1、4. 万有引力理论的成就 一、计算天体的质量 1.地球质量的计算 : (1)依据 :地球表面的物体 ,若不考虑地球自转 ,物体的 重力等于地球对物体的万有引力 ,即 mg=_。 (2)结论 :M=_,只要知道 g、 R的值 ,就可计算出地 球的质量。 2MmGR2gRG2.太阳质量的计算 : (1)依据 :质量为 m的行星绕太阳做匀速圆周运动时 ,行 星与太阳间的万有引力充当向心力 ,即 =_。 (2)结论 :M=_,只要知道行星绕太阳运动的周期 T 和半径 r就可以计算出太阳的质量。 2MmGr224 mrT2324rGT3.行星质量的计算 : 与计算太阳质量一样 ,若已知卫星绕行星运动的周
2、期 T 和卫星与行星之间的距离 r,可计算行星的质量 M,公式 是 M=_。 2324rGT二、发现未知天体 1.海王星的发现 :英国剑桥大学的学生 _和法国 年轻的天文学家 _根据天王星的观测资料 ,利用 万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道。 1846年 9月 23日 ,德国的 _在勒维耶预言的位置附 近发现了这颗行星 海王星。 亚当斯 勒维耶 伽勒 2.其他天体的发现 :近 100年来 ,人们在海王星的轨道 之外又发现了 _、阋神星等几个较大的天体。 冥王星 【思考辨析】 (1)天王星是依据万有引力定律计算的轨道而发现的。 ( ) (2)海王星的发现确立了万有引力定律的地位。 (
3、) (3)牛顿根据万有引力定律计算出了海王星的轨道。 ( ) (4)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有 引力。 ( ) (5)若只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径 ,则可以 求出太阳的质量。 ( ) (6)若知道某行星绕太阳做圆周运动的线速度和角速 度 ,则可以求出太阳的质量。 ( ) 提示 :(1) 。人们依据万有引力定律计算的轨道发现的是海王星等 ,不是天王星。 (2) 。海王星的发现有力证实了万有引力定律的正确性。 (3) 。计算出海王星轨道的是亚当斯和勒维耶。 (4) 。地球表面的物体的重力一般小于地球对它的万有引力 ,忽略地球自转时 ,地球表面的物体的重力才等于地球对它的万有
4、引力。 (5) 。只知道某行星绕太阳做圆周运动的半径 ,不能 求出太阳的质量。 (6) 。由 G =mv 及 v=r 得 M= ,故若知道某行 星绕太阳做圆周运动的线速度和角速度 ,则可以求出太 阳的质量。 2Mmr3vG一 天体质量和密度的计算 【典例】 (2018 全国卷 )2018 年 2月 ,我国 500 m口径 射电望远镜 (天眼 )发现毫秒脉冲星“ J0318+0253”, 其 自转周期 T=5.19 ms。假设星体为质量均匀分布的球体 , 已知万有引力常量为 6.67 10-11 Nm 2/kg2。以周期 T 稳定自转的星体的密度最小值约为 A.5 109 kg/m3 B.5 1
5、012 kg/m3 C.5 1015 kg/m3 D.5 1018 kg/m3 【素养解读】 核心素养 素养角度 素养任务 科学探究 证据、 解释 能提取信息 ,利用基础知识分析求解星体的最小密度 科学 思维 模型建构 能从该星体表面的物体抽象出匀速圆周运动的模型和引力提供向心力的模型 科学推理 能应用圆周运动的规律分 析、推理天体运动问题 【正确解答】 选 C。星体自转的最小周期发生在其赤 道上的物质所受向心力正好全部由引力提供时 ,根据 牛顿第二定律 : ;又因为 V= R 3、 = ; 联立可得 = 5 1015 kg/m3,选项 C正确。 222M m 4G m RRT 43MV 23
6、GT【核心归纳】 1.天体密度的计算 : 计算天体密度的基本思路 :若天体的半径为 R,则天体 的密度 = (1)将 M= 代入上式得 := 。 3M4R3，2gRG3g4 G R(2)将 M= 代入上式得 := 当卫星环绕天体表面运动时 ,其轨道半径 r等于天体半 径 R,则 = 2324rGT 3233rG T R 。23GT 。2.天体质量的计算 : 【易错提醒】 (1)利用 =mg求天体的质量时 ,g是所求天体表面 的重力加速度 ,且计算的前提是忽略了天体的自转。 (2)由 F引 =F向 求得的质量为中心天体的质量 ,而不是做 圆周运动的天体的质量。 2MmGr【过关训练】 1.(20
7、17 北京高考 )利用引力常量 G和下列某一组数据 ,不能计算出地球质量的是 ( ) A.地球的半径及重力加速度 (不考虑地球自转 ) B.人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C.月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D.地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 【解析】 选 D。不考虑地球自转的情况下 ,在地球表面 , 重力等于万有引力 , 能计算出地球 的质量 ;人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动时 , ,又有 v= ,已知速度及周期时 ,联立 可求得地球的质量 ;月球绕地球做圆周运动时 , 在已知周期和地月间距离的情况下 ,可 22M m g Rm g G ,
8、 MRG22M m vGmrr2 rT222M m 4G m rrT ，以求出地球的质量 ;地球绕太阳做圆周运动时 ,我们只能求出中心天体太阳的质量 ,不能求出地球的质量 ,故选 D。 2.已知金星和地球的半径分别为 R1、 R2,金星和地球表面的重力加速度分别为 g1、 g2,则金星与地球的质量之比为 ( ) 2 2 2 21 1 1 2 2 1 2 22 2 2 22 2 2 1 1 2 1 1g R g R g R g RA . B . C . D .g R g R g R g R【解析】 选 A。根据星球表面物体重力等于万有引力 , 即 mg= ,得 M= ,所以有 ,故 A正确 , B、 C、 D错误。 2MmGR2gRG211222M gRM g R金地3.(多选 )一卫星绕地球做匀速圆周运动 ,其轨道半径为r,卫星绕地球做匀速圆周运动的周期为 T,已知地球的半径为 R,地球表面的重力加速度为 g,引力常量为 G,则地球的质量可表示为 ( ) 2 3 2 3 2 2224 r 4 R g R g rA . B . C . D .GGG T G T【解析】 选 A、 C。根据 得 ,M= 选项 A正确、 B错误 ;在地球的表面附近有 mg= 则 M= 选项 C正确 ,选项 D错误。 222M m 4G m rrT 2324rGT ，2MmGR ，2gRG ，
