1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 5 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 若 A，B 均为 n 阶方阵，且 AB=0，则 ( )（A）A=0 或 B=0（B） A+B=0（C） A=0 或B=0 （D）A+B=02 若 n 阶方阵 A 可逆，且伴随矩阵 A*也可逆，则 A*的逆矩阵为 ( )（A）A（B） A2（C）（D）3 设 则 3=_时，有 1,2,3 为 R3 的基 ( )（A）(2 ，1，2) T（B） (1，0，1) T（C） (0，1，0) T（D）(0 ，0，1) T4
2、设 ，则 Ax=0 的基础解系含有 _个解向量 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）05 设 则以矩阵 A 为对应的二次型是 ( )（A）f(x 1，x 2，x 3)=x12+x22+x32（B） f(x1，x 2，x 3)=x12+x2x3（C） f(x1，x 2，x 3)=x22+x1x3（D）f(x 1，x 2，x 3)=x32+x1x2二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知四阶行列式 D 的第一行元素依次为 1，3， 0，一 2，第三行元素对应的代数余子式依次为 8，k，一 7，10，则 k=_7 设 则(A+B) 2 一(A 2+AB+B2)=_8
3、设 则(A *)-1=_9 已知 =(2， 1，3) ，=(一 1，3，6)则 2+3=_10 当 k 为_时，向量组 不能构成 R3 的一组基11 已知线性方程组 有解，则常数 1,2,3,4 满足条件_12 已知三阶矩阵 A 的特征值分别为 1、一 1、2，则 A 一 5E=_.13 设 n 阶方阵 A 与 B 相似且 A2=A，则 B2=_14 设三阶矩阵 A 的特征值为 1，4，6，对应的特征向量分别为则矩阵 A=_15 设二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+2x22+x32+2x1x3，判定该二次型的正定性为_三、计算题16 计算17 设 求 A2+B2 一 ABBA.18
4、设 AB=A+2B，求 B.19 已知 1=(1，0，2，3) ， 2=(1，1，3，5) ， 3=(1，一 1，a+2 ，1) ，4=(1， 2，4， a+8)，=(1，1，6+3，5)，问当 a，b 为何值时， 不能表示为1,2,3,4 的线性组合 ?20 a、b 的值使线性方程组 有无穷多解，并求出通解21 求 及 的特征值及特征向量22 设对称矩阵 求正交矩阵 P 使 PTAP 为对角矩阵四、证明题23 设 为非齐次线性方程组 Ax=b 的一个解， 1， 2， r，是其导出组 Ax=0的一个基础解系，证明 ， 1， 2， r，线性无关全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 5 答案与
5、解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 C【试题解析】 AB=0 AB0AB=0A=0 或B=0答案为 C2 【正确答案】 C【试题解析】 由于 A 可逆，因此A0，又 A.A=A.A=A .I，所以所以 答案为 C.3 【正确答案】 D【试题解析】 首先已知 1,2 线性无关(其坐标不成比例) ，又令 A=(1,2,3)，则1,2,3 线性无关 A0 由于 A 的左上角 2 阶主子式(记为A 11)不等于0，故选 即可此时 答案为 D4 【正确答案】 A【试题解析】 由于 V(A)=3，所以
6、基础解集含有 43=1 个向量答案为 A.5 【正确答案】 C【试题解析】 A 的主对角线元素 1 对应 x22 系数； a13=1，a 31=1，之和对应 x1x3 系数 2答案为 C.二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 4【试题解析】 根据代数余子性质 8+3 走一 20=0k=47 【正确答案】 【试题解析】 (A+B) 2 一(A 2+AB+B2)=(A+B)(A+B)一(A 2+AB+B2)=A2+B2+AB+BAA2 一 ABB2=BA8 【正确答案】 【试题解析】 由于 ，所以 A*=A .A-1，(A *)-1=(A .A 1)-1=，
7、又A=一 1，所以(A *)-1=A。9 【正确答案】 (1，11，24)【试题解析】 2+3=(4 ，2，6)+(一 3，9，18)=(1，11，24) 10 【正确答案】 2【试题解析】 1,2,3 不能构成 R3 的一组基 1,2,3 线性相关11 【正确答案】 一 1+2 一 3+4=0【试题解析】 对线性方程组的增广矩阵作初等行变换，有由此可得一 1+2 一 3+4=0 时线性方程组有解，而一 1+2 一 3+40 时线性方程组无解12 【正确答案】 一 72【试题解析】 A 的特征值分别为 1、一 1、2，则 A 一 5E 的特征值分别为一 4，一 6，一 3故A 一 5E=一 7
8、213 【正确答案】 B【试题解析】 由于 A 与 B 相似，存在可逆矩阵 P，使得 B=P-1AP所以 B2=P-1AP.P-1AP=P-1A2P=P-1AP=B14 【正确答案】 【试题解析】 根据特征值和特征向量的定义，有 (Ap 1，Ap 2，Ap 3)=(P1，4p 2，6p 3)，即 A(p1，p 2，P 3)=(p1，4p 2，6p 3)，15 【正确答案】 半正定二次型【试题解析】 该题可利用特征值判定由二次型对应的对称矩阵可知 A 的特征值为 0，2，2，故该二次型为半正定二次型三、计算题16 【正确答案】 将第一行乘一 1 加到其余各行上，形成三线型，最后得结果为17 【正
9、确答案】 A 2+B2 一 BA=(A2 一 AB)一(BA-B 2)=A(A 一 B)一 B(AB)一(A 一B)218 【正确答案】 由 AB=A+2B 可得(A 一 2E)B=A，故19 【正确答案】 设 =x11+x22+x33+x44，不难求得有线性方程组对这个线性方程组的增广矩阵进行初等变换若a+1=0 而 b0，则方程组无解因此当 a=一 1，60 时， 不能表示为 1,2,3,4 的线性组合20 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有由此可见，当 a=b=0 时，增广矩阵的秩=系数矩阵的秩=2未知量个数，方程组有无穷多解，并且当 a=b=0 时，线性方程组的同解方程组为 所以
10、方程组通解为21 【正确答案】 (1)特征值为 1=2=0， 3=3属于 1=2=0 的特征向量满足于是全部的特征向量为 (k1，k 2 为不全为零的实数)属于 3=3 的特征向量满足 于是全部的特征向量为(2)特征值为 1=一 1， 2=3=1，属于 1=一 1 的特征向量满足 于是全部的特征向量为属于 2=3=1 的特征向量满足 x1-x3=0，于是全部的特征向量为 (k1，k 2 为不全为零的实数)22 【正确答案】 因为矩阵 A 是对称矩阵，所以其特征值都是实数，且对应的特征向量都线性无关，先求出特征值，然后求出相应的特征向量，最后把特征向量正交单位化就可以求出正交矩阵解(1)首先求特
11、征值特征值为 1=0(三重)，2=4(2)其次求特征向量当 1=0 时，求( 1IA)x=0 的基础解系解之得基础解系为 1=(一 1，1，0，0)T， 2=(一 1，0，1，0) T， 3=(一 1，0，0，1) T，将 1,2,3 正交化，得 1=1=(一1，1，0，0) T， 再将1， 2， 3 单位化，得 当2=4 时，求( 2IA)x=0 的基础解系 得基础解系为 4=(1，1，1，1) T，将 4=(1，1，1，1) T 单位化，得(3)令 P=(1， 2， 3， 4)，则有四、证明题23 【正确答案】 证一：因为 1， 2， r，是 Ax=0 的基础解系所以1， 2， r，线性无关，若 ,1， 2， r，线性无关，则 必可由1， 2， r，线性表出，从而 为 Ax=0 的解，这与叩为 Ax=b 的解矛盾，故， 1， 2， r，线性无关；证二(反正法)：若 ， 1， 2， r，线性相关，则存在不全为零的数 l，k 1，k 2，k r 使 l+k11+k22+krr=0若 l0，则即 可以由 1， 2， r 线性表出，由此可得为 Ax=0 的解，与已知矛盾，故 l=0从而 k1，k 2，k r 不全为零，使k11+k22+krr=0，这表明 1， 2， r 线性相关，与 1， 2， r 为 Ax=0的基础解系矛盾所以 ， 1， 2， r 线性无关
