1、1小题标准练(九)(40 分钟 80 分)一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设复数 =a+bi(a,bR,i 为虚数单位),则 a+b= ( )A.1 B.2 C.-1 D.-2【解析】选 A. = = ,-21+(-2)(1-)(1+)(1-)故 a=- ,b= ,所以 a+b=1.12 322.若集合 A=x|2x1,集合 B=x|ln x0,则“xA”是“xB”的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选 B. 集合 A=x|2x1=x|x0,集合 B
2、=x|ln x0=x|x1,则 BA,即“xA”是“xB”的必要不充分条件.3.设 a=log23,b= ,c= ,则 ( )3-43A.ba=log231,b= 2,c= 0,函数 y=sin x+ -1 的图象向左平移 个单位后与原图象重合,则 的最33小值是 ( )A. B. C. D.323 43 32【解析】选 D.因为图象向左平移 个单位后与原图象重合,所以 是一个周期的整数倍.所以 =T ,3,所以 最小是 3.8.设双曲线 - =1(a0,b0)的一个焦点为 F,虚轴的一个端点为 B,线段 BF 与双曲线的2222一条渐近线交于点 A,若 =2 ,则双曲线的离心率为 ( )A.
3、6 B.4 C.3 D.2【解析】选 D.设点 F(c,0),B(0,b),由 =2 ,得 - =2( - ),即= ( +2 ),所以点 A ,因为点 A 在渐近线 y= x 上,则 = ,13 233即 e=2.9.已知 a 与 b 为两个不共线的单位向量,k 为实数,若向量 a+b 与 ka-b 垂直,则 k= ( )A.1 B. C.2 D.3【解析】选 A.因为 a 与 b 是不共线的单位向量,所以|a|=|b|=1.又 ka-b 与 a+b 垂直,所以(a+b)(ka-b)=0,即 ka2+kab-ab-b2=0.所以 k-1+kab-ab=0,即 k-1+kcos -cos =0
4、( 为 a 与 b 的夹角).所以(k-1)(1+cos )=0,又 a 与 b 不共线,所以 cos -1,所以 k=1.10.设 x,y 满足约束条件 则 z=|x-3y|的最大值为 ( )A.1 B.3 C.5 D.6【解析】选 C.方法一:作出可行域如图中 阴影部分所示,记 z1=x-3y,则 y= x- ,由图13可知当直线 z1=x-3y 过点 B,C 时 z1分别取得最大值 3 和最小值-5.4所以 z=|x-3y|的最大 值为 5.方法二:z= ,d= 表示点(x,y)到直线 x-3y=0 的距离,又B(3,0)到直线 x-3y=0 的距离为 ,C(1,2)到直线 x-3y=0
5、 的距离为 .所以 z 的最大310 510值为 =5.11.已知函数 f(x)= 与 g(x)=x3+t,若 f(x)与 g(x)的交点在直线 y=x 的两侧,则实数 t 的取值范围是 ( )A.(-6,0 B.(-6,6)C.(4,+) D.(-4,4)【解析】选 B.根据题意可得函数图象,g(x)在点 A(2,2)处的取值大于 2,在点 B(-2,-2)处的取值小于-2,可得 g(2)=23+t =8+t2,g(-2)=(-2)3+t=-8+tr2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为 a1,双曲线实半轴长为 a2,椭圆、双曲线的离心 率分别为 e1,e2,由(2c) 2= + -2r1
6、r2cos ,得 4c2= +-r1r2.由 得 所以 + = = ,令1=1+2,2=1-2, 1112m= = = = ,当 = 时,21242121+22-12 2112mmax= ,所以 = ,即 + 的最大值为 .(1)433 1112 4335方法二:假定焦点在 x 轴上,点 P 在第一象限,F 1,F2分别为左、右焦点.设椭圆的方程为 +22=1(ab0),双 曲线的方程为 - =1(m0,n0),它们的离心率 分别为 e1,e2,则22 22|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在PF 1F2中,4c 2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos a2+3m2
7、=4c2+3 =4,则 + = + ()2()2 ()2+3()2(1+13) 1112,当且仅当 a=3m 时,等号成立 .433二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中横线上)13.某程序框图如图所示,若 a=3,则该程序运行后,输出的 x 值为_. 【解析】 第一次循环,x=23+1=7,n=2;第二次循环,x=27+1=15,n=3;第三次循环,x=215+1=31,n=4,程序结束,故输出 x=31.答案:3114.函数 y=logax+1(a0 且 a1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 + -4 =0(m0,n0)上,则 + =_;m
8、+n 的最小值为_. 11【解析】由条件知点 A 的坐标 为(1,1),又点 A 在直线 + -4=0(m0,n0)上,所以 + =4,所 116以 m+n= (m+n)= =1,当且仅当14(1+1) 14(2+)= ,即 m=n= 时等号成立,所以 m+n 的最小值为 1. 12答案:4 115.已知椭圆 + =1 的左焦点 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B,当FAB 的周长最大时,2423FAB 的面积是_. 【解析】不妨设 A(2cos , sin ),(0,),3则FAB 的周长为 2(|AF|+ sin )=2(2+cos + sin )=4+4sin(+ ).3 36当
9、= ,即 A(1, )时, FAB 的周长最大.所以FAB 的面积为 S= 23=3.3 32答案:316.如图,VA平面 ABC,ABC 的外接圆是以边 AB 的中点为圆心的圆,点 M,N,P 分别为棱VA,VC,VB 的中点,则下列结论正确的有_.(把正确结论的序号都填上) MN平面 ABC;OC平面 VAC;MN 与 BC 所成的角为 60;MNOP;平面 VAC平面VBC.【解析】对于,因为点 M,N 分别为棱 VA,VC 的中点,所以 MNAC,又 MN平面 ABC,AC平面 ABC,所以 MN平面 ABC,所以正确;对于,假设 OC平面 VAC,则 OCAC,因为 AB 是圆 O 的直径,所以 BCAC,矛盾,所以不7正确;对于,因为 MNAC,且 BCAC,所以 MN 与 BC 所成的角为 90,所以不正确;对于,易得 OP VA,又 VAMN,所以 MNOP,所以正确;对于,因为 VA平面 ABC,BC平面 ABC,所以 VABC,又 BCAC,且 ACVA=A,所以 BC平面 VAC,又 BC平面 VBC,所以平面 VAC平面 VBC,所以正确.答案:
