1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 3 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 当 x 与 y 满足_时，有 AB=BA. ( )（A）2x 一 7（B） 2y=x（C） y=x+1（D）y=x 一 12 如果 n 阶方阵 A 满足 AT.A=A.AT=I，则 A 的行列式A 为 ( )（A）A=1（B） A= 一 1（C） A=1 或一 1（D）A=03 设 A 是 n 阶方阵，已知 A2 一 2A 一 2I=0，则(A+I) -1=( )（A）3I A（B） 3I+A（C） A 一 3
2、I（D）4 已知 是齐次线性方程组 Ax=0 的两个解，则矩阵 A 可为 ( )（A）(5 ，一 3，一 1)（B）（C）（D）5 齐次线性方程组 的自由未知量是 ( )（A）x 1，x 2（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 4二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知矩阵 的(1，2)元素的代数余子式 A12=1，则 A 的行列式A=_ 7 设矩阵 则 3ATBT=_.8 设 ，则 a 的代数余子式为 _。9 k=_时，向量组 1=(6，k+1，7) ， 2=(k，2，2)， 3=(k，1，0)线性相关10 已知 是 R3 的一组基，则 在这里
3、基下的坐标为_11 若线性方程组 无解，则 =_12 设矩阵 ，则 A 的全部特征值为 _13 已知方阵 A 相似于对角矩阵 ，则 A10=_.14 二次型 f(x1，x 2，x 3)一(2x 1x 2+3x3)2 的矩阵为_15 设矩阵 为正定矩阵，则 a 的最大取值范围是_三、计算题16 计算17 计算行列式18 设 求(2E+A) -1(A24E)19 已知向量组 又 满足 3(1 一 )+2(3+)=5(2+)，求 20 已知 =(1，1，一 1)T 是 的特征向量，求 a，b.21 设矩阵 的三个特征值分别为 1，2，5，求正常数 a 的值，及可逆矩阵 P，使22 二次型 f(x1，
4、x 2，x 3)=2x12+x22+4x32+2tx1x2+2x1x3+2tx2x3 正定，求 t 的范围四、证明题23 设 A，B 是 n 阶正交矩阵，证明：AB 也是正交矩阵全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 3 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 由于 解得 y=x+1答案为 C.2 【正确答案】 C【试题解析】 A.A T=AA T=A 2=I=1 ，所以A=1答案为 C.3 【正确答案】 A【试题解析】 把已知关系式 A2-2A-2I=0 写成(A+I
5、)M=I 的形式，则 M 是(A+I) 的逆方阵由题设关系式 A2 一 2A 一 21=0，可得 A(A+I)一 3(A+I)=一 I，即(A+I)(3I一 A)=I，故(A+I) -1=3I.A 答案为 A.4 【正确答案】 A【试题解析】 将四个选项代入验证 Ax=O 是否成立 Ax=I答案为 A.5 【正确答案】 C【试题解析】 对系数矩阵作初等变换得：即 故 所以 x2，x 4 为自由未知量答案为 C.二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 7【试题解析】 由于 因此 x=一 1所以7 【正确答案】 【试题解析】 8 【正确答案】 3【试题解析】
6、为行列式 D 的 23 项，故 的代数余子式为 A23，且9 【正确答案】 k=4 或【试题解析】 解得 k=4 或10 【正确答案】 【试题解析】 以 1,2,3， 为列向量的矩阵作初等行变换，有因此即 在 1,2,3 下的坐标为11 【正确答案】 2【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 一 20 时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2，因此方程有解；当 一 2=0 时，增广矩阵的秩 =2，而系数矩阵的秩=1，方程无解，所以 一 2=0，即 =212 【正确答案】 一 1，1【试题解析】 特征方程E 一 A13 【正确答案】 E【试题解析】 存在可逆矩阵 P 使 因此 A=P所以14 【正
7、确答案】 【试题解析】 f(x 1，x 2，x 3)=(2x1x 2+3x3)2=4x12 4x2x+12x2x3+x22 一 6x2x3+9x3215 【正确答案】 【试题解析】 矩阵 A 正定，因此顺序主子式大于 0，所以 a 的最大取值范围是三、计算题16 【正确答案】 直接按对角线法则展开，并整理化简得 4a2b2c217 【正确答案】 18 【正确答案】 (2E+A) -1(A2 一 4E)=(2E+A)-1(A+2E)(A 一 2E)19 【正确答案】 3 13+23+2=52+5，6=3 152+23，所以20 【正确答案】 设对应于特征向量口的特征值为入，则有得 a=2 b=一 321 【正确答案】 由A=2(9 一 a2)=125，得 a=2解方程组(E 一 A)x=0 得基础解系 =(0，一 1，1) T；解方程组(2EA)x=0 得基础解系 =(1，0，0) T；解方程组(5E 一 A)x=0 得基础解系 =(0，1，1) T；所求的可逆矩阵 P 可取为则有22 【正确答案】 二次型的矩阵为 需 即四、证明题23 【正确答案】 由已知条件 AAT=ATA=I，BB T=BTB=I，则(AB)(AB)T=AB.BTAT=A(BBT)AT=I，所以 AB 也是正交矩阵
