1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 8 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 设 A、B 为 n 阶方阵，满足 A2=B2，则必有 ( )（A）A=B（B） A=一 B（C） A= B（D）A 2=B 22 设 A 是 2 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与 A 等价的矩阵是 ( )（A）（B）（C）（D）3 线性方程组 无解，则 = ( )（A）0（B） 1（C）一 1（D）任意实数4 设 A 是 n 阶矩阵，C 是 n 阶正交阵，且 B=CAC，则下述结论_不成立 ( )（A）A 与 B 相似（
2、B） A 与 B 等价（C） A 与 B 有相同的特征值（D）A 与 B 有相同的特征向量5 当 t 为_，二次型 f(x1，x 2，x 3)=2x12+x22+3x32+2tx1x2+2x1x3 是正定的 ( )（A）t2（B） t1二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 已知齐次线性方程组 有非零解，则 的值为_7 设矩阵 则 A+2B=_.8 设 B 为三阶非零矩阵，且 AB=0，则 t=_。9 设向量 1=(1，1，1) T， 2=(1，1，0) T， 3=(1，0，0) T，=(0，1，1) T，则 由1,2,3 线性表示的表示式为_10 方程组 中有_个自由
3、未知量11 三阶矩阵 A 的特征值为一 1，1，2，则 B=E+A*的特征值为_12 设 3 阶方阵的特征值为 1，一 1，2，则A 一 5E=_13 已知 4 阶方阵 A 相似于 B，A 的特征值为 2，3，4，5，则BE=_。14 设二次型 f(x1，x 2，x 3x4，x 5，)的秩为 4，而正惯性指数为 3，则二次型的规范型为_15 矩阵 对应的二次型为_.三、计算题16 计算17 设矩阵 并且 AX=2X+B，求矩阵X18 设矩阵 求(A *)-119 设向量组 的秩为 2，求 a 的值20 设三元非齐次线性方程组 Ax=b 的 r(A)=2， 1=(1，2，2) T， 2=(3，2
4、，1) T 是Ax=b 的两个解，求该方程组的通解21 设 n 阶可逆阵 A 的每行元素和均为 a(a0)，求 2A-1+E 的一个特征值及对应的特征向量22 设 是正交阵，求 a，b，c 的值四、证明题23 设向量组 1,2,3 线性无关，证明：向量组 1=1， 2=1。+ 2， 2=1+2+3 也线性无关全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 8 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 D【试题解析】 A 2=B2 A2=AA=BB=B2 A=B，AA=BB AA= AA= A 2
5、 ，BB =BB = B 2 A 2=B 2答案为 D。2 【正确答案】 D【试题解析】 A 是 2 阶可逆矩阵A 的秩为 2，由于两矩阵等价则矩阵的秩相等，由题知 D 答案中矩阵秩为 2，所以选 D。答案为 D。3 【正确答案】 A【试题解析】 当 0 且 一 1 时有惟一解，当 =一 1 时有无穷多解当 =0 时无解答案为 A。4 【正确答案】 D【试题解析】 c 是正交阵 c=c -1，B=C -1AC，因此 A 与 B 相似A 对c 是正交阵C0，C TAC 相当对 A 实行若干次初等行变换和初等列变换，A 与 B 等价，B 对两个相似矩阵 A、B 有相同的特征值，C 对 (IA)X=
6、0 与(IB)X=0 是两个不同的齐次线性方程组，非零解是特征向量，一般情况这两个方程的非零解常常不同，所以只有 D 不对，选 D 答案为 D。5 【正确答案】 C【试题解析】 二次型的矩阵 各阶顺序主子式为 20，即 即因为 故当 时，答案为 C二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 =1 或 =一 2 【试题解析】 由于齐次线性方程度组有非零解因此系数行列式所以 =1 或 =一 27 【正确答案】 【试题解析】 答案为8 【正确答案】 一 3 【试题解析】 AB=0 ，故 r(A)+r(B)3 又B 为三阶非零矩阵，故 r(B)l 所以 r(A)3，A
7、=09 【正确答案】 = 1+02 一 3 【试题解析】 设线性方程组为 x11+x22+x33=，对它的增广矩阵施行初等变换，得：显然 x11+x22+x33= 的同解方程组 Tx=d 就是 它的惟一解就是x1=1， x2=0， 2x3=一 1 可以惟一表示成 1,2,3 的线性组合是 =+02 一 310 【正确答案】 1 【试题解析】 由于系数矩阵的秩为 2，所以有 32=1 个自由未知量11 【正确答案】 3，一 1，0 【试题解析】 设 为三阶矩阵 A 的特征值，A=一 112=一 2A -1 的特征值为一 1，1， ，A *的特征值为 2，一 2，一 1，故得： B 的特征值为：3
8、，一1，012 【正确答案】 一 72【试题解析】 如果 0 是 A 的特征值，则存在非零向量 使 A=0，因此 (A 一5E)=A 一 5=(05)，所以 0 一 5 是 A 一 5E 的特征值，由此可知 A 一 5E 的三个特征值为 15=一 4，一 15=一 6，25= 一 3，所以A 一 5E=(一 4)(一6)(一 3)=一 7213 【正确答案】 24【试题解析】 由于 B 与 A 相似，故有相同的特征值，并且存在可逆矩阵 P，使所以BE=P -1E.BP = P -1BPP -1.P=14 【正确答案】 y 12+y22+y32 一 y4215 【正确答案】 x 12+k4x2x
9、2+8x1x3+2x222x 2x3+3x32【试题解析】 由二次型矩阵的定义知所求的二次型为：x 12+4x1x2+8x1x3+2x22 一2x2x3+3x32三、计算题16 【正确答案】 将各行乘 1 加到第一行上，提取公因子 3a+b，再利用行列式的性质化为三角形，从而得结果为(3a+b)(b 一 a)3。17 【正确答案】 由于(A 一 2E)x=B，所以18 【正确答案】 因此 A 可逆并且所以 A*=AA -1，(A *)-119 【正确答案】 以 1,2,3 为列向量的矩阵作初等行变换，有 ,因为当 a 一 2=0 即 a=2 时， 1,2,3 的秩为 2，而 一 20 即 a2
10、， 1,2,3 的秩为 3，所以 a=2.20 【正确答案】 提示 1 一 2=(一 2，0，1) T 是 Ax=0 是基础解系所以通解为(1，2， 2)T+c(一 2，0，1) T(c 为任意常数)21 【正确答案】 由题设知 所以 a 为 A 的一个特征值且 a0，从而 为 2A-1+E 的一个特征值，对应的特征向量为22 【正确答案】 设 因为 A 是正交阵，所以( 1,2)=0，( 1,4)=0，( 2,3)=0 解得 a=四、证明题23 【正确答案】 令 k11+k22+k33=0，则 k11+k2(1+2)+k3(1+2+3)=0，(k 1+k2+k3)1+(k2+k3)2+k33=0，由于 1,2,3 线性无关，所以线性方程组的系数行列式 因此仅有 0 解，即 k1=k2=k3=0，所以 1， 2， 3 线性无关
