1、1专题一 客观题的快速解法概述: 客观题包括选择题与填空题,全国卷中共设置 12道选择题、4 道填空题,每题均 5分,共 80分,占总分的 53.3%.因此能否迅速、准确解答,成为全卷得分的关键.客观题是只看结果,不要解答过程,特别是选择题还提供了供选择的多个选择支(只有一个正确),所以解答客观题时尽量“不择手段”地采用最简捷方法快速地作答,尽量避免小题大做.解客观题的主要策略有直接法和间接法.策略一 直接法直接法是从题设条件出发,运用有关概念、性质、定理、法则或公式等知识,通过严密的推理和准确的运算,从而得出正确结论的做题方法.【例 1】 若 P是以 F1、F 2为焦点的椭圆 + =1(ab
2、0)上的一点,且 =0,tan 22 1 2PF 1F2= ,则此椭圆的离心率为( A )12(A) (B) (C) (D)13 12解析:因为 =0,1 2所以 PF1PF 2,在 RtPF 1F2中,设|PF 2|=1,则|PF 1|=2,|F1F2|= ,5所以 2a=|PF1|+|PF2|=3,2c= ,5故此椭圆的离心率 e= = .22涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用“直接法”,但也切忌“小题大做”.强化训练 1:(2018全国卷)已知角 的顶点为坐标原点,始边与 x轴的非负半轴重合,终边上有两点 A(1,a),B(2,b),且 cos 2= ,则|a-b|等于 ( )2
3、3(A) (B) (C) (D)115 255解析:由题意知 cos 0.因为 cos 2=2cos 2-1= ,23所以 cos = ,sin = ,2得|tan |= .由题意知|tan |= ,12所以|a-b|= .故选 B.强化训练 2:(2018全国卷)已知函数 f(x)=ln( -x)+1,f(a)=4,则 f(-a)= .解析:因为 f(x)+f(-x)=ln( -x)+ln( +x)+2=ln( -x)( +x)+2=ln 1+2=2,所以 f(a)+f(-a)=2,所以 f(-a)=2-f(a)=-2.答案:-2策略二 间接法根据客观题不用求过程,只要结果的特点,解客观题无
4、论用什么办法选出或得出正确的结论或结果即可.常用的方法有数形结合法、特例法、验证排除法、估值法等.方法一 数形结合法【例 2】 (2018湖南省湘东五校联考)已知点 A是抛物线 x2=4y的对称轴与准线的交点,点 B为抛物线的焦点,点 P在抛物线上且满足|PA|=m|PB|,当 m取最大值时,点 P恰好在以 A,B为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )(A) (B)(C) +1 (D) -12 5解析:法一 如图,依题意知 A(0,-1),B(0,1),不妨设 P x, ,抛物线的准线为 l,过 P作 PCl于点 C,由抛物线的定义得|PB|=|PC|,所以 m= = ,|2+(24+1)
5、 21+243令 t=1+ ,由题易得点 P异于点 O,所以 x0,则 t1,m= = ,2+44当 = ,即 x=2时,m max= .12 2此时,|PB|=2,|PA|=2 .2设双曲线的实轴长为 2a,焦距为 2c,离心率为 e.依题意得 2a=|PA|-|PB|=2 -2,2c=2,2则 e= = = +1.故选 C. 2法二 由题意得点 P异于点 O,记抛物线的准线为 l,过 P作 PCl 于点 C,如图,由抛物线的定义得|PC|=|PB|,所以 m= = ,|当PAC 最小,即 PA与抛物线相切时,m 最大.设切点 P x1, .由题意得 A(0,-1),B(0,1),则切线的斜
6、率为 = ,解得 x1=2.取 P(2,1),此时,|PB|=2,|PA|=2 .2设双曲线的实轴长为 2a,焦距为 2c,离心率为 e.依题意得 2a=|PA|-|PB|=2 -2,2c=2,2则 e= = = +1.故选 C. 24数形结合法,包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,应用分为两种情形:一是代数问题几何化,借助形的直观性来阐明数之间的联系;如利用函数图象来直观说明函数的性质;二是几何问题代数化,借助数来阐明形的某些特殊性,如利用曲线方程来阐明曲线的几何性质.强化训练 3:(2018郑州一中测试)设函数 f(x)= 若关于 x的方程 f(x)=a有四个不同的解 x1,x2,x3
7、,x4,且 x10,即 2x( x+1)( x-1) ,所以函数 y=-x4+x2+2在 -,- , 0, 上单调递增,在 - ,0 , ,+ 上单调递减.故选 D.法二 令 x=0,则 y=2,排除 A,B;令 x= ,126则 y=- + +2= +2,排除 C.故选 D.14排除法也叫筛选法或淘汰法,使用排除法的前提是单选题,具体作法是将选项逐一代入条件, 运用定理性质、公式推演,其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除,从而得出正确选项.强化训练 5:(2018全国卷)函数 f(x)= 的图象大致为 ( )2解析:因为 f(-x)= =- =-f(x)(x0),所以 f(x)是定义域上的奇函数
8、,所以()2 2函数 f(x)的图象关于原点(0,0)中心对称,排除选项 A;因为 f(1)=e- 2,所以排除选项 C,D.故1选 B.强化训练 6:(2016全国卷)已知函数 f(x)=sin(x+) 0,| ,x=- 为 f(x)的零点,x= 为 y=f(x)图象的对称轴,且 f(x)在 , 上单调,则 的最大值为( )18(A)11 (B)9 (C)7 (D)5解析:若 =11,则 f(x)=sin(11x+),因为 x=- 为 f(x)的零点,所以- +=k,= +k,(kZ),又| ,所以 =- ,所以 f(x)=sin 11x- ,此时 x= 为 f(x)图象的对称轴,当 x ,
9、 时,11x- , ,18 13362318f(x)在 , 不单调,故排除 A.18当 =9,则 f(x)=sin(9x+),因为 x=- 为 f(x)的零点,7所以- +=k,= +k,kZ,94 94又| ,所以 = ,所以 f(x)=sin 9x+ ,此时 x= 为 f(x)图象的对称轴,当 x , 时,9x+ , ,18 3432f(x)在 , 上单调,故 B正确.18故选 B.方法四 估值法【例 5】 (2017全国卷)如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得,则该几何体的体积为( )(A)90 (B)63 (C)42 (D)36解析:法一 (割补法)依题意,该几何体由底面半径为 3,高为 10的圆柱截去底面半径为 3,高为 6的圆柱的一半所得,其体积等价于底面半径为 3,高为 7的圆柱的体积,所以它的体积 V=3 27=63.故选 B.法二 (估值法)由题意,知 V 圆柱 bc (B)bac(C)cba (D)cab解析:lo =log35,1315因为 y=log3x为增函数,所以 log3 5log3 log3 3=1,72又因为 ab.故选 D.14 14
