1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 2 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 的根为 ( )（A）a+a，a+a （B） 0，a 1+a2+a3+a4（C） a1.a2.a3.a4，0（D）0，一 a1 一 a2 一 a3 一 a42 如果 A，B 是同阶对称矩阵，则 A.B ( )（A）是对称矩阵（B）是非对称矩阵（C）是反对称矩阵（D）不一定是对称矩阵3 设 n(n3)阶矩阵 若矩阵 A 的秩为 n 一 1，则 a 必为 ( )（A）1（B）（C）一 1（D）4 n 元线性方程组 Ax=
2、0 有非零解的充要条件是 ( )（A）方程个数 mn（B）方程个数 mn（C）方程个数 m=n（D）秩(A) n5 若可逆矩阵 A 有特征值 =2，则( 2)-1 必有特征值( )（A）4（B）（C）（D）二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 .7 设 A 为 n 阶方阵，且A=2，则8 设矩阵 则 AT.A_9 分块矩阵 则 AT=_10 已知 1， 2 线性无关而 1,2,3 线性相关，则向量组 1，3 2，7 3 的极大无关组为_11 设矩阵 A 为 46 矩阵，如果秩 A=3，则齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含有解向量的个数为_12 设 =2 是
3、 n 阶方阵 A 的一个特征且A0，则 n 阶方阵 B=A3 一 3E+A-1 必有特征值_13 设 3 阶方阵 A 的特征值为 1=一 1， 2=一 1， 3=一 2，则A =_.14 已知三阶矩阵 有一个特征向量 p= 则x=_， y=_，p 所对应的特征值 =_15 已知 二次型 f(x)=xTAx 的矩阵为_三、计算题16 计算17 设矩阵 求 3AB 一 2A.18 设 ，求 k 的值使 A 的秩 r(A)分别等于 1，2，319 已知向量组 是 R2 的一组基，求向量在这组基下的坐标20 已知 且 a2+b2=1求(1)A 的特征值；(2)将 A 对应的二次型化为标准形并写出所用的
4、变换21 设矩阵 可以对角化，求 x 与 y 满足的条件21 在 Q(x，y，z)=(x 2+y2+z2)+2xy+2xz 一 2yz 中，问：22 取什么值时，Q 为正定的 ?23 取什么值时，Q 为负定的 ?24 当 =2 和 =一 1 时，Q 为什么类型?四、证明题25 如果 Ak=0(k 为正整数)，求证：(EA) -1=E+A+A2+Ak-1全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 2 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 提示 2、3、4 列加到第一列答案为
5、 D。2 【正确答案】 D【试题解析】 设 A 与 B 均为对称矩阵但 A.B=不是对称矩阵答案选 D。3 【正确答案】 B【试题解析】 由 r(A)=n 一 1，必A=0若 a=1，则 r(A)=1，故必 a1=(1 一 a)n-1(1 一 a+na)=(1 一a)n-11 一(1 一 n)a因 a1，故仅当 时，A =0 且 r(A)=n 一 1(即A n-10)答案为 B4 【正确答案】 D【试题解析】 对于线性方程组 Ax=0 来说，若 r(A)nAx=0 有非零解(充分条件)；同样，若 Ax=0 有非零解r(A) n( 必要条件)答案为 D。5 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A
6、=2 是 A 的特征值=4 是 2 特征值，所以 是 (A 2)-1 的特征值答案为 B。二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 0【试题解析】 按定义计算，可得结果为 07 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 10 【正确答案】 1，3 2【试题解析】 由于 1 与 32 线性无关，并且 73 可由 1，3 2 线性表示11 【正确答案】 3【试题解析】 由于 AX=0 是 6 个未知量的齐次线性方程组 6 一 r(A)=63=3，所以基础解系中含有 3 个解向量12 【正确答案】 【试题解析】 A0，因此 A
7、可逆，又 =2是 A 的特征值，因此存在非零向量得 A=2，所以 A=2A 2(A)=2(2)=2A(2)=4A=8，A -1= ，所以B=A23E+A -1=803+ ，所以 B 有特征值 13 【正确答案】 一 2【试题解析】 A= 1.2.3=一 214 【正确答案】 X=-2，y=6，=-4【试题解析】 设矩阵 A 的特征向量 P 所对应的特征值为 ，则有 (I-A)p=0即或 解得 x=一 2，y=6 ，=-415 【正确答案】 【试题解析】 因为二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+6x1x3+10x1x3+5x22+14x2x3+9x32，故由二次型矩阵的定义知矩阵为三、计
8、算题16 【正确答案】 将各行元素乘 1 加到第一行上，提取公因子 10，再利用行列式的性质化为三角形，从而得值为 16017 【正确答案】 18 【正确答案】 对 A 进行初等行变换，得由此可见，当 k=1时，r(A)=1；当 k=一 2 时，r(A)=2；当 k1 且 k一 2 时，r(A)=319 【正确答案】 以 1,2,3， 为列向量的矩阵 A 作初等行变换，有因此 =21+32 一 3，所以 在基 1,2,3下的坐标为(2，3，-1)20 【正确答案】 =2 一 a2 一 b2=2 一 1=0所以 A的特征值为 1=1， 2=一 1标准形为 f 标 =y12 一 y2221 【正确
9、答案】 由于 A 可以对角化，因此，A 有 3 个线性无关的特征值向量，先求 A 的特征值，由于 因此A 的特征值为 1=2=1， 3=一 1，所以 A 可对角化，则 1=2=1 对应于两个线性无关的特征向量即齐次线性方程组(EA)X=0 的基础解系含有两个解向量，因此r(EA)=1，对 EA 作初等行变换有所以当且仅当 x+y=0 时，r(E-A)=1，即 A 可对角化，则 x，y 满足的条件是 x+y=022 【正确答案】 用 Q 正定 它的矩阵的各阶顺序主子式皆为正数因故 D1=，D 2=2 一 1，D 3=( 一 2)(+1)2 所以要 Q 正定，必须 0， 21，2，故 2 为答案23 【正确答案】 Q 负定 D10，D 20，D 30，即 0， 21， 224 【正确答案】 当 一 2 时，A 的所有主子式均为正数或 0，所以 Q 是半正定的(因 a11，a 22=a33=20，detA=-0，二阶主子式有 3 个值均为 3)或用配方法所以 Q 半正定当 =一 1 时，Q=一(x yz)2，故 Q 半负定四、证明题25 【正确答案】 (E A)(E+A+A2+Ak-1)=E
