 的一个特解，故其通答案为 C。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 一 24【试题解析】 7 【正确答案】 【试题解析】 仅有全解8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 8【试题解析】 齐次线性方程组有非零解 =0，即 a=8 10 【正确答案】 【试题解析】 =(一 1)1+02+13= 11 【正确答案】 12【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换有因此可见，r
7、(A)=2，如果方程有解，必有=5，所以 =1212 【正确答案】 【试题解析】 由于A0，因此 A 可逆并且 A-1= ，即 A*=A A -1；如果 A=，则 A-1A=A -1，所以 A-1=是 A*的特征值13 【正确答案】 【试题解析】 由特征值和特征向量的定义和已知条件知，3 阶方阵 A 有特征值1，0，一 1，对应的特征向量分别为 p1，p 2，p 3，方阵 A 有不同的特征值，故 A相似于对角矩阵，令矩阵 P=(p1，p 2，p 3)= ，则有 P-1AP=D，故 A=PDP-1 A5=(PDP-1)(PDP-1)(PDP-1)=PD5P-1=PDP-1=A14 【正确答案】
8、2【试题解析】 由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，因此( 1， 2)=一4+8k 一 12=0，所以 k=215 【正确答案】 a 1【试题解析】 A 为正定矩阵，故 A 的顺序主子式均大于零，得 1=20，2=80 ， 3=A= =2(4a 一 4)0，故 a1三、计算题16 【正确答案】 =(1+nx)(1 一 x)n17 【正确答案】 由于 ABB=2 一 E，(AE)B=(AE)(A+E)，又A E=一 10 即 AE 可逆，所以 B=(AE)-1(AE)(A+E)=A+E=18 【正确答案】 当 r(A)=n 时，A 可逆，则 A*也可逆，因此 r(A*)=n；当 r(A)
9、=n 一1 时，A=0，因此 AA*=AE=0，即 A*的 n 个列向量均为齐次线性方程组Ax=0 的解向量，由于 r(A)=n 一 1，AX=0 的基础解系仅含一个解向量，所以 A*的列向量的秩1；又 r(A)=n1，A 中存在一个不为 0 的 n1 阶子式，故 A*的 n 个列向量中至少有一个不为零向量，所以 A*的列向量的秩 1，由以上讨论可知，r(A*)=1当 r(A)n1 时， A 的每一个 n 一 1 阶子式均为零，即 A*是零矩阵，所以 r(A*)=0所以 r(A*)=19 【正确答案】 由条件可知 而( 1+3，3 1 一 2，一2+3)=(1， 2， 3) ，(一 21+2，
10、一 1+3， 2 一 3)=(1， 2， 3) ，即 1，2， 3=一 4 1， 2， 3=一 1620 【正确答案】 由于 r(A)=3，所以齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有一个解向量，又 A21 一( 2+3)=2A1A2A3=2BBB=0因此 21 一( 1+2)=是 AX=0 的一个非零解向量，是 AX=0 的基础解系，所以 AX=B 的通解为(k 为任意实数)21 【正确答案】 设属于 3 的特征向量为 3=(x1，x 2，x 3)T由( 1， 3)=0，( 2， 3) =0 又因为 A 的特征值为 1，2，3，所以AA= 即 P-1AP=A于是 A=PAP-122 【正确答
11、案】 根据假设条件知，变换后二次型 F(x1，x 2，x 3)的矩阵分别为二次型 f 可以写成 f=XTAX，f=Y TBY由于PTAP=B，且 P 为正交矩阵，故 PT=PT，于是有 PTAP=B，即 AB，所以有I 一A=I B，即 由此可得方程332+(2 一 a2 一 b2)+(a 一 b)2=3 一 32+2，从而有方程组 解之得 a=b=0，为所求的常数四、证明题23 【正确答案】 设 X 是 A 的实特征向量， 是对应的特征值，则 AX=X，因 XA=X，于是 XAAX=XX=2XX 因 AA=E，(E 为单位阵)，所以XEX=2XX， 即 XX=2XX，( 2 一 1)XX=0 又 X0 为实特征向量，从而XX0，所以 2=1 即 =1
