1、全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 9 及答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 行列式 ( )（A）48（B） 84（C）一 48（D）一 842 设矩阵 ，则 ( )（A）a=3 ，b=一 1，c=1， d=3（B） a=一 1，b=3，c=1， d=3（C） a=3，b=一 1，c=0， d=3（D）a= 一 1，b=3，c=0， d=33 设 2 阶矩阵 则 A*= ( )（A）（B）（C）（D）4 设 mn 矩阵 A 的秩 r(A)=n 一 3(n3)， ， ， 是齐次线性方程组 Ax
2、=0 的三个线性无关的解向量，则方程组 Ax=0 的基础解系为 ( )（A），+（B） ， ， 一 （C） 一 ， 一 ， 一 （D），+，+5 设 1,2,3 是四元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 1+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 x= ( )（A）（B）（C）（D）二、填空题请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 行列式 中元素 的代数余子式的值为_7 设 a、b、c 为互异实数，则 的充要条件为_8 设 A 为 n 阶方阵且A=3，则(3A T)-1=_9 若 则
3、k_10 由 m 个 n 维向量组成的向量组，当_时，向量组一定线性相关11 设 1， 2， ， r，是非齐次线性方程组 AX= 的解，若 k11+k22+krr，也是 AX= 的解，则 k1，k 2，k r 满足的条件是 _ 12 矩阵 的非零特征值是_13 实对称矩阵 A 满足 A3+A2+A=3I，则 A=_14 在 R3 中向量 与任意向量均正交，则=_.15 二次型的矩阵为 则规范型为_.三、计算题16 计算行列式17 已知 且 A2 一 AB=E，求矩阵 B.18 设 且 A*X=A-1+2X，求 X19 设 1=(2， 3，5) ， 2=(3，7，8) ， 3=(1，一 6， 1
4、)，求 使 =（7,2，）可用向量 1,2,3 线性表示。20 已知矩阵 (1)求 A-1；(2)解矩阵方程AX=B.20 设方程 A 有特征值 1=22=一 1，又 和 2= 是 A 属于 1=2和 2=一 1 的特征向量，向量21 将 表示成 1,2 的线性组合；22 求 A23 设 A=(ij)33 为正交矩阵，其中 33=一 1，又 求矩阵方程 AX=B 的解四、证明题24 设 n 阶方阵 A 的秩满足 r(A+I)+r(AI)=n，且 AI(单位方阵)，证明：一 1 是A 的一个特征值全国自考公共课线性代数（经管类）模拟试卷 9 答案与解析一、单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有
5、一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1 【正确答案】 A【试题解析】 答案为 A2 【正确答案】 C【试题解析】 答案为 C.3 【正确答案】 A【试题解析】 由伴随矩阵的定义即得答案为 A4 【正确答案】 D【试题解析】 基础解系必须是线性无关的向量组，四个选项中只有 D 中三个向量线性无关，答案为 D5 【正确答案】 C【试题解析】 因 r(A)=3，未知量个数为 4，故与 Ax=b 相应的齐次线性方程组Ax=0 的解空间是一维的，又因 1 是 Ax=b 的一个特解，故其通解形如于是有 又由已知得故取 c1+c2=一 1，得 答案为 C二、填空题请在
6、每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6 【正确答案】 42【试题解析】 的代数余子式为7 【正确答案】 a+b+c=0【试题解析】 abc 为互异实数8 【正确答案】 【试题解析】 9 【正确答案】 k1 且 k一 2【试题解析】 =(k 一 1)2(k+2)0，故 k1 且 k一 210 【正确答案】 mn【试题解析】 由于向量组里都是 n 维向量，任意 n+1 个 n 维向量必线性相关，故mn 时，向量组线性相关11 【正确答案】 k 1+k2+kr=1【试题解析】 由于 Ai=，i=1，2，r，因此 A(k11+k22+krr)=k1A1+k2A2+krAr=(k1+k2+kr
7、)=，所以 k1+k2+kr=112 【正确答案】 =4【试题解析】 A 的特征多项式为13 【正确答案】 I【试题解析】 设矩阵 A 的特征值为 ，则有 3+2+=3，即( 一 1)(2+2+3)=0由于实对称矩阵的特征值是实数，故 2+2+3=(+1)2+20，由此可得 A 只有惟一的三重特征值 1，即存在可逆矩阵 P，使得 P-1;AP=I，于是有 A=PIP-1=I14 【正确答案】 0【试题解析】 由于( 1，e 1)=1=0，( 2，e 2)=a2=0， (1，e 3)=a3=0，所以 为零向量，故=0 15 【正确答案】 y 12+y22y 32【试题解析】 作可逆线性变换 二次
8、型化为规范型 y12+y22 一 y32三、计算题16 【正确答案】 第 1 列乘(-a 1)加到第二列上，第 1 列乘(一 a2)加到第二列上，第一列乘(一 a3)加到第三列上，得 D=b1b2b3。17 【正确答案】 由于 所以 A 可逆，因此 B=A-1(A2 一 E)=AA-1 而 所以18 【正确答案】 因为 A*=AA -1 所以AA -1X=A-1+2X；X=(A A -1 一 2E)-1A-1=A(AA -1 一 2E)-119 【正确答案】 求解非齐次线性方程组 据此可知当=15 时，=11 1 一 52+0320 【正确答案】 由于A=10，所以矩阵 A 可逆，经计算因此2
9、1 【正确答案】 以 1， 2， 声为列向量的矩阵作初等行变换，有所以 =31+222 【正确答案】 A=A(3 1+2)一 3A1+A2=3(21)+(一 2)=61 一 2=23 【正确答案】 由于 A 为正交矩阵，因此 A 的列向量组与行向量组均为标准正交向量组，故 a132+a232+a332+a132+a232+1=1，a 132+a232=0因此 13=23=0；同理 a31 一a32=0 即 又 A 正交，因此 A-1=AT，所以四、证明题24 【正确答案】 由于 AI，所以 AI 不是零矩阵，从而 r(AI)1，因此由已知条件 r(A+1)n 一 1，A+I 是奇异矩阵，A+I =0，所以齐次线性方程组(A+I)X=0有非零解 a，即存在非零向量口使得(A+I)=0 ，A=0，A=一 ，所以 =一 1 是 A的一个特征值
